第六章定积分 §6.1定积分与不定积分 给定非负函数y=f(x),定义于闭区间[a,b],如果我们要求函数图形y=f(x)下边 曲边梯形面积,就需要定积分[f(x)dtx。 定闭区间[a,b]内任意时刻的即时速度y=∫(1),求[a,b]内走过路程,也需要定 积分O)d 定义函数f(x)定义在[a,b上,给[a,b任意一个分割△:a=x0<x1<…< xn=b,记λ= max Ax,,Axk=xk-x,V5k∈【x,xk],作和=∑f(k)△x 如果ImG=l存在,则称为∫(x)在{ab]上的定积分,记作=f(x)x。称a为 积分上限,b为积分下限,∫(x)为被积函数,x为积分变量(哑变量),即 f(odt 用E-δ语言表述定:ⅤE>0,彐δ>0,使得不管如何分割Δ,如何选取 5k∈[x-1,xk1,只要A= max Ax<6,就有a-|<E,则称/为∫(x)在[a,b]的定积 分,记为/=f(x)dx 如果∫(x)在[a,b存在定积分,称它为 Riemann可积,简称可积,将来到实变函数论 中还有 Lebesgue可积概念
133 第 六 章 定 积 分 § 6.1 定积分与不定积分 给定非负函数 y = f (x)，定义于闭区间[a, b]，如果我们要求函数图形 y = f (x)下边 曲边梯形面积，就需要定积分 ò b a f (x)dx 。 给定闭区间[a, b]内任意时刻t 的即时速度 y = f (t) ，求[a, b]内走过路程，也需要定 积分 ò b a f (t)dt 。 定义 函数 f (x) 定义在[a, b]上，给[a, b]任意一个分割 D : a = x0 < x1 <L < xn = b ，记 k k n = Dx 1£ £ l max ，D k = k - k -1 x x x ，" [ , ] k k 1 k x x Î - x ，作和 å= = D n k k xk f 1 s (x ) 。 如果 = I ® s l 0 lim 存在，则称 I 为 f (x) 在[a, b]上的定积分，记作 ò = b a I f (x)dx 。称a 为 积分上限，b 为积分下限， f (x) 为被积函数， x 为积分变量（哑变量），即 ò ò = b a b a f (x)dx f (t)dt 用e -d 语言表述定："e > 0，$d > 0 ，使得不管如何分割 D ，如何选取 [ , ] k k 1 k x x Î - x ，只要l = D < d £ £ k k n x 1 max ，就有| s - I |< e ，则称 I 为 f (x) 在[a, b]的定积 分，记为 ò = b a I f (x)dx。 如果 f (x) 在[a, b]存在定积分，称它为 Riemann 可积，简称可积，将来到实变函数论 中还有 Lebesgue 可积概念
综上定义:定积分的定义包含分割,代替,求和,取极限四个步骤。这个极限不同于 以前的极限,比较复杂,条件<6不像以前的0<-x0<6或n>N那样简单,固定 λ,分割△有很多种,固定Δ,5k的选择还有很多种 定积分与不定积分有密切关系,看例子:速度v()在[ab通过路程S=「v()d;由 原函数定义,S(t)=v()t+C,则[(t)dt=S(b)-S(a),一般地我们有 定理1( Newton- Leibinz公式)设∫(x)∈C[ua,b,F(x)∈C[a,b],且F在 (a,b)上是f(x)的原函数,即F(x)=f(x),x∈(a,b),则 f(xdx= F(b-F(a)=F(x 证给定[a,b任意一个分割:△:a=x0<x1<…<xn=b, F(b)-F(a)=∑[F(x)-F(x-)=∑f(n)△x 这里△x=xk-xk,nh∈[xk1,xk],用了 Lagrange中值定理。f(x)∈C[a,b],由 Cantor 定理,∫在[a一致连续,所以VE>0,36>0,只要5,n∈[a,b],-m<6,就有 J()-f()< 于是,当λ= max Ax<6时,对V5k∈[xk-1,xk],有 ∑(5)x4-F(6)-F(l=∑[/)-f(n小x<s 定理2设f(x)在{a,b可积(不一定连续),又设F(x)在[ab]上连续,并且在(a,b) 上,F(x)=f(x),则(xk=F(x=F(b)-F(a) 证任给[a,b]一分割△:a=x0<x1<…<xn=b,由 Lagrange中值定理 F(b)-F(a)=∑f(n)x,m∈(xk-,x) 因∫在[a,b可积,令λ= max Ark→0,则上式右边→」f(x)x。所以 F(b)-F(a)='/(x)
134 综上定义： 定积分的定义包含分割，代替，求和，取极限四个步骤。这个极限不同于 以前的极限，比较复杂，条件l < d 不像以前的0 < x - x0 < d 或n > N 那样简单，固定 l ，分割 D 有很多种，固定 D ， k x 的选择还有很多种。 定积分与不定积分有密切关系，看例子：速度v(t) 在[a, b]通过路程 ò = b a S v(t)dt ；由 原函数定义， ò S(t) = v(t)dt + C ，则 v(t)dt S(b) S(a) b a = - ò ，一般地我们有 定理 1（Newton-Leibinz 公式） 设 f (x) ÎC[a,b]， F( x) Î C[a, b] ，且 F 在 (a, b)上是 f (x) 的原函数，即 F¢( x) = f ( x) ， x Î (a,b) ，则 b a b a f (x)dx = F(b) - F(a) =F(x) ò 。 证 给定[a, b]任意一个分割：D : a = x0 < x1 <L < xn = b ， å[ ] å = = - = - - = D n k k k n k F b F a F xk F xk f x 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) (h ) ， 这里D k = k - k -1 x x x ， [ , ] k k 1 k x x h Î - ，用了 Lagrange 中值定理。f (x) ÎC[a,b]，由 Cantor 定理， f 在[a, b]一致连续，所以"e > 0，$d > 0 ，只要x ,h Î[a,b] ，x -h < d ，就有 b a f f - - < e (x ) (h) 。 于是，当l = D < d £ £ k k n x 1 max 时，对 [ , ] k k 1 k x x " Î - x ，有 å x D - [ - ] = å[ x - h ]D < e = = n k k k k n k k k f x F b F a f f x 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 。 定理 2 设 f (x) 在[a, b]可积（不一定连续），又设 F( x) 在[a, b]上连续，并且在 (a, b) 上， F¢( x) = f ( x) ，则 f (x)dx F(x) F(b) F(a) b a b a = = - ò 。 证 任给[a, b]一分割D : a = x0 < x1 <L < xn = b ，由 Lagrange 中值定理 å= - = D n k k xk F b F a f 1 ( ) ( ) (h ) ， ( , ) k k 1 k x x h Î - 。 因 f 在[a, b]可积，令 max 0 1 = D ® £ £ k k n l x ，则上式右边® ò b a f (x)dx 。所以 ò - = b a F(b) F(a) f (x)dx
§6.2定积分的性质 1.初等性质 设f(在可积,c实数,则(x)亦可积,且9(xk=/(x) 设f(x),g(x)在[a,b]可积,则f(x)±g(x)亦可积,且 T/()gx)小女=∫(x)士∫g 这说明定积分是个线性运算 设f(x)在[a,b可积,a<c<b,则∫(x)在[a,c]和[c,b都可积,且 f(r)dx=f(x)dx+f(x)d 反之亦然 定理(推广的 Newton- Le ibn iz公式)设f(x)在[ab]可积,F(x)在[a,b]除去 有限个点a=x0<x<…<x=b外是∫(x)的原函数,这些点或是F(x)的连续点或是 第一类间断点,则∫(x=∑F(x)=0 证∫(x)x=∑∫f(x=∑F(x)|= 设/()在a句可积,则(对)可积,且(5( f(x) 几何上看/(x)d有可能出现正负面积相消情况,1(x)k将全部负面积翻成 正面积之和 设f(x)在[ab]可积,f(x)≥0,x∈[a,b,则f(x)dx≥0 135
135 § 6.2 定积分的性质 1. 初等性质 设 f (x) 在[a, b]可积，c 实数，则cf ( x) 亦可积，且 ò ò = b a b a cf (x)dx c f (x)dx 。 设 f (x) , g (x) 在[a, b]可积，则 f (x) ± g( x) 亦可积，且 [ ] ò ò ò ± = ± b a b a b a f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx 。 这说明定积分是个线性运算。 设 f (x) 在[a, b]可积，a < c < b，则 f (x) 在[a, c] 和[c, b]都可积，且 ò ò ò = + b c c a b a f (x)dx f (x)dx f (x)dx 反之亦然。 定理（推广的 Newton-Leibniz 公式）设 f (x) 在[a, b]可积， F( x) 在[a, b]除去 有限个点 a = x0 < x1 < L < xn = b外是 f (x) 的原函数，这些点或是 F( x) 的连续点或是 第一类间断点，则 ò å - = - + = = + = 1 0 0 1 0 ( ) ( ) m i i x x i x x b a f x dx F x 。 证 ò åò - = + = 1 0 1 ( ) ( ) m i i x i x b a f x dx f x dx å - = - + = = + = 1 0 0 1 0 ( ) m i i x x i x x F x 。 设 f (x) 在[a, b]可积，则 f (x) 亦可积，且 ò ò £ b a b a f (x)dx f (x) dx 。 |f(x)| 几何上看 ò b a f (x)dx 有可能出现正负面积相消情况，ò b a f (x) dx 将全部负面积翻成 正面积之和。 设 f (x) 在[a, b]可积， f (x) ³ 0， x Î[a, b] ，则 ( ) ³ 0 ò b a f x dx
若∫,g在[ab]可积,f(x)≤g(x),x∈[ab],则f(x)dr≤g(x)db 即定积分运算是保序的 2.积分第一中值定理 定理设f(x),g(x)和f(x)g(x)在[a,b]可积,g(x)在[a,b不变号, m=inf f(x), M=sup f(x) 则存在μ,m≤H≤M,使得(x)g(x)dtx=川g(x)dx。 证不妨设g(x)≥0,则mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x),由积分不等式,我们有 m g(x)dx.f(x)g(x)dx<Mg(x)dx 若|g(x)dx=0,取任意都行。 f(xg(x)dx 若8(x)>0,令= 推论1若f(x)在{ab连续,g(x)在[a,b上可积,不变号,则彐ξ∈[a,b],使得 f(x)g(x)dx=f(s)8(x)dx 推论2若f(x)在[a连续,则存在35∈(ab),使得∫f(x)dx=(Xb-a) 推论1是积分第一中值定理与连续函数取中间值定理的直接结论。 推论2的结论中要求ξ∈(an,b),证明还需要作点加工:若f∫为常数,结论显然;若∫ 非常数,则彐x1,x2,使得∫(x1)<M,f(x2)>m且f(x1)>f(x2),还可找到δ>0, 使得M-f(x)>0,p-xlk<6 f(x)-m>0,-x|<6 所以m(b-a)<f(x)x<M(b-a), 取μ f(x)dx,m<μ<M,所以∈(a,b),使得∫()∈μ 3.变限定积分 用 Newton- Leibniz公式,我们知道,若f(x)∈C[a,b,F(x)在[a,b]上是f(x)的原函 数,则vx∈[a,b],有f()d=F(x)-F(a)
136 若 f ， g 在[a, b]可积， f (x) £ g (x)， x Î[a, b] ，则 ò ò £ b a b a f (x)dx g(x)dx 。 即定积分运算是保序的。 2. 积分第一中值定理 定理 设 f (x) ， g (x) 和 f (x)g( x) 在[a, b]可积， g (x) 在[a, b]不变号， m inf f (x) a£x£b = ， M sup f (x) a£x£b = ， 则存在 m ，m £ m £ M ，使得 ò ò = b a b a f (x)g(x)dx m g (x)dx 。 证 不妨设g (x) ³ 0，则mg( x) £ f (x)g( x) £ Mg( x) ，由积分不等式，我们有 ò ò ò £ £ b a b a b a m g(x)dx f (x)g(x)dx M g(x)dx 。 若 ( ) = 0 ò b a g x dx ，取任意 m 都行。 若 ( ) > 0 ò b a g x dx ，令 ò ò = b a b a g x dx f x g x dx ( ) ( ) ( ) m 即可。 推论 1 若 f (x) 在[a, b]连续， g (x) 在[a, b]上可积，不变号，则$x Î[a, b]，使得 ò ò = b a b a f (x)g(x)dx f (x ) g (x)dx 。 推论 2 若 f (x) 在[a, b]连续，则存在$x Î (a,b) ，使得 f (x)dx f ( )(b a) b a = - ò x 。 推论 1 是积分第一中值定理与连续函数取中间值定理的直接结论。 推论 2 的结论中要求x Î(a, b) ，证明还需要作点加工：若 f 为常数，结论显然；若 f 非常数，则 1 2 $x¢ , x¢ ，使得 f (x1 ¢) < M ， f (x¢ 2 ) > m 且 ( ) ( ) 1 2 f x¢ > f x¢ ，还可找到d > 0 ， 使得 M - f (x) > 0 ， x - x1 ¢ < d ； f (x) - m > 0， x - x¢ 2 < d 。 所以 m(b a) f (x)dx M (b a) b a - < < - ò ， 取 ò - = b a f x dx b a ( ) 1 m ，m < m < M ，所以$x Î (a,b) ，使得 f (x ) Î m 。 3. 变限定积分 用 Newton-Leibniz 公式，我们知道，若 f (x) ÎC[a,b] , F( x) 在[a, b]上是 f (x) 的原函 数，则"x Î[a,b]，有 f (t)dt F(x) F(a) x a = - ò
但是我们还不知道若f(x)∈Clb]原函数是否存在,我们称F(x)=J/(M为变上限定 积分,它启示我们它就是∫(x)的一个原函数 定理设f(x)eCab],则F(x)=J()M是f(x)在a上的一个原函数,满足 F(x)=f(x),并且满足F(a)=0。 证为证F(x)=f(x),a≤x≤b,我们固定x0∈(a,b), 考虑当x>x0时 F(x)-F(x0) f(x f()-f(x) x-x."o ∫U(o)-f(x)d ()-f(x0 当x<x0时 F(x)-F(xo) f(xo 1()-/( Ro 因为f(x)在x连续,ⅤE>0,38>0,使得x-x<6时,有(x)-f(x0)<E 这时 IF(x)-F(xo_f(0x-xol f(1)-f(x < x。是区间端点时,左右导数可类似证明 变限定积分还有一些变种 G(x)=(h=.(M,c(x)=-(x, p(x) f(odt= F(o()) x)=f(9(x)q(x) 137
137 但是我们还不知道若 f (x) ÎC[a,b]原函数是否存在，我们称 ò = x a F(x) f (t)dt 为变上限定 积分，它启示我们它就是 f (x) 的一个原函数。 定理 设 f (x) ÎC[a,b]，则 ò = x a F(x) f (t)dt 是 f (x) 在[a, b]上的一个原函数，满足 F¢( x) = f ( x) ，并且满足 F(a) = 0。 证 为证F¢( x) = f ( x) ，a £ x £ b ，我们固定 ( , ) x0 Î a b ， 考虑当 0 x > x 时： ò ò ò - - £ - - = - - - = - - x x x x x x f t f x dt x x f t f x dt x x f t dt f x x x f x x x F x F x 0 0 0 ( ) ( ) 1 [ ( ) ( )] 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 当 0 x < x 时， ò - - - £ - - 0 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 x x f t f x dt x x f x x x F x F x 因为 f (x) 在 0 x 连续，"e > 0，$d > 0 ，使得 x - x0 < d 时，有 ( ) - ( ) < e 0 f x f x 这时 × e × - = e - £ - - - £ - - ò 0 0 0 0 0 0 0 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 0 x x x x f t f x dt x x f x x x F x F x x x 0 x 是区间端点时，左右导数可类似证明。 变限定积分还有一些变种 ò ò = = - x b b x G(x) f (t)dt f (t)dt ， G¢( x) = - f ( x) ， ( ) ( ) ( ( )) ( ) x f t dt F x x a j j F = = ò ， F¢( x) = f (j ( x))j ¢( x)