第二章极限 §2.1序列极限定义 定义域为N的函数也称为序列,记为f(),f(2),A,f(n),A,习惯上记为 x1,x2,A,xn,A,或简单地记为{xn}。其中xn称为通项,它可由公式给出,也可由其它法 则给出。 n 3,3.1,3.14,3.141,3.1415 在信号处理和图像处理中,计算机无法处理连续变量的函数,都要通过采样来处理, 元函数经采样后就得到一个序列。 这里我们关心的是当n越来越大时,序列xn的行为特点,如1,,,A,一,A,当n越 来越大时,工越来越接近于0。我们称它以0为极限。 描述定义给定序列{xn},当n无限增大时,xn无限地接近于a,称a为当n趋向无 穷时序列{xn}的极限,记作 x→a(n→+0 lmx=a。 例1x.=14(-1) xn→1(n→>∞)。 例2xn=(-1)",没极限 如何精确地刻画“无限接近”这一概念,我们用“误差”方法。而“误差”是用绝对值 刻画的
19 第 二 章 极 限 §2.1 序列极限定义 定义域为 N 的函数也称为序列， 记为 f (1), f (2),L , f (n), L ，习惯上记为 x1 , x2 ,L , xn ,L ，或简单地记为{ }n x 。其中 n x 称为通项，它可由公式给出，也可由其它法 则给出。 如： L ,L 1 , , 3 1 , 2 1 1, n 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ... 在信号处理和图像处理中，计算机无法处理连续变量的函数，都要通过采样来处理，一 元函数经采样后就得到一个序列。 这里我们关心的是当n 越来越大时，序列 n x 的行为特点，如 L ,L 1 , , 3 1 , 2 1 1, n ，当n 越 来越大时， n 1 越来越接近于 0。我们称它以 0 为极限。 描述定义 给定序列{ }n x ，当n 无限增大时， n x 无限地接近于a ，称a 为当n 趋向无 穷时序列{ }n x 的极限，记作 x ® a (n ® +¥) n 或 x a n n = ®+¥ lim 。 例 1 , 1 ( 1) 1 ® - = + n n n x n x (n ® ¥) 。 例 2 n n x = (-1) , 没极限。 如何精确地刻画“无限接近”这一概念，我们用“误差”方法。而“误差”是用绝对值 刻画的。 0 x y 1
定义 xx<0。 命题r =Sgnx:x。 格运算ab=max(a,b)= (a+b) 2 anb=min(a, b)=(a+b)k 2 几何意义 (a+b) 为线段ab(或加)的中点,|一b为a,b距离, +b 为中点加上 2 两点距离之半,当然就是a,b中最大的一点 性质1.r>0, <r-r<X<, x-d<rsa-r<x<a+r。 2.kx+=+计,等号成立xy同号,推广∑叫s∑| 3. x y=.y 4 2 注:4也可以写成√ab≤ b 2’E表明对任何两个非负实数,它们的几何平均小于 等于算术平均。 imxn=a就是说xn与a的误差要多小就有多小,只要n充分大 定义VE>0,彐N∈N,使得当n>N时,有x-d<,则称序列{xn}的极限为 a,记作 lim x=a或xn→a(n→>+∞)。 几何意义称{x:|x-d<e}=(a-E,a+E)为a的E一邻域,imxn=a是指对a 的任何E一邻域,序列{xn}在这一E一邻域外只有有限项。 例1求证imq”=0,(0<q<1)
20 定义 î í ì - < ³ = 。 ， 0 0 x x x x x 命题 x = sgn x × x 。 格运算 a Ú 2 2 ( ) max( , ) a b a b b a b - + + = = a Ù 2 2 ( ) min( , ) a b a b b a b - - + = = 几何意义 2 (a + b) 为线段ab（或ba ）的中点， a -b 为a, b 距离， 2 2 a b a - b + + 为中点加上 两点距离之半，当然就是a, b 中最大的一点。 性质 1． r > 0, x < r Û -r < x < r ， x - a < r Û a - r < x < a + r 。 2． x + y £ x + y , 等号成立Û x, y 同号，推广 å å = = £ n k k n k ak a 1 1 。 3． x × y = x × y 。 4． 2 2 2 a b ab + £ 。 注： 4 也可以写成 2 a b ab + £ ，它表明对任何两个非负实数，它们的几何平均小于 等于算术平均。 x a n n = ®+¥ lim 就是说 n x 与a 的误差要多小就有多小，只要n 充分大。 定义 "e > 0, $ N ÎN，使得当n > N 时，有 x - a < e , 则称序列{ }n x 的极限为 a ，记作 x a n n = ®+¥ lim 或 x ® a (n ® +¥) n 。 几何意义 称{x : x - a < e} = (a - e,a +e ) 为a 的e -邻域， x a n n = ®+¥ lim 是指对 a 的任何e -邻域，序列{ }n x 在这一e -邻域外只有有限项。 例 1 求证 lim = 0 , (0 < < 1) ®¥ q q n n
证VE>0,不妨设E<1,要使|"-0=q<E,只要nq<图E(注意这 里q<0,gE<0),只要n、gE,面N2里,则当n>N时,就有 Ig q lg q 例2求证lmna=1(a>0) 证法1先设a>1,VvE>0,要使|-1=4-1<E,只要4<1+6 只要Q<(1+2,只要n>11 取N= 1+6)/,当n>N时,就有阳a-E,即ma=1。对 0<a<1,令b=1,则mG a n-o lim√b n→) 证法2令a-1=hn,则a=(1+bn)=1+mhn+A+h>mhn,0<hn< va>0,要使=b,具要2=,取N-2]只要2,或有 <E,即l 例3证lin 0(a>1) 证因为 a=2.g.A.a..-A.<.a=c.(c= nI 12[a][a]+1 E>0,要使,-0 <E,只要一<E,取N 则只要n>N,就 n! 有-0<E,即lim 总结用定义求极限或证明极限的关键是适当放大不等式,关键的追求有两点,一是 把隐性表达式变成显性表达式,在重锁迷雾中看清庐山真面目,二是抓住主要矛盾,舍去次 要矛盾:要取舍合理,不能放大得过份。 §2.2序列极限的性质和运算
21 证 "e > 0 , 不妨设e < 1，要使 - = < e n n q 0 q ，只要 n lg q < lg e （注意这 里 lg q < 0 , lg e < 0 ），只要 q n lg lg e > 。 取 ú û ù ê ë é = q N lg lg e ，则当 n > N 时，就有 - 0 < e n q ， 即 lim = 0 ®¥ n n q 。 例 2 求证lim = 1 ( > 0) ®¥ a a n n 。 证法 1 先设a >1，"e > 0 ，要使 - 1 = -1 < e n n a a ， 只要 < 1+ e n a ， 只要 lg lg (1 ) 1 a < + e n ，只要 lg(1 ) lg + e > a n 。 取 úû ù êë é + = lg(1 ) lg e a N ， 当 n > N 时，就有 - 1 < e n a ，即 lim = 1 ®¥ n n a 。对 0 < a <1，令 a b 1 = ，则 1 lim 1 lim = = ®¥ ®¥ n n n n b a 。 证法 2 令 n n a -1 = h ，则 n n n n n n a = (1+ h ) = 1+ nh +L + h > nh ， n a h 0 < n < " e > 0 , 要使 - = < e n n a 1 h , 只要 < e n a ，取 ú û ù ê ë é = e a N ，只 要 n > N ，就有 - 1 < e n a ，即lim = 1 ®¥ n n a 。 例 3 证 0 ( 1) ! lim = > ®¥ a n a n n 。 证 因 为 ) [ ]! ( ! 1 2 [ ] [ ] 1 [ ]! [ ] [ ] a a c n a c n a a a n a a a a a a a n a n a a × × < × = × = + = × ×L × × L ， " e > 0 ， 要使 - = < e ! 0 ! n a n a n n ，只要 < e × n c a ，取 ú û ù ê ë é × = e c a N ，则只要 n > N ，就 有 - 0 < e n! a n ，即 0 ! lim = ®¥ n a n n 。 总结 用定义求极限或证明极限的关键是适当放大不等式，关键的追求有两点，一是 把隐性表达式变成显性表达式，在重锁迷雾中看清庐山真面目，二是抓住主要矛盾，舍去次 要矛盾；要取舍合理，不能放大得过份。 §2.2 序列极限的性质和运算
象四则运算一样,我们把求极限也看成是一种运算,但这种运算是施加在无穷序列上, 取值是一个实数,如果存在的话,但还有大量不存在极限的序列 定理1(唯一性)若序列的极限存在,则极限值唯 (a+b)2 b 证反证法,如果不然,至少有两个不等的极限值,设为a和b,a<b,lmxn=a b lmx.=b,取Eo=2 >0,由极限定义,彐N1,使得当n>N1时,有 +b x <a+E 又彐N2,使得当n>N2时,有 a+b <E0 b 则当n>ma(N1,N2)时,有 a+b <x 矛盾! 定义若彐M>0,使得x|≤M,Vn,则称{xn}有界。 定理2(有界性)若序列{xn}有极限,则{xn}有界。 证设lnxn=a,取Eo=1,按定义,彐N,使得当n>N时,有 Ix-a< xn≤|d+xn-dl<d+1。 令M=mal+1|xA,x),则对vn∈N,有x≤M,故{xn}有界。 下面定理表明求极限这种运算与四则运算可交换。 定理3(四则运算)设lmxn=a,lmyn=b,则 1)m(xn±yn)=a±b =a
22 象四则运算一样，我们把求极限也看成是一种运算，但这种运算是施加在无穷序列上， 取值是一个实数，如果存在的话，但还有大量不存在极限的序列。 定理 1（唯一性）若序列的极限存在，则极限值唯一。 证 反证法，如果不然，至少有两个不等的极限值，设为a 和b ，a < b， x a n n = ®¥ lim ， x b n n = ®¥ lim ，取 0 2 0 > - = b a e ，由极限定义，$ N1，使得当n > N1时， 有 0 x - a < e n ， 2 0 a b x a n + < + e = 又$ N2 ，使得当 n > N2时，有 则当 max( , ) n > N1 N2 时，有 n n x a b x < + < 2 矛盾！ 定义 若 $ M > 0，使得 xn £ M ，" n ，则称 { }n x 有界。 定理 2（有界性）若序列{ }n x 有极限，则{ }n x 有界。 证 设 x a n n = ®¥ lim ，取 e0 =1，按定义，$ N ，使得当n > N 时，有 x - a < e n ， xn £ a + xn - a < a +1 。 令 max( 1, , , ) 1 N M = a + x L x ，则对" n Î N ，有 xn £ M ，故{ }n x 有界。 下面定理表明求极限这种运算与四则运算可交换。 定理 3（四则运算） 设 x a n n = ®¥ lim ， y b n n = ®¥ lim ，则 1） x y a b n n n ± = ± ®¥ lim ( ) 2） x y a b n n n × = × ®¥ lim ( ) n n b x a b x b = - < + - < 0 0 2 e , e ( ) ( ) b a (a+b)/2 x n
3)若b≠0,yn≠0,则m()=1 b 证:1)>0,由x,=a,3N,使得当n>N时,有,<2。又由 lmyn=b,3N2,使得当n>N2时,有。-b<5。取N=ma(N,N2),则当n>N (xn±y)-±b (a,b) Lm-a+y,-bI (a,) 即im(xn±yn)=a±b。 n→, 2)分析 I, y,-ab=,.yn-yn a+ ym.a-a.b pyxn-a+叫yn-b 加一项,减一项称为插项方法,是一个至关重要的方法 由有界性定理,彐M1>0,n,川≤M1。令M=maN(M1,|)>0,VE>0 由lmxn=a,N,使得当n>M时,有,-l<。又由lyn=b,彐N2, 使当n>N2时,有yn-b< E 取N=max(N1,N2),则当n>N时,有 2M Lxmyn-a.bsbymlxm-a+albym-bl (rn -al+vm-bp) ≤M( 2M 即im(xnyn)=a·b。 3)由2),只要证m11 y,b 分析 ly,-b. vn 当n充分大时
23 3）若 b ¹ 0, yn ¹ 0，则 b a y x n n n = ®¥ lim ( ) 。 证：1）"e > 0 ，由 x a n n = ®¥ lim ，$ N1，使得当n > N1时，有 2 e xn - a < 。又由 y b n n = ®¥ lim ，$ N2 ，使得当n > N2时，有 2 e yn - b < 。 取 max( , ) N = N1 N2 ，则当n > N 时，有 e 。 e e £ + = £ - + - ± - ± 2 2 ( ) x a y b x y a b n n n n 即 x y a b n n n ± = ± ®¥ lim ( ) 。 2） 分析 y x a a y b x y a b x y y a y a a b n n n n n n n n n £ - + - × - × = × - × + × - × 加一项，减一项称为插项方法，是一个至关重要的方法。 由有界性定理，$ M1 > 0 ，" n ， M1 yn £ 。令 M = max( M1 , a ) > 0 ， " e > 0 ， 由 x a n n = ®¥ lim ，$ N1 ，使得当n > N1时，有 M x a n 2 e - < 。又由 y b n n = ®¥ lim ，$ N2 ， 使当n > N2时，有 M y b n 2 e - < 。取 max( , ) N = N1 N2 ，则当n > N 时，有 xn × yn - a×b £ yn xn - a + a yn -b ) . 2 2 ( ( ) e e e £ + = £ - + - M M M M x a y b n n 即 x y a b n n n × = × ®¥ lim ( ) 。 3） 由 2），只要证 y b n n 1 1 lim = ®¥ 。 分析 y b y b b y b y b n n n n £ - - - = 2 1 1 2 , 2 b yn ³ 当n 充分大时。 (a,b) (a,y n (x ) n ,y n )