第四章导数和微分 §41导数定义和某些初等函数的导数 定义设y=f(x)在(a,b)上定义,x∈(a,b),若极限 lim y= lim /(x+4x)-f() x+△x∈(a,b) 存在,则称f(x)在x点可导,称极限值为函数在x点的导数,记作 f(x)=lim ∫(x ∫ 若f(x)在(a,b)上每一点都有导数,则∫(x)也是一个函数,它是由f(x)导出的新函 数,称为∫(x)的导函数,简称导数 记号d 或 (Leibniz d x d x y或∫(x0)( Lagrange) Dy或Df(x)( Cauchy) 改或改x0)( Newton) 今后在本课程里常用f(x0)或f(x)=,力学中用成或产) 几何背景 x+△x,△x=x f(x)-f(x0=19表示割线pP 的斜率,当x→x0时(Ax→0),割线p0P趋向于一个极限位置,为曲线在Po的切线,其
63 第 四 章 导 数 和 微 分 §4.1 导数定义和某些初等函数的导数 1． 定义 设 y = f (x)在(a, b)上定义， x Î (a,b) , 若极限 x f x x f x x y x x D + D - = D D D ® D ® ( ) ( ) lim lim 0 0 , x + Dx Î(a, b) 存在，则称 f (x) 在 x 点可导，称极限值为函数在 x 点的导数，记作 x f x x f x f x x D + D - ¢ = D ® ( ) ( ) ( ) lim 0 。 若 f (x) 在(a, b)上每一点都有导数，则 f ¢( x) 也是一个函数，它是由 f (x) 导出的新函 数，称为 f (x) 的导函数，简称导数。 记号 dx dy 或 dx df (x ) 0 （Leibniz） y¢ 或 ( ) 0 f ¢ x (Lagrange) D y 或 ( ) 0 D f x (Cauchy) y& 或 ( ) 0 y&x (Newton) 今后在本课程里常用 ( ) 0 f ¢ x 或 0 ( )| x x f x = ¢ ，力学中用 y&或 f&(t) 。 几何背景 x = x + Dx 0 ， 0 Dx = x - x , tga x x f x f x = - - 0 0 ( ) ( ) 表示割线 p0 p 的斜率，当 0 x ® x 时(Dx ® 0) , 割线 p0 p 趋向于一个极限位置，为曲线在 p0的切线，其 p p 0 0 x y
斜率g0=f(x)即为f(x)在x点导数 gao= lim tga= lm f∫(x)-f(x0) =f(x0) 物理背景y=f(),t表时间,y表质点运动位移,Mt表时间增量:t→t+△r; △y表位移增量:f()→>f()+△y=∫(t+△),Δy=f(t+△)-f(t),这样 表示【→【+△t时间内平均速度, mA=f(o)表示(O)在时刻的即时速度 v()=f(1)也是时间的函数,我们还可对它求导,v(t)=a()称为加速度,如此下去还有 加加速度,A。比如自由落体S=812,v(1)=s0)=lm8(+△)2-+g im (gI+2847)=8t. a=v=lim &(t+A)-g(=go 命题可导必连续,反之不一定 证如果f(x)在x点可导,当 0时 f(+Ax)=f(x)+Ar /(x+ Ax)-f(x) →f(x)+0·f(x)=f(x) 所以如果∫(x)在x点可导,它在该点必连续。 反过来,我们举一个反例, f()1.当x=0时连峡,但O+4)/0=Ax= x>0 1△x<0 当Ax→0时,极限不存在,故不可导 上述反例中定义导数的双侧极限不存在,但单侧极限是存在的,我们称之为单侧导数。 般地我们可以定义 左导数f(x0-0)=Im「(xn+Ax)-/f(x) 右导数f(x0+0)=m(x+Ax)-/(x) f∫(x)在xo可导充要条件是左右导数存在且相等 x有理数 例1 Dirichlet函数D(x) 10,x无理数。 讨论下列函数在x=0连续性,可导性
64 斜率 ( ) 0 0 tga = f ¢ x 即为 f (x) 在 0 x 点导数, ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 0 f x x x f x f x tg tg x x x x = ¢ - - = = ® ® a a 。 物理背景 y = f (t) ，t 表时间， y 表质点运动位移，Dt 表时间增量：t ® t + Dt ； Dy 表位移增量： f (t) ® f (t) + Dy = f (t + Dt)，Dy = f (t + Dt) - f (t) ，这样 t y D D 表示t ® t + Dt 时间内平均速度， lim ( ) 0 f t t y t = ¢ D D D ® 表示 f (t) 在t 时刻的即时速度。 v(t) = f ¢(t)也是时间的函数，我们还可对它求导，v¢(t) = a(t) 称为加速度，如此下去还有 加加速度，L 。比如自由落体 2 2 1 s = g t ， t g t t g t v t s t t D + D - = ¢ = D ® 2 2 2 1 2 1 0 ( ) ( ) ( ) lim g t g t g t t + D = D ® lim ( ) 2 1 0 。 g t g t t g t a v t = D + D - = ¢ = D ® ( ) ( ) lim 0 。 命题 可导必连续，反之不一定对。 证 如果 f (x) 在 x 点可导，当Dx ® 0时 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x f x x f x x f x f x x f x x ® + × ¢ = D + D - + D = + D × ， 所以如果 f (x) 在 x 点可导，它在该点必连续。 反过来，我们举一个反例， f (x) = x ，当 x = 0时连续，但 î í ì - D < D > = D = D + D - 1 0 1 0 sgn (0 ) (0) x x x x f x f ， 当Dx ® 0时，极限不存在，故不可导。 上述反例中定义导数的双侧极限不存在，但单侧极限是存在的，我们称之为单侧导数。 一般地我们可以定义 左导数 x f x x f x f x x D + D - ¢ - = D ® - ( ) ( ) ( 0) lim 0 0 0 0 0 ， 右导数 x f x x f x f x x D + D - ¢ + = D ® + ( ) ( ) ( 0) lim 0 0 0 0 0 。 f (x) 在 0 x 可导充要条件是左右导数存在且相等。 例 1 Dirichlet 函数 î í ì = ， 。 ， 无理数 有理数 x x D x 0 1, ( ) 讨论下列函数在 x = 0连续性，可导性
(1)D(x),(2)xD(x),(3)x2D(x)。 解(1)D(x)在x=0间断,是第二类间断点。 (2)xD(x)在x=0连续,但不可导。AxDx)=D△x)当Ax→0时不存 在极限。 (3)x2D(x)在x=0连续,且可导,导数为 (△x)2.D(Ax)-0 △x·D(△x)→>0 △x 例2S(x) x≠0 1)S(x)在x=0间断,是第二类间断点。 (2)xS(x)在x=0连续,不可导,甚至单侧导数也不存在。 (3)x2S(x)在x=0连续,可导,导数为0。 某些基本初等函数的导数 先证三个重要极限: 1)lim log (1+x)= e 证1)注意到log。y在y>0连续,我们有 2)令a-1=y,当x→0时,有y→0,作变量替换x=logn(1+y),我们 10 x y*0 log, (1+y) log,e
65 （1） D(x) ， （2）xD( x) ， （3） ( ) 2 x D x 。 解 （1）D(x) 在 x = 0间断，是第二类间断点。 （2）xD( x) 在 x = 0连续，但不可导。 ( ) ( ) D x x x D x = D D D × D 当Dx ® 0时不存 在极限。 （3） ( ) 2 x D x 在 x = 0连续，且可导，导数为 ( ) 0 ( ) ( ) 0 2 = D × D ® D D × D - x D x x x D x 。 例 2 ï î ï í ì = ¹ = 0 , 0 , 0 1 sin ( ) x x S x x （1） S( x) 在 x = 0间断，是第二类间断点。 （2） xS(x) 在 x = 0连续，不可导，甚至单侧导数也不存在。 （3） ( ) 2 x S x 在 x = 0连续，可导，导数为0 。 2． 某些基本初等函数的导数 先证三个重要极限： 1） e x x a a x log log (1 ) lim 0 = + ® ， 2） a x a x x ln 1 lim 0 = - ® ， 3） m m = + - ® x x x (1 ) 1 lim 0 。 证 1）注意到 y a log 在 y > 0连续，我们有 x e x x a x x a a x log lim (1 ) log log (1 ) lim 1 0 0 = + = + ® ® 。 2）令a y x -1 = ，当 x ® 0时，有 y ® 0，作变量替换 x log (1 y) = a + ，我们 有 a y e y x a a a y x x ln log 1 log (1 ) lim 1 lim 0 0 = = + = - ® ®
3)令(1+x)4-1=y,当x→0时,有y→>0,在公式(+x)“=1+y中,取 对数,得μ·ln(1+x)=ln(1+y),这样 (1+x)“-1y In(1 +x) →μ,当x→>0时 x In( 1+ y) 1.常数函数f(x)=c,则∫(x)=0。 2.幂函数f(x)=x“(定义域与a有关,对任何α,x>0总有定义),f(x)=ax“-。 ∫(x+Ax)-f(x)(x+△x)y-xa xr1.(1+)2-1 a·x-,当△x→0时。 特别 3.指数函数∫(x)=a2(a>0,-∞<x<+∞),f(x)=a2lna x+△r alna,当Ax→>0时。 4.对数函数f(x)= log x(0<a≠1,0<x<+∞),f( e logn(x+△x)-logx1 →- log . e,当Ax→>0时。 Ax 特别地,(x)y=1,这里看出自然对数血x确确实是“自然的” 5.Si函数,f(x)=sinx,f(x)=cosx n(x+△x)-sinx2cos(x+仝)sin →cosx,当Δx→0时。 6.Cos函数,f(x)=cosx,f(x)=-snx。 cos(x+△x)-cosx-2sn(x+翌)sin受 →-sinx,当Δx→0时 §4.2导数的四则运算
66 3）令(1+ x) -1 = y m ，当x ® 0时，有 y ® 0，在公式(1+ x) = 1+ y m 中，取 对数，得 m × ln(1+ x) = ln(1+ y)，这样 m m m ® + × × + = = + - x x y y x y x x ln(1 ) ln(1 ) (1 ) 1 ，当x ® 0时。 1．常数函数 f (x) = c ，则 f ¢( x) = 0 。 2．幂函数 a f (x) = x （定义域与a 有关，对任何a ，x > 0总有定义）， 1 ( ) - ¢ = × a f x a x 。 1 1 ( ) ( ) ( ) (1 ) 1 - D D - ® × + - = × D + D - = D + D - a a a a a a x x x x x x x f x x f x x x x x ，当Dx ® 0时。 特别： ( 0) 1 ( ) 2 1 ¢ = - ¹ - x x x ， ( 0) 2 1 ( )¢ = x > x x 。 3．指数函数 f (x) = a (a > 0, - ¥ < x < +¥) x ， f x a a x ¢( ) = ×ln 。 a a x a a x a a x x x x x x ln 1 ® D - = D - +D D ，当Dx ® 0时。 4．对数函数 f (x) = log x (0 < a ¹ 1, 0 < x < +¥) a ， x e f x a log ¢( ) = 。 e x x x x x x a x x x x a a a log log ( ) log 1 log (1 ) 1 ® + = × D + D - D D ，当Dx ® 0时。 特别地， x x 1 (ln )¢ = ，这里看出自然对数ln x 确确实实是“自然的”。 5． Sin函数， f (x) = sin x， f ¢( x) = cos x 。 x x x x x x x x x cos sin( ) sin 2cos( 2 )sin 2 ® D + = D + D - D D ，当Dx ® 0时。 6．Cos函数， f (x) = cos x ， f ¢( x) = - sin x 。 x x x x x x x x x sin cos( ) cos 2sin( 2 )sin 2 ® - D - + = D + D - D D ， 当Dx ® 0时。 §4.2 导数的四则运算
定理1设f(x),g(x)在x点可导,则 1)[f(x)±g(x=∫(x)±g'(x)(求导是线性运算) 2)[f(x)·g(x]=f(x)·g(x)+∫(x)·g'(x)(它导它不导,它不导它导,然后加 起来 ∫(x)|_f(x)·g(x)-f(x)·g(x) (x) 证1)令y(x)=∫(x)+g(x) △y[f(x+△x)+g(x+△x)-[f(x)+g(x △x f(x+Ax)-f(x) g(x+Ax)-g(x) △x →f(x)+g(x)当△x→>0时 2)令y(x)=f(x)·g(x) f(x+△x):g(x+△x)-f(x)·g(x) (分子-∫(x)·g(x+Ax)+f(x)·g(x+△x) f(x+△x)-f(x) (x+△x)+f(x) g(x+△x)-g(x) →f(x)·g(x)+f(x)g'(x)当Ax→O时。 Ax△r[g(x+△)g(x)」 g(x+△x)-g(x)1 g(x+△x)g(x g(x) g(x)当Ax→0时。 f(x) =f(x) 给出(3)。 g(x) 推论1)[cf(x)=cf(x)
67 1．定理 1 设 f (x) ， g (x) 在 x 点可导，则 1） [ f (x) ± g( x)]¢ = f ¢( x) ± g¢( x) （求导是线性运算） 2） [ f (x) × g( x)]¢ = f ¢( x) × g( x) + f ( x)× g¢(x) （它导它不导，它不导它导，然后加 起来） 3） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 g x f x g x f x g x g x f x ¢ × - × ¢ = ¢ ú û ù ê ë é 。 证 1）令 y(x) = f (x) + g( x) ( ) ( ) 当 0 时。 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ® ¢ + ¢ D ® D + D - + D + D - = D + D + + D - + = D D f x g x x x g x x g x x f x x f x x f x x g x x f x g x x y 2） 令 y(x) = f ( x) × g (x) 当 时。 分子 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ® ¢ × + × ¢ D ® D + D - × + D + D + D - = - × + D + × + D D + D × + D - × = D D f x g x f x g x x x g x x g x g x x f x x f x x f x f x g x x f x g x x x f x x g x x f x g x x y 3） 令 ( ) 1 ( ) g x y x = 当 0时。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 1 2 D ® ¢ ® - + D × D + D - = - ú û ù ê ë é - + D × D = D D x g x g x x g x x g x g x x g x x x g x x g x y ( ) 1 ( ) ( ) ( ) g x f x g x f x = × 给出（3）。 推论 1） [c f ( x)]¢ = c f ¢( x)