第二章n维欧氏空间 §1.1R"的极限理论 在线性代数中我们学习了n维向量空间V={x1…x)x,∈R,1=1,…,n我们在 V,中定义了加法和数乘.特别的我们还定义了V,中的内积(,) 设x=(x1…xn),y=(1…,yn)是V中的向量,定义x与y的内积(x,y)为 (x,y)=xy1+…+xnyn 内积(x,y)满足 1.对称性:(x,y)=(y,x) 2.线性性:(ax1+bx2,y)=a(x1,y)+b(x2,y) 3.正定性:x∈Vn,(x,x)≥0,并且(x,x)=0等价于x=0 利用内积我们可以定义Vn中向量的长度为=√(x,x) 将P1=(x1,…,x)P2=(y1…,yn)看作V中的点,我们定义其距离d(P2P1)为 d(PP)=-P|=√P-P,P-P)=∑(x-y) 引理:d(P,P2)=|P-P2满足 1.对称性:d(B,P2)=d(P2,P); 2.正定性:d(P1,P)≥0,d(P1,P2)=0等价于P=P2; 3.三角不等式:VP,P2,P3∈Vn,恒有 d(P,P)≤d(B,P)+d(P,P)(x+川≤|+|) 并且等式成立的充分必要条件是B,P2,P3在同一直线上 证明:1和2显然,仅证明3 设V1,V2∈Vn,则对任意t∈R,恒有
1 第二章 n 维欧氏空间 §1.1 n R 的极限理论 在线性代数中我们学习了 n 维向量空间Vn = {(x1 ,L, xn ) xi Î R, i = 1,L, n}. 我们在 Vn中定义了加法和数乘. 特别的我们还定义了Vn中的内积( , ). 设 ( ) ( ) n n x x , , x , y y , , y = 1 L = 1 L 是Vn中的向量. 定义x 与 y 的内积( x, y) 为 n n x y = x y +L+ x y 1 1 ( , ) . 内积( x, y) 满足: 1． 对称性: ( x, y) = ( y, x) ; 2． 线性性: ( , ) ( , ) ( , ) 1 2 1 2 ax + bx y = a x y + b x y ; 3． 正定性: "x Î Vn , (x, x) ³ 0, 并且( x, x) = 0等价于 x = 0. 利用内积我们可以定义Vn中向量的长度为 x = (x, x) . 将 ( ) ( ) n n P x , , x , P y , , y 1 = 1 L 2 = 1 L 看作Vn中的点, 我们定义其距离 ( , ) d P1 P2 为 å= = - = - - = - n i i i d P P P P P P P P x y 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( , ) ( , ) ( ) . 引理 1: 1 2 1 2 d(P , P ) = P - P 满足 1. 对称性: ( , ) ( , ) d P1 P2 = d P2 P1 ; 2. 正定性: d(P1 , P2 ) ³ 0, d(P1 , P2 ) = 0等价于 P1 = P2 ; 3. 三角不等式: "P1 P2 P3 Î Vn , , , 恒有 ( , ) ( , ) ( , ). ( ). 1 2 1 3 3 2 d P P £ d P P + d P P x + y £ x + y 并且等式成立的充分必要条件是 1 2 3 P , P , P 在同一直线上. 证明: 1 和 2 显然, 仅证明 3. 设V1 V2 Î Vn , , 则对任意t Î R , 恒有
(V1-V2,V1-12)=(V1,H1)-2(V1,2)+t2(V2,2)≥ 因此t的二次函数的判别式4(V12)2-4(V1,VV2,H2)≤0.我们得到 Cauchy不等式 (1,V2)2≤(V1,)V2,V2) 并且其中等式成立的充要条件是V1,V2线性相关.对任意B,P2,P3∈Vn,令 V=P-P3,V2=P2-P3,则 d(P,P)2=(V1-V2,n1-V2)=(V1,n)-2(V1,H2)+(V2,V2) ≤(V1,H1)+2V1,H1V2,2)+(V2V2) =(G,F+√0v22)=(dP,P)+d2,P) 得三角不等式等式成立当且仅当存在t使H=12,即B,P2,P3在同一直线上 d(PQ)=|P-称为V的欧氏度量V在定义了欧氏度量后称为n维欧氏空间 通常以R”记之。我们希望利用欧氏度量d(P,Q在R”上建立极限理论,并进一步将一个 变元的微积分推广到多个变元的函数上 定义:设{Pm}m2是R"中一个点列,称m→+∞时Pn→P∈R”,如果 vE>0,N,使得只要m>N,就有d(Pn,P)<E,记为mPn=P0{P}称为收敛 序列 与R中极限相同,我们也可以用邻域的语言描述极限设P∈R",对任意E>0,我们 定义BCP,B)=2∈RdP,Q)<s,B(P,)称为半径为E的P的球形邻域称 B(,)=B,s)-{P}=p∈R|0<dPQ)< 为P的空心E-球形邻域 设P=(x1…,x0),E=(E1…,En)满足E1>0,定义 SP,)=2=(…x)-x<6,1=1…n S(P,E)称为P的长方形ε-邻域.S(P,)=S(P,c)-{P}为长方形的空心E邻域 引理2:对任意E>0,存在E=(E1,…,En)>0和E",使得 B(P,E’)≥S(P,E)=B(PE") 2
2 ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( 2 , 2 ) 0 2 V1 - tV2 V1 - tV2 = V1 V1 - t V1 V2 + t V V ³ . 因此t 的二次函数的判别式4( , ) 4( 1 , 1 )( 2 , 2 ) 0 2 V1 V2 - V V V V £ . 我们得到 Cauchy 不等式 ( , ) ( , )( , ) 1 1 2 2 2 V1 V2 £ V V V V . 并且其中等式成立的充要条件是 1 2 V ,V 线性相关 . 对任意 P1 P2 P3 Î Vn , , , 令 1 1 3 2 2 3 V = P - P ,V = P - P , 则 ( ( , ) ( , )) ( ( , ) ( , )) . ( , ) 2 ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2( , ) ( , ) 2 1 3 3 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 V V V V d P P d P P V V V V V V V V d P P V V V V V V V V V V = + = + £ + + = - - = - + 得三角不等式. 等式成立当且仅当存在t 使 1 2 V = tV , 即 1 2 3 P , P , P 在同一直线上. d(P,Q) = P - Q 称为 Vn的欧氏度量. Vn 在定义了欧氏度量后称为 n 维欧氏空间, 通常以 n R 记之. 我们希望利用欧氏度量 d(P,Q)在 n R 上建立极限理论, 并进一步将一个 变元的微积分推广到多个变元的函数上. 定 义 : 设 { }m m=1,2,L P 是 n R 中一个点列 , 称 m ® +¥ 时 n Pm ® P0 Î R , 如 果 "e > 0, $N , 使得只要m > N , 就有 ( , ) < e d Pm P0 , 记为 0 lim Pm P m = ®+¥ . {Pm}称为收敛 序列. 与R 中极限相同, 我们也可以用邻域的语言描述极限. 设 n P Î R , 对任意e > 0, 我们 定义 B(P, e ) = {Q Î d (P,Q) < e} n R , B(P, e ) 称为半径为e 的 P 的球形邻域. 称 B0 (P,e ) = B(P,e ) - {P} = {Q Î 0 < d (P,Q) < e} n R 为 P 的空心e -球形邻域. 设 ( , , ), ( , , ) 1 0 0 1 n n P = x L x e = e L e 满足ei > 0 , 定义 S(P, ) {Q (x , , xn ) xi xi i , i 1, ,n} 0 e = = 1 L - < e = L . S(P,e ) 称为 P 的长方形e -邻域. S0 (P,e ) = S(P,e ) - {P}为长方形的空心e -邻域. 引理 2: 对任意e ¢ > 0, 存在 ( , , ) 0 ~e = e1 L e n > 和e ¢¢ , 使得 ) ( , ) ~ B(P, e ¢) É S (P,e É B P e ¢¢
利用E-邻域,Pn→P可表示为对P的任意E-邻域U(E),丑N,只要m>N,就 有Pn∈U(P0,E) 如果将P用坐标表示为P=(x1,…,xn),则上面长方形ε-邻域的极限描述等价于 引理3:设Pn=(x1",…,xm),P=(x1,…,xn),则 lim p=P0的充分必要条件是对 i=1,…,n都有lmxm=x 即序列Pn收敛于P等价于Pn的每一个分量收敛于P对应的分量 利用不等式 m{x-x=Pn-|=yx-x)2+…+(x2-x2) 也可直接得到上面引理.下面讨论中我们将以B(P,E)为例,其结论对S(P,E)也成立 设ScR是任意给定的集合.利用E-邻域,我们可以将R"中所有的点相对于S进行 分类 内点:P∈R”称为S的内点,如果存在E>0,使B(P,E)cS.以S°记S的所有内 外点:P∈R称为S的外点,如果存在E>0,使得P的E-邻域B(PE)cR”-S 边界点:如果P∈R"既不是S的内点,也不是S的外点,则P称为S的边界点 以S记集合S的所有边界点,则不难看出aS=R"-(SU(R"-Sy)或表示为 P∈R"为S的边界点,如果ⅤE>0,恒有B(P,E)∩S≠⑧,B(P,E)∩(R"-S)≠ 边界点可进一步分类 孤立点:P∈R"称为S的孤立点,如果存在E>0,使得B(P,E)∩S={P} 显然孤立点都是边界点 极限点:P∈R”为S的极限点,如果VE>0,B0(P,E)∩S≠ 容易看出,P为S的极限点等价于存在序列{Pn}S-{P},满足mPn=P,显然 内点都是S的极限点而P∈aS如果不是S的孤立点,则必是S的极限点 集合S称为开集,如果S的所有点都是S的内点,即S为开集→>S=S°
3 利用 e -邻域, Pm ® P0 可表示为对 P0 的任意 e -邻域U (P0 , e ),$N , 只要m > N , 就 有 ( , ) 0 P U P e m Î . 如果将 Pm 用坐标表示为 ( , , ) 1 m n m m P = x L x , 则上面长方形e -邻域的极限描述等价于 引理 3: 设 ( , , ), ( , , ) 0 0 1 0 1 n m n m m P = x L x P = x L x , 则 0 lim Pm P m = ®+¥ 的充分必要条件是对 i = 1,L, n 都有 0 lim i m i m x = x ®+¥ . 即序列 Pm 收敛于 P0 等价于 Pm 的每一个分量收敛于 P0 对应的分量. 利用不等式 { } , max ( ) ( ) 0 0 1 1 0 2 0 2 0 1 1 0 1 n m n m n m n m i m m i i n x x x x x x P P x x x x £ - + + - - £ - = - + + - £ £ L L 也可直接得到上面引理. 下面讨论中我们将以B(P, e ) 为例, 其结论对S(P,e ) 也成立. 设 n S Ì R 是任意给定的集合. 利用e -邻域, 我们可以将 n R 中所有的点相对于 S 进行 分类. 内点: n P Î R 称为 S 的内点, 如果存在e > 0, 使B(P, e ) Ì S . 以S° 记 S 的所有内 点. 外点: n P Î R 称为 S 的外点, 如果存在e > 0, 使得 P 的e -邻域 B P S n ( , e ) Ì R - . 边界点: 如果 n P Î R 既不是 S 的内点, 也不是S 的外点, 则P 称为 S 的边界点. 以 ¶S 记集合 S 的所有边界点, 则不难看出 ¶S = - (S° ( - S)°) n n R U R . 或表示为 n P Î R 为 S 的边界点, 如果"e > 0, 恒有B(P, e ) I S ¹ Æ , B(P, ) ( - S) ¹ Æ n e I R . 边界点可进一步分类. 孤立点: n P Î R 称为 S 的孤立点, 如果存在e > 0, 使得B(P, e) I S = {P}. 显然孤立点都是边界点. 极限点: n P Î R 为 S 的极限点, 如果"e > 0, B0 (P, e ) I S ¹ Æ . 容易看出, P 为 S 的极限点等价于存在序列{P } S {P} m Ì - , 满足 0 lim Pm P m = ®+¥ . 显然 内点都是 S 的极限点. 而PÎ ¶S 如果不是 S 的孤立点, 则必是S 的极限点. 集合 S 称为开集, 如果S 的所有点都是 S 的内点, 即S 为开集ÜÞ S = S°
如果S=⑧,则S°=⑧,因此S=S°,所以空集是开集 容易看出开集满足:有限个开集的交是开集;任意多个开集的并也是开集 集合S称为闭集,如果R"-S为开集 由于空集是开集,因此R"=R"-⑧是闭集.而R"显然是开集,所以=R"-R 是闭集 思考题:证明R"和空集是R”中唯一的两个既开又闭的集 由闭集定义不难得到:任意多个闭集的交是闭集,有限个闭集的并也是闭集 对于任意集合S,令S为所有包含S的闭集的交.S是包含S的最小闭集,称为S的 闭包 引理4S是闭集的充分必要条件是下面假设中有一个成立 S=S b)S=soFas c)如果P是S的极限点,则P∈S 证明留给读者 称集合ScR”是道路连通的,如果对S中任意两点P,Q,都存在R”中的一条连续曲 线r(1):t→(x;(t)…,xn()t∈[0],其中x()连续,使得r(0)=P,r(1)=Q,且 vt∈[0,1r(D)∈S R〃中连通的开集称为区域,我们一般用D表示区域的闭包D称为闭区域 §1.2R"的完备性 一元微积分的极限理论是建立在实数完备的基础上.利用实数的完备性,我们才有可能 有好的极限,并在此基础上建立微积分的其它理论 对于R",我们同样需要将其极限建立在R”的完备性上与R不同的是,当n≥2时 R"的点并无大小顺序,因此确界原理和单调有界序列有极限这两个定理不能推广到R"上 但与之等价的关于实数完备性的其它定理在Rn上都是成立的.下面我们将以平面R2为例 表述和证明这些定理,其相应结论对所有R”都成立
4 如果 S = Æ , 则S° = Æ , 因此S = S°, 所以空集是开集. 容易看出开集满足: 有限个开集的交是开集; 任意多个开集的并也是开集. 集合 S 称为闭集, 如果 S n R - 为开集. 由于空集是开集, 因此 = - Æ n n R R 是闭集. 而 n R 显然是开集, 所以 n n Æ = R - R 是闭集. 思考题: 证明 n R 和空集Æ是 n R 中唯一的两个既开又闭的集. 由闭集定义不难得到: 任意多个闭集的交是闭集, 有限个闭集的并也是闭集. 对于任意集合 S , 令S 为所有包含 S 的闭集的交. S 是包含 S 的最小闭集, 称为 S 的 闭包. 引理 4: S 是闭集的充分必要条件是下面假设中有一个成立: a) S = S ; b) S = S°U¶S ; c)如果P 是 S 的极限点, 则PÎ S . 证明留给读者. 称集合 n S Ì R 是道路连通的, 如果对S 中任意两点 P,Q , 都存在 n R 中的一条连续曲 线 ( ) : ( ( ), , ( )), [0,1] r t t ® x1 t L xn t t Î , 其 中 x (t) i 连 续 , 使 得 r(0) = P,r(1) = Q , 且 "t Î[0,1], r(t) Î S . n R 中连通的开集称为区域, 我们一般用D 表示. 区域的闭包D 称为闭区域. §1.2 n R 的完备性 一元微积分的极限理论是建立在实数完备的基础上. 利用实数的完备性, 我们才有可能 有好的极限, 并在此基础上建立微积分的其它理论. 对于 n R , 我们同样需要将其极限建立在 n R 的完备性上. 与R 不同的是, 当n ³ 2 时 n R 的点并无大小顺序, 因此确界原理和单调有界序列有极限这两个定理不能推广到 n R 上. 但与之等价的关于实数完备性的其它定理在 n R 上都是成立的. 下面我们将以平面 2 R 为例, 表述和证明这些定理, 其相应结论对所有 n R 都成立
序列{Pm}称为有界序列,如果存在M使得vm,恒有Pm≤M 定理1(波尔察诺):如果{Pn}是R2中的有界序列,则{Pn}中有收敛子列 证明:设Pn=(xm,ym),{Pn}有界,则序列xm}和{ym}都是R中有界序列因此 xm}中有收敛子列m},而对应的序列bm}也有收敛子列{m},得序列 {mn=(m,m,收敛 序列{Pn}称为 Cauchy列,如果E>0,3N,只要n>N,m>N,就有|pn-PkE 定理2( Cauchy准则):序列{Pn}收敛的充分必要条件是{Pn}为 Cauchy列 证明:设 lim P=P,则vE>0,只要m>N,就有|Pn-P|k5.因此 n>N,m>N时,由三角不等式得|Pn-Ps|Pn-Pl+n-P‖<E,得{Pm}是 Cauchy列 反之,设{Pm}是 Cauchy列.取E=1,则彐N,使n>N时|p-Pk1.因此 Ps|+|P-Pl<卩|+1.而{P…P}显然有界,得{Pm}是有界列由波 尔察诺定理,{n}中有收敛子列P→P.ⅤE>0,由{n}是 Cauchy列,得彐N1,使 n>N,m>N时,P-P|<5.而由P→P得存在N2,使n1>N2时 -|<2令N=mN,M},取定一m>N,则对任意m>N n-硎sa-Pn|+|Pn-f|<E,即mP=P 定义:设ScR2,令d(S)=spP-qpQ∈S,d(s)称为集合S的直径对 R2中任意集合S1S2,定义d(S1S2)=mrf{P-Q∈S2Q∈S2},dS,S2)称为集合 S1,S2的距离 定理3区间套原理):设{}是R2中一列闭集,满足 1.wn,Fn≠
5 序列{Pm}称为有界序列, 如果存在M 使得"m , 恒有 Pm £ M . 定理 1(波尔察诺): 如果{Pm}是 2 R 中的有界序列, 则{Pm}中有收敛子列. 证明: 设 ( , ) m m m P = x y , {Pm}有界, 则序列{xm}和 {ym}都是 R 中有界序列. 因此 {xm} 中有收敛子列 { } mk x , 而对应的序列 { } mk y 也有收敛子列 { } mk l y , 得序列 { ( )} mk l mk l mk l P = x , y 收敛. 序列{Pm}称为 Cauchy 列, 如果"e > 0, $N , 只要n > N,m > N , 就有 - < e Pn Pm . 定理 2(Cauchy 准则): 序列{Pm}收敛的充分必要条件是{Pm}为 Cauchy 列. 证明: 设 0 lim Pm P m = ®+¥ , 则 "e > 0, $N , 只要 m > N , 就有 2 0 e Pm - P < . 因此 n > N,m > N 时 , 由三角不等式得 - £ - + - < e Pn Pm Pn P0 Pm P0 , 得 {Pm} 是 Cauchy 列. 反之, 设 {Pm}是 Cauchy 列. 取 e =1 , 则 $N , 使 n > N 时 1 PN +1 - Pn < . 因此 1 Pn £ PN +1 + PN +1 - Pn < PN+1 + . 而{P1 ,L,PN }显然有界, 得{Pm}是有界列. 由波 尔察诺定理, {Pm}中有收敛子列 Pmk ® P0 . "e > 0, 由{Pm}是 Cauchy 列, 得$N1 , 使 1 1 n > N ,m > N 时 , 2 e Pn - Pm < . 而 由 Pnk ® P0 得存在 N2 , 使 nk > N2 时 , 2 0 e P - P < nk . 令 max{ , } N = N1 N2 , 取定一 mk > N , 则对任意 m > N , - £ - + - < e P P0 P P P P0 m m mk mk , 即 0 lim Pm P m = ®+¥ . 定义: 设 2 S Ì R , 令d(S) = sup{ P - Q P,Q Î S}, d (S ) 称为集合 S 的直径. 对 2 R 中任意集合 1 2 S ,S , 定义 { } 1 2 1 2 d(S , S ) = inf P -Q P Î S ,QÎ S , ( , ) d S1 S2 称为集合 1 2 S ,S 的距离. 定理 3(区间套原理): 设{Fn }是 2 R 中一列闭集, 满足 1. "n, Fn ¹ Æ ;