第八章曲线积分和曲面积分 我们前面已学过定积分和重积分,当一个函数定义在空间的曲线或曲面时,则要求我们 计算曲线积分或曲面积分。由于物理背景的不同,我们还须区别曲线或曲面的方向性,因此 我们要分别研究两种不同类型的积分 S1第一型曲线积分与曲面积分 1.第一型曲线积分 我们研究如下的一个理想问题,给定空间的一条曲线物体L,L上每点有线密度,现在 我们要求它的质量。 我们对此问题作如下限制,设L是空间的可求长曲线,端点为A和B,密度函数 f∫(xw,z)在L上定义。为了求质量,象定积分一样,我们对L作一分割 A=A,4,…,A=B(4,j=1,2,…,n,在L上),这样我们就将L分成n小段,设每段的 长度为囗s。在每段弧长上任取一点(51,n,5),作和式 以此作为L质量的近似值。最后我们令=max口s,}→0,即可得到L质量的精确值M, M=lim∑f(5,n51知s 由此我们可得到以下定义 定义设L是空间可求长曲线,fxy,z)在L上连续,L的两个端点为AB,依次用分 点A=A0,A1;…,A=B将L分成n小段。每小段弧及弧长均记为囗s,在口S上任取一点 P=(5,y,5),作和式 f(, ns,p 如果当=max{s}→>0时,上述和式的极限存在,且不依赖于L的分法及P的选取, 则称这一极限值为f(y)在L上的第一型曲线积分,记作fy 第一型曲线积分也有类似于定积分的一些性质,如关于被积函数的线性及关于曲线的可
第八章 曲线积分和曲面积分 我们前面已学过定积分和重积分，当一个函数定义在空间的曲线或曲面时，则要求我们 计算曲线积分或曲面积分。由于物理背景的不同，我们还须区别曲线或曲面的方向性，因此 我们要分别研究两种不同类型的积分。 §1 第一型曲线积分与曲面积分 １． 第一型曲线积分 我们研究如下的一个理想问题，给定空间的一条曲线物体 L，L 上每点有线密度，现在 我们要求它的质量。 我们对此问题作如下限制，设 L 是空间的可求长曲线，端点为 A 和 B，密度函数 fxyz (,,) 在 L 上定义 。 为了求质量 ， 象定积分一样， 我们对 L 作一分割 ， 0 1 , , , ,( , 1,2, , , ) A A= A L L An j = = B A j n L 在 上 ，这样我们就将 L 分成 n 小段，设每段的 长度为 j Vs 。在每段弧长上任取一点 xhV （ jjj , , ），作和式 , 1 ( , ) n j j j j j f s x h V = å V 以此作为 L 质量的近似值。最后我们令 1 max{}0 j j n l s £ £ = ® V ，即可得到 L 质量的精确值 M， 即 , 0 1 lim ( , ) n j j j j j M f s l x h V ® = = å V 由此我们可得到以下定义 定义 设 L 是空间可求长曲线， fxyz (,,) 在 L 上连续，L 的两个端点为 A,B，依次用分 点 0 1 ,,, A A= = A L A B n 将 L 分成 n 小段。每小段弧及弧长均记为 j Vs ，在 j Vs 上任取一点 (,,) Pj jjj = xhV ，作和式 , 1 ( , ) n j j j j j f s x h V = å V 如果当 1 max{}0 j j n l s £ £ = ® V 时，上述和式的极限存在，且不依赖于 L 的分法及 Pj 的选取， 则称这一极限值为 fxyz (,,) 。在 L 上的第一型曲线积分，记作 (,,) L fxyz ds ò 。 第一型曲线积分也有类似于定积分的一些性质，如关于被积函数的线性及关于曲线的可
加性,它与定积分的一个差别是第一型曲线积分与曲线的方向无关。希望读者能注意到这 点 关于第一型曲线积分,我们有以下定理。称一条曲线L:x=x(m),y=y(1),z=2(1), (a≤t≤b)是光滑的,如果x(0,y(1),z(1)∈Ca,b],且对t∈[a,b] x2(t)+y2(t)+z2()≠0 X= 定理1设L:{y=y(),(a≤1≤b),光滑曲线,函数∫(xy,)在L上连续,则 z=z(1) ∫/p)=(x0,y(0,)F=(0+y(0)+=( 证:由弧长公式,我们有 ()=.y=0+y2(0+2(0d 有S()=y√x2(1)+y2()+2(1)>0,从而)是[ab]上严格递增的连续函数,且记 l=s(b),则s(1)将[a,b]一一地映成[0,,s=s(1)存在反函数t=l(s)。令x=x((s) y=y((s),从而得到以弧长为参数的曲线L的方程,因此对L的任一分割得到的和式 ∑∫(5,n5S=∑f(x(3)y((3,=(5)s 由于右边是连续函数f(x(1(s),y(1(s)2(1(s))在[0,4上的 Riemann和,从而当 λ=max口s,}→0时,右边趋向它在[O.上的定积分,从而有 对上式右端作积分变量替换s=s(1),即得 「/p)=f(x1)y0.0)yx=0+y2(0+=(0t 例1计算第一性曲线积分I +y ds, L: x+y=ax o 解:曲线的参数方程:x=2+ -coSt,y= -sint,(0≤7≤2x)。因
加性，它与定积分的一个差别是第一型曲线积分与曲线的方向无关。希望读者能注意到这一 点。 关于第一型曲线积分，我们有以下定理。称一条曲线 L： x === x(t), y y(t),z z t( ) ， ( ) atb £ £ 是光滑的，如果 (1) x( )t , y(t),z(t) ÎC [,] a b ，且对t Î[,] a b ， 222 x¢¢¢ (t) ++¹ y (t) z t( ) 0 定理 1 设 L： ( ) ( ) ( ) x x t y y t z z t ì = ï í = ï î = ，( ) atb £ £ ，光滑曲线，函数 fxyz (,,) 在 L 上连续，则 222 (,, ) ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ) ( ) b L a fxyz ds = f x t y t z t x¢¢¢ t + + y t z t dt ò ò 证：由弧长公式，我们有 222 ( ) ( ) ( ) ( ) t a s t = x¢¢¢ t + + y t z t dt ò 有 222 S¢(t) = x¢¢¢ (t) ++> y (t) z t( ) 0 ，从而 s t( ) 是[,] a b 上严格递增的连续函数，且记 l = s b( ) ，则 s t( ) 将[,] a b 一一地映成[0, ]l ， s = s t( ) 存在反函数t = t s( ) 。令 x = xts ( ( )) ， y = yts ( ( )) ，从而得到以弧长为参数的曲线 L 的方程，因此对 L 的任一分割得到的和式 , 1 1 ( , ) ( ( ( ), ( ( ), ( ( ))) n n j j j j j j j j j j f x h V s f x t s y t s z t s s = = å å V V = 由于右边是连续函数 f ((( x t s)), y t( (s)),zts ( ( ))) 在 [0, ]l 上 的 Riemann 和 ， 从而当 1 max{}0 j j n l s £ £ = ® V 时，右边趋向它在[0, ]l 上的定积分，从而有 0 (,, ) ((( )), ( ( )), ( ( ))) l L fxyz ds fxt s y t s z t s ds ò ò 对上式右端作积分变量替换 s = s t( ) ，即得 222 (,, ) ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ) ( ) b L a fxyz ds = f x t y t z t x¢¢¢ t + + y t z t dt ò ò 例1 计算第一性曲线积分 2 2 L I = + x y ds ò ，L： 2 2 x y + = ax 。 解 ： 曲线的参数方程 ： cos 2 2 a a x t = + ， sin 2 a y t = ， (0 £ £t 2 ) p 。 因
ds=(sin32+(cos)dt=-dt,所以 x2+0.ra a(1+ cost Icos-Wt=2a cos tdt=2a 例2设L为球面x2+y2+z2=a2与平面x+y+z=0的交线,试求 I=「x2ds 解法1先求L的参数方程,为此考虑正交变换 x+y 在坐标系On中L的参数方程为5= acos t,n=asin,s=0,(0≤1≤27),所以在坐标系 O中L的参数方程为: x=- cost cosI+rSnt,二= sint,(0≤t≤2r),应用公式 得 ×asmn)amh=xd。 解法2由对称性知 「x=Jyd=」=d 所以 a ds=2ra==ra2。 2.第一型曲面积分 为了定义第一型曲面积分,我们首先要解决曲面的面积问题。回忆一下,在求曲线长度 时,我们是用曲线的内接折线或外接折线的长度来逼近曲线的长度的。对于空间的曲面,我 们现在能够直接计算的只有平面图形的面积,因此我们希望用多面形的面积来逼近曲面的面
2 2 ( sin ) ( cos ) 2 2 2 a a a ds t = + = t dt dt ，所以 2 2 2 0 2 2 2 2 2 0 0 (1 cos ) 2 2 |cos | 2 cos 2 2 2 L a a t I x y ds dt a t dt a tdt a p p p + = + = = = = ò ò ò ò 例2 设 L 为球面 2222 xyza ++= 与平面 xyz ++= 0 的交线，试求 2 L I = x ds ò 解法 1 先求 L 的参数方程，为此考虑正交变换 1 ( ) 2 1 ( 2 ) 6 1 ( ) 3 x y x y z xyz x h V ì = - ï ï ï í = + - ï ï ï = + + î 在坐标系OxhV 中 L 的参数方程为x h = = a cost, a sin t t ,V p = 0,(0 £ £ 2 ) ，所以在坐标系 Oxyz 中 L 的参数方程为： 2 cos sin , cos sin , sin 2 6 2 6 6 a a a a a x t = + t y = - t + t z t = - ，(0 £ £t 2 ) p ，应用公式 得 2 2 3 0 2 ( cos sin ) 2 6 3 a a I t t adt a p =+= p ò 。 解法 2 由对称性知 222 LLL x ds = = y ds z ds òòò 所以 2 2 1 2 2 2 2 2 ( ) 2 3 L L 333 a a I = x y + + z ds === ds p p a a ò ò g 。 2． 第一型曲面积分 为了定义第一型曲面积分，我们首先要解决曲面的面积问题。回忆一下，在求曲线长度 时，我们是用曲线的内接折线或外接折线的长度来逼近曲线的长度的。对于空间的曲面，我 们现在能够直接计算的只有平面图形的面积，因此我们希望用多面形的面积来逼近曲面的面
积 一个最自然的方法是用曲面的内接多面形的面积逼近曲面的面积。遗憾的是这种方法是 行不通的。 Schwarz曾对圆柱面这一简单曲面作过研究,他证明了圆柱面的内接三角形面积 和的极限依赖于三角形高与低的比例。若我们选取的小三角形与圆柱切面几乎垂直时,则三 角形面积和可以趋于无穷。因此,我们不能用这种方法来逼近曲面的面积 仔细分析以上的例子,我们发现出现这种情况的主要问题是构造的平面与切平面的角度 不保持一致。这也启发我们用小块切平面来近似曲面的面积。这时曲面与近似的平面保持方 向一致。因此分割很细时,它们的面积和将近似于曲面的面积 我们先来求光滑曲面S (x,y)∈D 的面积。这里我们对此曲面作如下假定:D是又光滑函数曲线围成的区域,fx,,在D连 续。由此,我们知道曲面每一点的切平面都存在 任给曲面一个分割,我们相应地得到D的一个分割。反之亦然。因此,我们从D的一 个分割着手。设D有一个分割口D(=1,2…m)。这样我们得到S的一个分割 口S(i=1,2…n)。为了近似地求出口S的面积,我们在囗S任取一点(,,f(21),作 曲面过该点的切平面,去切平面与囗S具有相同的投影区域的部分为G,。因此我们得到了 曲面S的一个近似面积 由于曲面在P(5,1,(1,n)处的法向为 ((5,),,(5,)-1) 从而S在P处的方向余弦( cosa,cos B,cosy)中的cosy满足 cosy= ∫(5,)+∫(5,7 因此S的面积可以近似地表示成连续函数F(x,y)=√+f2(x,y)+f2(x,y)在区域D内 的 Riemann和。由假定,当λ=max{D,的直径}→>0时,我们有 S=im∑F(,nnD ∫√h+f:(x,y)+f(x x, y)dxdy
积。 一个最自然的方法是用曲面的内接多面形的面积逼近曲面的面积。遗憾的是这种方法是 行不通的。Schwarz 曾对圆柱面这一简单曲面作过研究，他证明了圆柱面的内接三角形面积 和的极限依赖于三角形高与低的比例。若我们选取的小三角形与圆柱切面几乎垂直时，则三 角形面积和可以趋于无穷。因此，我们不能用这种方法来逼近曲面的面积。 仔细分析以上的例子，我们发现出现这种情况的主要问题是构造的平面与切平面的角度 不保持一致。这也启发我们用小块切平面来近似曲面的面积。这时曲面与近似的平面保持方 向一致。因此分割很细时，它们的面积和将近似于曲面的面积。 我们先来求光滑曲面 S： z = fxy ( , ) (,) x y D Î 的面积。这里我们对此曲面作如下假定： D 是又光滑函数曲线围成的区域， , x y f f 在 D 连 续。由此，我们知道曲面每一点的切平面都存在。 任给曲面一个分割，我们相应地得到 D 的一个分割。反之亦然。因此，我们从 D 的一 个分割着手 。 设 D 有一个分割 ( 1,2 ) Di V L i n = 。 这样我们得到 Ｓ 的一个分割 ( 1,2 ) Si V L i n = 。为了近似地求出 VSi 的面积，我们在 VSi 任取一点(,,(, )) i i i i x h f x h ，作 曲面过该点的切平面，去切平面与VSi 具有相同的投影区域的部分为Vsi 。因此我们得到了 曲面Ｓ的一个近似面积 1 n i i S s = »åV 由于曲面在 (,,(, )) P f j j j j j x h x h 处的法向为 ((, ), ( , ), 1) x j j yjj ± - f f x h x h 从而 S 在Pj 处的方向余弦(cosabg ,cos ,cos ) 中的cosg 满足 2 2 1 |cos | 1 ( , ) (,) x j j yjj f f g x h x h = + + 因此Ｓ的面积可以近似地表示成连续函数 2 2 ( , ) 1 ( , ) ( , ) F x x y y = + + f x y f x y 在区域Ｄ内 的 Riemann 和。由假定，当 1 max j n l £ £ = ｛ Dj 的直径｝® 0 时，我们有 0 1 2 2 lim (,) 1 ( , ) ( , ) n i i i i x y D S F D f x y f x y dxdy l x h ® = = = + + å òò V
这样我们就得到了曲面S的面积计算公式。从微元法的观点,我们有以下的面积微元表达式 =n dxdy coSy 前一表达式我们从以上推导得到,后一表达式我们可以这样来理解,任取曲面一点 f(,,二),作以平面x=x0及y=y与曲面的交得到两条曲线,这两条曲线在f的切方 向为=(1,0,Jx)及2=(10,J,),它们张成的小平行四边形的面积即为 ×万d=1+f2+2 利用这种思路,我们可以用微元法求一般参数方程所确定的曲面的面积 设空间曲面S方程为: x=x(u, v),y=y(u, v),2=(u,v), U,vED 其中D是有界闭区域。函数x,y,二在D具有连续偏导,且 Jacobi矩阵 u ouou ax 在D的每一点的秩为2。因此我们推出曲面每点都存在两个线性无关的切向量 从而该点的法向量 万=/(y,2)(=,x)x,y) (a(u,n)2(u,y)(u,) i j k ay ac =±(元×)≠0 现记 A (y,2)n_O(,x)_( a(2v)
这样我们就得到了曲面Ｓ的面积计算公式。从微元法的观点，我们有以下的面积微元表达式， | | |cos | dxdy ds n dxdy g = = r 前一表达式我们从以上推导得到，后一表达式我们可以这样来理解，任取曲面一点 0000 Pxyz (,,) ,作以平面 0 x x = 及 0 y y = 与曲面的交得到两条曲线，这两条曲线在P0 的切方 向为 1 (1,0, )x r f = r 及 2 (1,0, )y r f = r ，它们张成的小平行四边形的面积即为 2 2 1 2 | | 1 x y r r ´ dxdy =++ f f dxdy r r 利用这种思路，我们可以用微元法求一般参数方程所确定的曲面的面积。 设空间曲面Ｓ方程为： x = = x u( ,v y ), y u( ,v z ), = Î z u( , v), (,) u v D 其中 D 是有界闭区域。函数 xyz , , 在 D 具有连续偏导，且 Jacobi 矩阵 xyz uuu xyz vvv æ ö ¶¶¶ ç ÷ ¶¶¶ ç ÷ ¶¶¶ ç ÷ è ø ¶¶¶ 在 D 的每一点的秩为２。因此我们推出曲面每点都存在两个线性无关的切向量 ( ) ( ) u v xyz r uuu xyz r vvv ¶¶¶ = ¶¶¶ ¶¶¶ = ¶¶¶ r r 从而该点的法向量 ( , ) ( , ) (,) , , ( , ) ( , ) (,) ( u v ) 0 y z z x x y n u v u v u v i j k xyz uuu xyz vvv r r æ ö ¶¶¶ = ± ç ÷ è ø ¶¶¶ ¶¶¶ = ± ¶¶¶ ¶¶¶ ¶¶¶ = ±´¹ r r r r r r 现记 ( , ) ( , ) (,) , , ( , ) ( , ) (,) y z z x x y ABC u v u v u v ¶¶¶ === ¶¶¶