第四章多元函数微分学 §2.1偏导数 设D是R中的区域,z=∫(x,y)是D上的函数.设B=(x,y0)∈D,我们希望定 义f(x,y)在P点的导数,即因变量相对于自变量的变化率.但如果将P=(x,y)作为变量 由于其是二维向量,没有除法,因此很难定义∫(x,y)-f(x0,y)相对于 P-P=(x-x,y-y0)的变化率.我们只能将P=(x,y)的分量x和y分别作为自变量 来定义导数 将y固定在y,则∫(x,y)是x的函数.如果lm f(x, yo)-f(xo, yo) 存在,则称 f∫(x,y)在(x0,y)处沿x方向可导,称极限为∫(x,y)在(x0,y)处关于x的偏导数,记之 为(x0,)或(x,3) 同样我们定义f(x,y)在(x,y)处沿y方向的偏导数(x0,y)为 lim /(xo,y)-/(xo, yo) y=yo 例:设f(x,y)=x如my2+y3,则2(x=如my2,而 (x,y) xcos y2 2y+3y2=2xycos y2+3 上例说明偏导数的计算仅是一元函数求导的简单推广.因此一元函数求导的公式和性 质对偏导数都成立 由偏导数的定义不难看出,(x,y)在(xn,3)处存在偏导数(x,),9(xn,x) a 仅与∫(x,y)沿x轴方向和y轴方向变化有关,与∫(x,y)在其余部分的取值无关因而与 元函数不同,偏导在一个点的存在不能得出函数在这点连续 例:设
1 第四章 多元函数微分学 §2.1 偏导数 设 D 是 2 R 中的区域, z = f ( x, y) 是 D 上的函数. 设 P0 = (x0 , y0 )Î D , 我们希望定 义 f (x, y) 在 P0 点的导数, 即因变量相对于自变量的变化率. 但如果将P = ( x, y) 作为变量, 由于其是二维向量 , 没有除法 , 因此很难定义 ( , ) ( , ) 0 0 f x y - f x y 相对于 ( , ) 0 0 0 P - P = x - x y - y 的变化率. 我们只能将 P = ( x, y) 的分量 x 和 y 分别作为自变量 来定义导数. 将 y 固定在 0 y , 则 ( , ) 0 f x y 是 x 的函数. 如果 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim 0 x x f x y f x y x x - - ® 存在, 则称 f (x, y) 在( , ) 0 0 x y 处沿 x 方向可导, 称极限为 f (x, y) 在( , ) 0 0 x y 处关于 x 的偏导数, 记之 为 ( , ) 0 0 x y x f ¶ ¶ 或 ( , ) 0 0 f x y x . 同样我们定义 f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 处 沿 y 方向的偏导数 ( , ) 0 0 x y y f ¶ ¶ 为 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim 0 y y f x y f x y y y - - ® . 例: 设 2 3 f (x, y) = x sin y + y , 则 2 sin ( , ) y x f x y = ¶ ¶ , 而 2 2 2 2 cos 2 3 2 cos 3 ( , ) x y y y xy y y y f x y = × × + = + ¶ ¶ . 上例说明偏导数的计算仅是一元函数求导的简单推广. 因此一元函数求导的公式和性 质对偏导数都成立. 由偏导数的定义不难看出, f (x, y) 在( , ) 0 0 x y 处存在偏导数 ( , ) 0 0 x y x f ¶ ¶ , ( , ) 0 0 x y y f ¶ ¶ 仅与 f (x, y) 沿 x 轴方向和 y 轴方向变化有关, 与 f (x, y) 在其余部分的取值无关. 因而与 一元函数不同, 偏导在一个点的存在不能得出函数在这点连续. 例: 设
f(x,y)=x+y -,(x,y)≠(00) 则(x0)-100)=0.0.y)-/00)=0.因此9(0.0)=90)=0。但 imf(x,y)并不存在,f(x,y)在(0.0)处不连续 引理1:设/(x,y)在区域D上处处有偏导、且=09=0,则/(x,y)在D上为 常数 这一引理说明与一元函数一样,处处有偏导的函数在差一常数的意义下由其偏导数唯 一确定。这一引理的证明留给读者作为思考题.通过这一引理不难理解,多元函数的性质是 可以通过其偏导数来反映的.所以虽然函数在一个点的偏导数仅说明了函数在x轴或y轴 方向的变化情况,但在一个区域上函数的性质是可以通过偏导数的研究得到的 2.2全微分 定义:设∫(x,y)定义在(x0,y)邻域上,称f(x,y)在(x0,y)可微,如果存在线性函 数A(x-x0)+B(y-y),使在(x0,y0)邻域上 (xy)-f(x1,)=4x-x)+By-x)+((x-x)+(-x) 由于上式仅在Ax=x-x0和△y=y-y0充分小时才有意义,我们令dx=Ax,d=△y,称 df=Adx+Bd为f(x,y)在(x0,y0)处的微分.上式表明 /(xo+, o+Ay)-/(xo, o)=Af=d+oAr+Ay2=d 令Δx>0,4y→>0,则有mf(x,y)=f(x0,y0).因此如果∫(x,y)在(x,y)处 可微,则其必在这点连续.但在上一节中我们已说明∫(x,y)在(x0,y0)处有偏导不能保证 其在这点连续.因此对于多元函数,其存在偏导时不一定可微.但如果其可微,则由 f(x。+△x,y0)-f(x,y) =A 2
2 ï î ï í ì = ¹ = + 0, ( , ) (0,0). , ( , ) (0,0); ( , ) 2 2 x y x y x y xy f x y 则 0. 0 (0, ) (0,0) 0, 0 ( ,0) (0,0) = - - = - - y f y f x f x f 因 此 0 (0,0) (0,0) = ¶ ¶ = ¶ ¶ y f x f . 但 lim ( , ) 0 0 f x y y x ® ® 并不存在, f (x, y) 在(0,0) 处不连续. 引理 1: 设 f (x, y) 在区域 D 上处处有偏导, 且 0, º 0 ¶ ¶ º ¶ ¶ y f x f , 则 f (x, y) 在 D 上为 常数. 这一引理说明与一元函数一样, 处处有偏导的函数在差一常数的意义下由其偏导数唯 一确定. 这一引理的证明留给读者作为思考题. 通过这一引理不难理解, 多元函数的性质是 可以通过其偏导数来反映的. 所以虽然函数在一个点的偏导数仅说明了函数在 x 轴或 y 轴 方向的变化情况, 但在一个区域上, 函数的性质是可以通过偏导数的研究得到的. §2.2 全微分 定义: 设 f (x, y) 定义在( , ) 0 0 x y 邻域上, 称 f (x, y) 在( , ) 0 0 x y 可微, 如果存在线性函 数 ( ) ( ) 0 0 A x - x + B y - y , 使在( , ) 0 0 x y 邻域上 ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ). 2 0 2 0 0 0 0 0 f x y - f x y = A x - x + B y - y + o x - x + y - y 由于上式仅在 0 Dx = x - x 和 0 Dy = y - y 充分小时才有意义, 我们令dx = Dx, dy = Dy , 称 df = Adx + Bdy 为 f (x, y) 在( , ) 0 0 x y 处的微分. 上式表明 ( , ) ( , ) ( ) . 2 2 0 0 0 0 f x + Dx y + Dy - f x y = Df = df + o Dx + Dy » df 令 Dx ® 0, Dy ® 0 , 则有 lim ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x y f x y y y x x = ® ® . 因此如果 f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 处 可微, 则其必在这点连续. 但在上一节中我们已说明 f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 处有偏导不能保证 其在这点连续. 因此对于多元函数, 其存在偏导时不一定可微. 但如果其可微, 则由 ( ( ) ). ( , ) ( , ) 0 0 0 0 2 A o x x f x x y f x y = + D D + D -
得9(1)=A.同理9(xy)=B.因此如果(xy)在(,)处可微,则其必存 在偏导,并且d(xn,1)=9(x,)可(x,)0)d,这同时表明微分是唯一的 ay 定理1:如果f(x,y)在(x,y)的一个邻域上处处有偏导,且9(xy和9(x在 (x0,y0)处连续,则∫(x,y)在(x,y0)可微 证明:利用微分中值定理得 f(x, y)-f(xo, yo)=f(x, y)-f(xo, y)+f(xo, y)-f(xo,yo) af(x’,y) af(x,y) x-x)+ (y-y), x 其中x'∈[x,xly’∈[yy].因此 f(xy)-(x1)=°f(x0,y(x-x0)+by(④y-) af(xo, yo) x af(x,yo) af(ro, yo) |(x-x)+ af(xo, y)af(ro, yo) y=yo 由 在(x,y)连续,而 x-x|≤ X-x y)2,p-则l≤√(x-x)2+(y-10)2 得 f(x0,y0) af(xo,y , ax Oy(-1) +(x-x)+(-x) f(x,y)在(x0,y0)处可微 推论:如果和在D上处处存在且连续,则∫(x,y)在D上处处可微,因而也处 处连续 定理1中偏导连续并非可微的必要条件 例:令
3 得 A x f x y = ¶ ¶ ( , ) 0 0 . 同理 B y f x y = ¶ ¶ ( , ) 0 0 . 因此如果 f (x, y) 在( , ) 0 0 x y 处可微, 则其必存 在偏导, 并且 dy y f x y dx x f x y df x y ¶ ¶ + ¶ ¶ = ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 . 这同时表明微分是唯一的. 定理 1: 如果 f (x, y) 在( , ) 0 0 x y 的一个邻域上处处有偏导, 且 x f x y ¶ ¶ ( , ) 和 y f x y ¶ ¶ ( , ) 在 ( , ) 0 0 x y 处连续, 则 f (x, y) 在( , ) 0 0 x y 可微. 证明: 利用微分中值定理得 ( ), ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 y y y f x y x x x f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y - ¶ ¶ ¢ - + ¶ ¶ ¢ = - = - + - 其中 [ , ], [ , ] 0 0 x¢Î x x y¢Î y y . 因此 ( ). ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y y y f x y y f x y x x x f x y x f x y y y y f x y x x x f x y f x y f x y ú - û ù ê ë é ¶ ¶ - ¶ ¶ ¢ ú - + û ù ê ë é ¶ ¶ - ¶ ¶ ¢ + - ¶ ¶ - + ¶ ¶ - = 由 y f x f ¶ ¶ ¶ ¶ , 在( , ) 0 0 x y 连续, 而 ( ) ( ) , ( ) ( ) , 2 0 2 0 0 2 0 2 0 0 x - x £ x - x + y - y y - y £ x - x + y - y 得 ( ( ) ( ) ). ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 o x x y y y y y f x y x x x f x y f x y f x y + - + - - ¶ ¶ - + ¶ ¶ - = f (x, y) 在( , ) 0 0 x y 处可微. 推论: 如果 x f ¶ ¶ 和 y f ¶ ¶ 在 D 上处处存在且连续, 则 f (x, y) 在 D 上处处可微, 因而也处 处连续. 定理 1 中偏导连续并非可微的必要条件. 例: 令
0; 则由 Ax△ysin Ax2+△y Ax2+Ay2 2/Ax2+Ay 2 2 得 f∫(x,y)-f(00) 因此f(x,y)在(0,0)点可微,d(0,0)=0.但 af(x,y) =xsin-+x·coS 其在x→>0,y→>0时并无极限 §2.3微分的几何意义 对一元函数y=f(x),其微分=∫(x0)x代表的线性函数 y-yo=f(xo)(x-xo) 是y=∫(x)的曲线在(x,υy=∫(x)处的切线.微分就是这一切线的无穷小部分.我们 在充分小的意义下,用直线=∫(x0)x代替y=f(x)的弯的曲线 对二元函数z=∫(x,y),设其在(x0,y0)处可微,则其微分 of(xo,y)A可f(x0,y0) d x+ 表示的线性函数 (x0,y0) d(o, yo) (y-y) 是过z=f(x,y)的曲面上点(x0,y0,-0=f(x0,y)的平面.△f≈d表明我们希望在无 穷小的意义下,用微分表示的平面代替曲面.即我们希望这一平面是所有过(x0,yo,=0)的 平面中与z=f(x,y)的曲面贴得最紧的平面,或者说曲面在这点的切面.为此我们需要先
4 ïî ï í ì = ¹ = 0, 0. , 0; 1 sin ( , ) y y y xy f x y 则由 0 2 1 2 1 1 sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = D + D ® D + D D + D £ D + D D D £ D + D D D D x y x y x y x y x y x y y x y 得 ( , ) (0,0) ( ). 2 2 f x y - f = o Dx + Dy 因此 f (x, y) 在(0,0) 点可微, df (0,0) = 0 . 但 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ = + × × - ¶ ¶ y y x y x y f x y 1 1 cos 1 sin ( , ) , 其在 x ® 0, y ® 0 时并无极限. §2.3 微分的几何意义 对一元函数 y = f (x), 其微分dy f (x )dx 0 = ¢ 代表的线性函数 ( )( ) 0 0 0 y - y = f ¢ x x - x 是 y = f (x)的曲线在 ( , ( )) 0 0 0 x y = f x 处的切线. 微分就是这一切线的无穷小部分. 我们 在充分小的意义下, 用直线dy f (x )dx 0 = ¢ 代替 y = f (x)的弯的曲线. 对二元函数 z = f ( x, y) , 设其在( , ) 0 0 x y 处可微, 则其微分 dy y f x y dx x f x y dz ¶ ¶ + ¶ ¶ = ( , ) ( , ) 0 0 0 0 表示的线性函数 ( ) ( , ) ( ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 y y y f x y x x x f x y z z - ¶ ¶ - + ¶ ¶ - = 是过 z = f ( x, y) 的曲面上点 ( , , ( , )) 0 0 0 0 0 x y z = f x y 的平面. Df » df 表明我们希望在无 穷小的意义下, 用微分表示的平面代替曲面. 即我们希望这一平面是所有过 ( , , ) 0 0 0 x y z 的 平面中与 z = f ( x, y) 的曲面贴得最紧的平面, 或者说曲面在这点的切面. 为此我们需要先
给切面一个几何的定义 定义:设P=(x0,y,=0)是曲面Σ上 的一点,过P点的平面a称为Σ在P点的 切面,如果曲面上的点P趋于P0时,P到 平面a的距离是比P到P的距离高阶的无 穷小 如图,设M是P点到a的垂线的交点 a为切面等价于!M=0 定理1:设曲面Σ由z=f(x,y)给出,则Σ在点(x,y,二0=f(x0,y0)有切面的充分 必要条件是f(x,y)在(x0,y0)可微.z--可(x,y) (y-y) 就是Σ在(x,y0,二0)处的切面 证明:如上图设a由z--0=A(x-x0)+B(y-y)给出,N为P沿z轴到a的投 影点.由 常数,因此α为切面等价于lm PP PN=5/(x,y)-((o, yo)+A(x-xo)+B(y-yo) P|√((x,y)-f(x,y)2+(x-x)2+(y-y)2 如果z=f(x,y)在(x0,y0)处可微,即 f(x,y)-|f(x,y0) af(xo, yo2(x-x0)+ ay f(x0,y0) (y-y x (x-x0)2+(y-y)2 山p4-x)+0=)可→0.曲面有切面而 2/(x0f(x0,yy-1)+”0(x-x) af(o, yo) 就是曲面在(x0,y0,=0=f(x0,y))处的切面
5 给切面一个几何的定义. 定义: 设 ( , , ) 0 0 0 0 P = x y z 是曲面S 上 的一点, 过 P0 点的平面a 称为 S 在 P0 点的 切面, 如果曲面上的点 P 趋于 P0 时, P 到 平面a 的距离是比 P 到 P0 的距离高阶的无 穷小. 如图, 设M 是 P 点到a 的垂线的交点, a 为切面等价于 lim 0 0 0 = ® PP PM P P . 定理 1: 设曲面S 由 z = f ( x, y) 给出, 则S 在点( , , ( , )) 0 0 0 0 0 x y z = f x y 有切面的充分 必要条件是 f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 可微. ( ) ( , ) ( ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 y y y f x y x x x f x y z z - ¶ ¶ - + ¶ ¶ - = 就是S 在( , , ) 0 0 0 x y z 处的切面. 证明: 如上图. 设a 由 ( ) ( ) 0 0 0 z - z = A x - x + B y - y 给出, N 为 P 沿 z 轴到a 的投 影点. 由 = PM PN 常数, 因此a 为切面等价于 lim 0 0 0 = ® PP PN P P . 但 ( ( , ) ( , )) ( ) ( ) . ( , ) ( ( , ) ( ) ( )) , 2 0 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 PP f x y f x y x x y y PN f x y f x y A x x B y y = - + - + - = - + - + - 如果 z = f ( x, y) 在( , ) 0 0 x y 处可微, 即 0 ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ® - + - ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - ¶ ¶ - + ¶ ¶ - + x x y y y y y f x y x x x f x y f x y f x y . 由 2 0 2 0 0 PP ³ (x - x ) + (y - y ) 得 0 0 ® PP PN . 曲面有切面, 而 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 x x y f x y y y x f x y z f x y - ¶ ¶ - + ¶ ¶ - = 就是曲面在( , , ( , )) 0 0 0 0 0 x y z = f x y 处的切面. z a P0 P M y N x