第七章重积分 本章主要讨论多元函数的积分学.对多元函数来说,积分区域是多样的.就二元函数而 言,积分域可以是平面内的区域或平面内的曲线.对三元函数来说,积分域可以是空间的立 体,空间的曲线和曲面等.通过以下各章的学习,我们会发现这些积分定义中的思想是相同 的,但各种积分的计算则有较大的差别读者在多元积分学中应在掌握各种积分的定义的基 础上,熟练掌握各种积分的计算方法 6.1重积分的定义 本节中我们主要详细介绍二重积分的定义,读者不难利用本节的方法,自己给出n (n≥3)重积分相应的定义 1.1区域的面积 为了将定积分推广至二元函数在平面区域内的积分,首先必须解决平面区域的面积的 定义问题 回忆一下,在初等数学中,我们能求出多边形区域的面积.在定积分中,我们会求曲边 梯形的面积.设y=∫(x)在[a,b]连续,并且对一切x∈[a,b]有∫(x)>0.则由y=f(x) x∈[a,b],x轴,x=a及x=b围成了一个曲边梯形Q.从定积分的定义我们可以看出, Q的面积实际上是Q的所有外接多边形的面积的下确界,同时它也是Q的所有内接多边形 的面积的上确界 以上的讨论启发我们给出以下定义设A是一个多边形,记m(A)为A的面积 定义1:设E是平面内的一个点集,记 s={|A是多边形且Ec O={B|B是多边形且BcE 若nfm(A)=supm(B),则称E是可求面积的.上式中的公共值称为E的面积,记作 B∈○ m(E) 若一个区域D是由逐段光滑的曲线围成时,则D是可求面积的.事实上,我们可以对 D分成一些曲边梯形的并,从而转化为定积分的问题 另外,设非负函数y=f(x),x∈[a,b是[a,b上一个不可积的函数.记
1 第七章 重积分 本章主要讨论多元函数的积分学. 对多元函数来说, 积分区域是多样的. 就二元函数而 言, 积分域可以是平面内的区域或平面内的曲线. 对三元函数来说, 积分域可以是空间的立 体, 空间的曲线和曲面等. 通过以下各章的学习, 我们会发现这些积分定义中的思想是相同 的, 但各种积分的计算则有较大的差别. 读者在多元积分学中应在掌握各种积分的定义的基 础上, 熟练掌握各种积分的计算方法. §6.1 重积分的定义 本节中我们主要详细介绍二重积分的定义, 读者不难利用本节的方法, 自己给出n (n ³ 3) 重积分相应的定义. 1.1 区域的面积 为了将定积分推广至二元函数在平面区域内的积分, 首先必须解决平面区域的面积的 定义问题. 回忆一下, 在初等数学中, 我们能求出多边形区域的面积. 在定积分中, 我们会求曲边 梯形的面积. 设 y = f (x)在[a, b]连续, 并且对一切 x Î[a, b] 有 f (x) > 0 . 则由 y = f (x), x Î[a, b] , x 轴, x = a 及 x = b 围成了一个曲边梯形Q . 从定积分的定义我们可以看出, Q 的面积实际上是 Q 的所有外接多边形的面积的下确界, 同时它也是 Q 的所有内接多边形 的面积的上确界. 以上的讨论启发我们给出以下定义. 设 A 是一个多边形, 记m(A) 为 A 的面积. 定义 1: 设E 是平面内的一个点集, 记 { } {B B B E}. A A E A = Ì = Ì 是多边形且 是多边形且 ； m M 若 inf m(A) sup m(B) B AÎM Îm = , 则称 E 是可求面积的. 上式中的公共值称为 E 的面积, 记作 m(E) . 若一个区域 D 是由逐段光滑的曲线围成时, 则 D 是可求面积的. 事实上, 我们可以对 D 分成一些曲边梯形的并, 从而转化为定积分的问题. 另外, 设非负函数 y = f (x), x Î[a, b] 是[a, b]上一个不可积的函数. 记
E={x,y)0≤ysf(x)a≤x≤b 则E是没有面积的.因为f(x)在[a,b]上达布上和的下确界=ntfm(A),而达布下和的上 确界=supm(B).由∫(x)的不可积我们推出 B∈○ mm(4)>8m(B) 从而说明了E是不可求面积的 从面积的定义中可以看出,一个区域D是有面积的充要条件是D的边界OD是有面积 的,并且m(D)=0 12二重积分的定义 设D是平面内一个可求面积的有界闭区域,z=f(x,y)是D上的一个非负连续函数 从几何上看,z=f(x,y)(x,y)∈D是空间的一块曲面.它确定了一个以D为底的曲顶柱 体V.现在我们来求它的体积v 我们下面利用定积分的思想.我们首先用光滑曲线将D分成n个小块闭区域△D1, △D2,…,AD,我们称给了D的一个分划由于D可求面积,从而每个 △DG=12,…,n)也可求面积,记它的面积为△,从D的这个分划,我们得到了n个以 z=f(x,y),(x,y)∈△D为顶,以△D,为底的曲顶柱体V,在△D上任取一点 (5,n),我们得到了△V体积的一个近似值f(,n)△o由此我们得到v的一个近似 值 y≈∑f(,)△o 记λ=maxD的直径,当→0时若 Im∑f(5,) 存在,则我们便求出了V的体积 由此我们有以下定义 定义2:设D是平面内可求面积的闭区域,二=f(x,y)是定义在D上的函数.用光滑 曲线族将D作一分划△D1,…,AD…,△Dn,记△D,的面积为△和 2
2 E = {(x, y) 0 £ y £ f (x), a £ x £ b}, 则 E 是没有面积的. 因为 f (x) 在[a, b]上达布上和的下确界 inf m(A) AÎM = , 而达布下和的上 确界 sup m(B) BÎm = . 由 f (x) 的不可积我们推出 inf m(A) sup m(B) B AÎM Îm > . 从而说明了 E 是不可求面积的. 从面积的定义中可以看出, 一个区域 D 是有面积的充要条件是 D 的边界 ¶D 是有面积 的, 并且m(¶D) = 0 . 1.2 二重积分的定义 设 D 是平面内一个可求面积的有界闭区域, z = f ( x, y) 是 D 上的一个非负连续函数. 从几何上看, z = f (x, y), (x, y)Î D 是空间的一块曲面. 它确定了一个以 D 为底的曲顶柱 体V . 现在我们来求它的体积v . 我们下面利用定积分的思想. 我们首先用光滑曲线将 D 分成 n 个小块闭区域 DD1 , DD DDn , , 2 L , 我们称给了 D 的一个分划 . 由 于 D 可求面积 , 从而每个 D ( j 1,2, , n) D j = L 也可求面积, 记它的面积为Ds j . 从 D 的这个分划, 我们得到了n 个以 z = f ( x, y) , Dj (x, y) Î D 为顶, 以 DD j 为底的曲顶柱体 Vj . 在 DD j 上任取一点 ( , ) j h j x , 我们得到了 DVj 体积的一个近似值 j j j f (x ,h )Ds . 由此我们得到 v 的一个近似 值 å= » D n j j j j v f 1 (x ,h ) s . 记 { j的直径} j n = DD 1£ £ l max , 当l ® 0时若 å= ® D n j j j j f 1 0 lim (x ,h ) s l 存在, 则我们便求出了V 的体积. 由此我们有以下定义. 定义 2: 设D 是平面内可求面积的闭区域, z = f ( x, y) 是定义在 D 上的函数. 用光滑 曲线族将 D 作一分划DD DDj DDn , , , , 1 L L , 记DD j 的面积为Ds j 和
λ=max△D的直径 在每个△D上任取一点(5,),作和数 =∑f(5,n,)△ 如果不管分划及(5,)如何选取,当→0时I的极限存在,则称z=f(x,y)在D上可 积,并称此极限为f(x,y)在D内的二重积分.记为 ∫(x,yd=m∑/,m)△ f(x,y)称为被积函数,D称为积分区域 用E-δ语言可以将以上定义更加精确化.称z=f∫(x,y),(x,y)∈D在D上可积,若 存在某定数A,对任意的E>0,存在δ>0,使得对D的任何分划AD…,AD,…,ADn, 对任意的(5)∈D,只要λ= maxEd的直径}<6时,就有 f(5,n <E 读者不难自己给出n(n≥3)重积分的定义 习题1:叙述三重积分的定义 §6.2重积分的存在性与性质 在本节中我们先讨论重积分的存在性问题,然后再讨论重积分的一些基本性质 21重积分的存在性 我们这里只讨论二重积分 设D是平面内具有面积的区域,=f(x,y)是D上的一个函数.我们首先注意到:若 f(x,y)在D无界,则它在D的二重积分一定不存在.该事实的证明完全与定积分中相应 性质的证明类似.因此我们下面总假定所论及的函数是有界的 对D的任何一个分划△D1…,△Dn,相应地z=f(x,y)在每个△D,上有上确界M1
3 { j的直径} j n = DD 1£ £ l max . 在每个DD j 上任取一点( , ) j h j x , 作和数 å= = D n j j j j I f 1 (x ,h ) s . 如果不管分划及( , ) j h j x 如何选取, 当l ® 0时 I 的极限存在, 则称z = f ( x, y) 在 D 上可 积, 并称此极限为 f (x, y) 在 D 内的二重积分. 记为 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ = å D òò = ® n j j j j D f x y dxdy f 1 0 ( , ) lim (x ,h ) s l . f (x, y) 称为被积函数, D 称为积分区域. 用e -d 语言可以将以上定义更加精确化. 称 z = f (x, y), (x, y)Î D 在 D 上可积, 若 存在某定数 A, 对任意的e > 0, 存在d > 0 , 使得对D 的任何分划 DD DDj DDn , , , , 1 L L , 对任意的 j j Î D j (x ,h ) , 只要l = {D }< d £ £ j的直径 j n D 1 max 时, 就有 å x h Ds - < e = f A n j j j j 1 ( , ) . 读者不难自己给出n (n ³ 3) 重积分的定义. 习题 1: 叙述三重积分的定义. §6.2 重积分的存在性与性质 在本节中我们先讨论重积分的存在性问题, 然后再讨论重积分的一些基本性质. 2.1 重积分的存在性 我们这里只讨论二重积分. 设 D 是平面内具有面积的区域, z = f ( x, y) 是 D 上的一个函数. 我们首先注意到: 若 f (x, y) 在 D 无界, 则它在 D 的二重积分一定不存在. 该事实的证明完全与定积分中相应 性质的证明类似. 因此我们下面总假定所论及的函数是有界的. 对 D 的任何一个分划 DD DDn , , 1 L , 相应地 z = f ( x, y) 在每个 DD j 上有上确界 M j
下确界m,及振幅Oy=M1-m从而我们得到了关于该分划的达布上和及下和 S(/,D)=∑M△ s,D)=∑m△Ao 记I=nfS(,D),I=sus(f,D).以上的上下确界是对D的所有分划取的,则如同定 积分中相应性质,我们可得到以下的定理 定理1:设D是平面内可求面积的区域,z=f(x,y)在D内有界.则以下命题等价 1)z=f(x,y)在D内可积 2)vE>0,36>0,对D的任何分划△D…,ADn,只要(D)=mx人D,的直径 <δ,就有 S(,D)-s(,D)=∑0,△o1<6 3)VE>0,彐D的分划△D1…,△Dn,使得 S, D-S(, D)<a 4)I=I 由此我们可以得到以下的结果 定理2:设D是平面内可求面积的区域,二=∫(x,y)在D连续.则z=f(x,y)在D可 积 22积分的性质 定理3:设D是平面内可求面积的闭区域,三1=f(x,y)二2=g(x,y)在D可积则以 下结论成立 1)对任意的常数a,b,qf+bg在D可积且 ∫yg+g)dhy=可jhd+b订gda 2)在D上若∫(x,y)≤g(x,y),则
4 下确界m j , 及振幅w j = M j - m j . 从而我们得到了关于该分划的达布上和及下和 å= = D n j D M j j S f 1 ( , ) s , å= = D n j D m j j s f 1 ( , ) s . 记 I = inf S ( f , D), I = sup s( f ,D). 以上的上下确界是对 D 的所有分划取的, 则如同定 积分中相应性质, 我们可得到以下的定理. 定理 1: 设D 是平面内可求面积的区域, z = f ( x, y) 在 D 内有界. 则以下命题等价: 1） z = f ( x, y) 在 D 内可积. 2）"e > 0, $d > 0 , 对D 的任何分划DD DDn , , 1 L , 只要 { j的直径} j n D = DD 1£ £ l( ) max < d , 就有 - =åw Ds < e D j j S( f ,D) s( f , ) . 3）"e > 0, $ D 的分划DD DDn , , 1 L , 使得 S( f , D) - s( f ,D) < e . 4） I = I . 由此我们可以得到以下的结果. 定理 2: 设D 是平面内可求面积的区域, z = f ( x, y) 在 D 连续. 则z = f ( x, y) 在 D 可 积. 2.2 积分的性质 定理 3: 设D 是平面内可求面积的闭区域, ( , ), ( , ) 1 2 z = f x y z = g x y 在 D 可积. 则以 下结论成立: 1） 对任意的常数a,b , af + bg 在 D 可积且 òò òò òò + = + D D D (af bg)dxdy a fdxdy b gdxdy . 2）在 D 上若 f (x, y) £ g(x, y) , 则
f(x,y)ltxd≤‖g(x,y)dro 3)|f(x,y)在D内可积且 f(x,y)drays[SIr(r,y)drdy 4)积分第一中值定理:若∫(x,y)在D内连续,则(5,m)∈D,使得 f(x, y)dxdy=f(s, n)m(D) 5)设D1,D2是可求面积的闭区域,且D1∪D2=D,D°∩D2°=.则f在D可积 的充要条件是∫在D1,D2可积,且 f(x, y)dxdy=f(x, y)dxdy+f(x, y)dxdy 以上定理的证明可仿照定积分的证明给出,请读者自行补出 §6.3化重积分为累次积分 3.1化二重积分为累次积分 在利用定积分计算旋转体的体积时,我们所用的方法是对垂直该直线的截面积进行积 分的.从二重积分的几何意义,我们不难得到以下的计算方法 定理1:设∫(x,y)在矩形D=[a,b]×[c,d]可积,并且对任意的x∈[a,b],积分l(x) ∫?(xy)存在则 f(, y)dxdy=I()dx= dx f(x,y) Dd 证明:对[a,b]及[c,d]分别作分划 b yo <yI 由此我们得到小矩形Ao,=[x-1,xx[y=,y(=12,…,n,j=12,…,m)·记 f(x,y)在A上的上下确界分别为M及m,则对v5∈[x-1,x],我们有 f(5;,y)≤M,4
5 òò òò £ D D f (x, y)dxdy g(x, y)dxdy . 3） f (x, y) 在 D 内可积且 òò òò £ D D f (x, y)dxdy f (x, y) dxdy . 4）积分第一中值定理: 若 f (x, y) 在 D 内连续, 则$(x,h) Î D , 使得 f (x, y)dxdy f ( , )m(D) D = x h òò . 5）设 1 2 D ,D 是可求面积的闭区域, 且 D1 U D2 = D, D1 °I D2 ° = Æ . 则 f 在 D 可积 的充要条件是 f 在 1 2 D ,D 可积, 且 òò òò òò = + 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) D D D f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy . 以上定理的证明可仿照定积分的证明给出, 请读者自行补出. §6.3 化重积分为累次积分 3.1 化二重积分为累次积分 在利用定积分计算旋转体的体积时, 我们所用的方法是对垂直该直线的截面积进行积 分的. 从二重积分的几何意义, 我们不难得到以下的计算方法. 定理 1: 设 f (x, y) 在矩形 D = [a,b]´ [c, d ]可积, 并且对任意的x Î[a, b] , 积分I( x) ò = d c f (x, y)dy 存在. 则 òò ò ò ò = = d c b a b a D f (x, y)dxdy I(x)dx dx f (x, y)dy . 证明: 对[a, b]及[c, d] 分别作分划 . , 0 1 0 1 c y y y d a x x x b m n = < < < = = < < < = L L 由此我们得到小矩形 [ , ] [ , ], ( 1,2, , , 1,2, , ) Ds ij = xi-1 xi ´ y j -1 y j i = L n j = L m . 记 f (x, y) 在Ds ij 上的上下确界分别为 Mij 及mij , 则对 [ , ] i i 1 i x x " Î - x , 我们有 ij j y y ij j i m y f y dy M y j j D £ £ D ò -1 (x , )