《线性代数》第四章 习题

6.利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组: 25311743 759453132 0215 (2) 759454134 203-13 25322048 25311743 25311743 759453132|72-3n0123 解(1) 759454134|15-3|0135 25322048n-n1(0135 25311743 -0123 3-n 0013 0000 所以第1、2、3列构成一个最大无关组 11221 0215 TI (2) 203 3r n 0-2-1-5 1104-1) 00 22 r3+n202 分r00-22-2/ 00000 所以第1、2、3列构成一个最大无关组 7.求下列向量组的秩并求一个最大无关组: 2 100 =(1,2,1,3),a2=(4,-1,5,6),a3=(1,3,-4,7)

1 6．利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组: (1)               25 32 20 48 75 94 54 134 75 94 53 132 25 31 17 43 ; (2)               − − − 1 1 0 4 1 2 0 3 1 3 0 2 1 5 1 1 1 2 2 1 . 解 (1)               25 32 20 48 75 94 54 134 75 94 53 132 25 31 17 43 4 1 3 1 2 1 3 3 ~ r r r r r r − − −               0 1 3 5 0 1 3 5 0 1 2 3 25 31 17 43 3 2 4 3 ~ r r r r − −               0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 2 3 25 31 17 43 所以第 1、2、3 列构成一个最大无关组. (2)               − − − 1 1 0 4 1 2 0 3 1 3 0 2 1 5 1 1 1 2 2 1 4 1 3 2 1 ~ r r r r − −               − − − − − − 0 0 2 2 2 0 2 1 5 1 0 2 1 5 1 1 1 2 2 1 3 4 3 2 ~ r r r r  +               − − − 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 0 2 1 5 1 1 1 2 2 1 ， 所以第 1、2、3 列构成一个最大无关组． 7．求下列向量组的秩,并求一个最大无关组: (1)               − = 4 1 2 1 1 a ,               = 4 10 100 9 2 a ,               − − − = 8 2 4 2 3 a ; (2) (1,2,1,3) 1 = T a , (4, 1, 5, 6) 2 = − − − T a , (1, 3, 4, 7) 3 = − − − T a

解(1)-2a1=a3→a1,a3线性相关 由 9100104 08219-32 2-42-8)(0000 秩为2,组最大线性无关组为a1,a2 213 4-1 0-9-9-18 0-5-5-10 3 0-9-9-18 0000 秩为2最大线性无关组为a,a 10.设向量组A:a1,a2,…,a,的秩为r向量组B:b,b2,…,b,的秩 向量组C:a1,a2,…,a,b,b2,…b的秩r3,证明 maxn, 52srsr+r2 证明设A,B,C的最大线性无关组分别为A,B,C’,含有的向量个数 (秩)分别为r,,2则A,BC分别与A,B,C等价易知A,B均可由C 线性表示,则秩(C)≥秩(A秩(C)≥秩(B),即max{r1,h2}≤r 设A与B中的向量共同构成向量组D,则A,B均可由D线性表 示 即C可由D线性表示,从而C可由D线性表示,所以秩(C')≥秩(D) D为r+n2阶矩阵,所以秩(D)≤r+r2即r3≤F+n2 1i证明R(4+B)≤R(4)+R(B) 证明:设A=(a1,a2,…,an)B=(b,b2,…,bn) 且A,B行向量组的最大无关组分别为a1,a2,…,aB1,B,…, 显然存在矩阵A,B',使得 B B2 bn B

2 解 (1) 1 3 1 3 − 2a = a  a ,a 线性相关. 由           − − − − =           2 4 2 8 9 100 10 4 1 2 1 4 3 2 1 T T T a a a           − − 0 0 0 0 0 82 19 32 1 2 1 4 ~ 秩为 2,一组最大线性无关组为 1 2 a ,a . (2)           − − − = − − −           1 3 4 7 4 1 5 6 1 2 1 3 3 2 1 T T T a a a           − − − − − − 0 5 5 10 0 9 9 18 1 2 1 3 ~           − − − 0 0 0 0 0 9 9 18 1 2 1 3 ~ 秩为 2,最大线性无关组为 T T a1 a2 , . 10．设向量组 A : a a as , , , 1 2  的秩为 1 r ,向量组 B : b b bt , , , 1 2  的秩 2 r 向量组 C : a a as b b br , , , , , , , 1 2  1 2  的秩 3 r ,证明 1 2 3 1 2 max{r ,r }  r  r + r 证明 设 A,B,C 的最大线性无关组分别为 A ,B ,C ,含有的向量个数 (秩)分别为 1 2 2 r ,r ,r ,则 A,B,C 分别与 A ,B ,C 等价,易知 A,B 均可由 C 线性表示,则秩( C )  秩( A ),秩( C )  秩( B )，即 1 2 3 max{r ,r }  r 设 A 与 B 中的向量共同构成向量组 D ,则 A,B 均可由 D 线性表 示, 即 C 可由 D 线性表示,从而 C 可由 D 线性表示，所以秩( C )  秩( D ), D 为 1 2 r + r 阶矩阵，所以秩( D ) 1 2  r + r 即 3 1 2 r  r + r . 11.证明 R(A + B)  R(A) + R(B). 证明:设 T A a a an ( , , , ) = 1 2  T B b b bn ( , , , ) = 1 2  且 A,B 行向量组的最大无关组分别为 T r T T 1 , 2 ,  , T s T T  1 ,  2 ,  ,  显然,存在矩阵 A , B ,使得               =                T s T T T n T T A a a a      2 1 2 1 ,               =                T s T T T n T T B b b b      2 1 2 1

+b B ∴A+B= a2+b2 +B Pi B 因此R(4+B)≤R(4)+R(B) 12.设向量组B:b1,…,b,能由向量组A:a1,…a,线性表示为 b1,…,b,) )K 其中K为sxr矩阵,且A组线性无关。证明B组线性无关的充分必要 条 件是矩阵K的秩R(K)=r 证明→若B组线性无关 令B=(b1,…,b)A=(a1,…,a则有B=AK 由定理知R(B)=R(AK)≤min{R(A),R(KsR(K) 由B组:b1,b2,…,b线性无关知R(B)=r,故R(K)≥r 又知K为rⅹs阶矩阵则R(K)smin{r, 由于向量组B:b1,b2…,b能由向量组A:a1,a2…,a,线性表示,则 r≤S 综上所述知r≤R(K)≤r即R(K)=r ←若R(k)=r 令xb+x2b2+…+xb=0,其中x1为实数i=1,2,…,r 则有(b,b2,…,b):|=0 又(b,…,b)=(a1,…,a,)K,则(a1,…,a,)k 0 由于a,,,a线性无关所以k=0

3               + + +  + = T n T n T T T T a b a b a b A B  2 2 1 1               +                =  T s T T T s T T A B         2 1 2 1 因此 R(A + B)  R(A) + R(B) 12．设向量组 B : b br , , 1  能由向量组 A: a as , , 1  线性表示为 (b1 ,  ,br ) = (a1 ,  ,as )K ， 其中 K 为 s  r 矩阵，且 A 组线性无关。证明 B 组线性无关的充分必要 条 件是矩阵 K 的秩 R(K) = r. 证明  若 B 组线性无关 令 ( , , ) ( , , ) B = b1  br A = a1  as 则有 B = AK 由定理知 R(B) = R(AK)  min{ R(A), R(K)}  R(K) 由 B 组: b b br , , , 1 2  线性无关知 R(B) = r ，故 R(K)  r . 又知 K 为 r  s 阶矩阵则 R(K)  min{r,s} 由于向量组 B : b b br , , , 1 2  能由向量组 A : a a as , , , 1 2  线性表示,则 r  s min{r,s} = r 综上所述知 r  R(K)  r 即 R(K) = r ．  若 R(k) = r 令 x1b1 + x2b2 ++ xrbr = 0 ,其中 i x 为实数 i = 1,2,  ,r 则有 ( , , , ) 0 1 1 2 =           r r x x b b  b  又 (b1 ,  ,br ) = (a1 ,  ,as )K ,则 ( , , ) 0 1 1 =           r s x x a  a K  由于 a a as , , , 1 2  线性无关,所以 0 2 1 =                xr x x K 

kx,+k kix=0 k2x2+…+kn2x=0 即 (1) k1x1+k2x2+…+knx=0 k, x,+k sx +…+kx.=0 由于R(K)=r则(1)式等价于下列方程组: k1x1+k21x2+…+kn1x1=0 k12x1+k2x2+…+k2x=0 k1x1+k2xx2+…+knx=0 由于 k12k2 ≠0 所以方程组只有零解x1=x2=…=x=0所以b,b2,…,b线性无关, 证毕 18.设A 2-213 ,求一个4×2矩阵B,使AB=0,且 9 2 R(B)=2 解由于R(B)=2,所以听设B=/00 则由 3 10 21301 AB 可得 00

4 即          + + + = + + + = + + + = + + + = 0 0 0 0 1 1 2 2 1 1 2 2 12 1 22 2 2 11 1 21 2 1 s s rs r r r rr r r r r r k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x       （1） 由于 R(K) = r 则(1)式等价于下列方程组:        + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 12 1 22 2 2 11 1 21 2 1 r r rr r r r r r k x k x k x k x k x k x k x k x k x     由于 0 1 2 12 22 2 11 21 1  r r rr r r k k k k k k k k k       所以方程组只有零解 x1 = x2 == xr = 0.所以 b b br , , , 1 2  线性无关, 证毕. 18．设         − − = 9 5 2 8 2 2 1 3 A ,求一个 42 矩阵 B,使 AB = 0,且 R(B) = 2 . 解 由于 R(B) = 2 ,所以可设               = 3 4 1 2 0 1 1 0 x x x x B 则由         =                       − − = 0 0 0 1 0 0 1 0 9 5 2 8 2 2 1 3 3 4 1 2 x x x x AB 可得

030x 0103‖x 解此非齐次线性方程组可得唯一解 2080‖x 9 0208 2 10 2,故所求矩阵B=111 22 2 19.求一个齐次线性方程组使它的基础解系为 5=(0,1,2,3),51=(3,2,,0 解显然原方程组的通解为 k|+k2 11(4,k2∈R x1=3k 即{与=k+2k 消去k1,k2得 x3=2k1+k2 3k 2x1-3x2+x4=0 此即所求的齐次线性方程组 3x2+2x4=0 20.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知m1,m2,n3是它 的三个解向量.且 2 3 72+们3 求该方程组的通解

5               − − =                             5 9 2 2 0 2 0 8 2 0 8 0 0 1 0 3 1 0 3 0 4 3 2 1 x x x x ,解此非齐次线性方程组可得唯一解                       − =               2 1 2 5 2 1 2 11 4 3 2 1 x x x x ， 故所求矩阵                 − = 2 1 2 5 2 1 2 11 0 1 1 0 B ． 19．求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为 T T (0,1,2,3) , (3,2,1,0)  1 =  1 = . 解 显然原方程组的通解为               +               =               0 1 2 3 3 2 1 0 1 2 4 3 2 1 k k x x x x ,( k1 ,k2  R ) 即        = = + = + = 4 1 3 1 2 2 1 2 1 2 3 2 2 3 x k x k k x k k x k 消去 1 2 k , k 得    − + = − + = 3 2 0 2 3 0 1 3 4 1 2 4 x x x x x x 此即所求的齐次线性方程组. 20．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3，已知 1 2 3  , , 是它 的三个解向量．且               = 5 4 3 2 1 ，               + = 4 3 2 1 2 3 求该方程组的通解．