第三章连续函数 §3.1连续和间断 定义∫(x)定义在(ab),x0∈(ab),若mf(x)→>f(x),则称函数f(x)在 点x连续,x0称为连续点,否则称x为间断点 函数∫(x)在x∈(a,b)连续也可用E-6语言来叙述:∫(x)定义于(a,b),x0∈(a,b) 若E>0,38>0,使得当x∈(ab)且x-x<6时,有 (x)-f(x0)<E, 则称∫(x)在点x0连续 等价地也可表述为lmf(x)→∫(x-0),limf(x)→>∫(xo+0)且 f(x0-0)=f(x0)=f(x0+0), 即如果∫(x)在x左右极限都存在,且等于该点函数值,称∫(x)在该点连续。 间断点可分为三类 定义(1)若函数在x0点左右极限存在且相等,但不等于该点的函数值,则称x为可 去间断点 (2)若函数在x点左右极限存在,但不相等,称x0为第一类间断点。 (3)若函数在x0点的左右极限至少有一个不存在,称x0为第二类间断点 在可去间断点x上,我们修改f(x)在x0定 义,∫(x0)=f(x-0)=f(x0+0),则它就变 成在x0连续的函数了,这就是“可去”的意思。 这不是本质间断的。另两类间断点才是本质的。 可去间断点 可去间断点
50 第 三 章 连 续 函 数 § 3.1 连续和间断 定义 f (x) 定义在 (a, b)， x0 Î (a,b), 若 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x ® ® ，则称函数 f (x) 在 点 0 x 连续， 0 x 称为连续点，否则称 0 x 为间断点。 函数 f (x) 在 ( , ) x0 Î a b 连续也可用e -d 语言来叙述：f (x) 定义于(a, b)， ( , ) x0 Î a b , 若"e > 0 ，$d > 0 , 使得当x Î (a,b) 且 x - x0 < d 时，有 ( ) - ( ) < e 0 f x f x ， 则称 f (x) 在点 0 x 连续。 等价地也可表述为 lim ( ) ( 0) 0 0 0 ® - ® - f x f x x x , lim ( ) ( 0) 0 0 0 ® + ® + f x f x x x 且 ( 0) ( ) ( 0) f x0 - = f x0 = f x0 + ， 即如果 f (x) 在 0 x 左右极限都存在，且等于该点函数值，称 f (x) 在该点连续。 间断点可分为三类 定义 （1）若函数在 0 x 点左右极限存在且相等，但不等于该点的函数值，则称 0 x 为可 去间断点。 （2）若函数在 0 x 点左右极限存在，但不相等，称 0 x 为第一类间断点。 （3）若函数在 0 x 点的左右极限至少有一个不存在，称 0 x 为第二类间断点。 在可去间断点 0 x 上，我们修改 f (x) 在 0 x 定 义， ( ) ( 0) ( 0) f x0 = f x0 - = f x0 + ，则它就变 成在 0 x 连续的函数了，这就是“可去”的意思。 这不是本质间断的。另两类间断点才是本质的。 可去间断点 可去间断点
y=sin(1/x) 第一类间断点 第二类间断点 例 x为有理数 (i) f(x) 0,x为无理数 x=0是连续点,其余都是第二类间断点。 (ⅱi) f(x) x=1是可去间断点。 x≠ 1g-,x≠0, )f(x) x=0是第一类间断点。 0.x=0 x≠ (iv) f(x)=x x=0是第二类间断点 ()m()Jx≠0,x=0是第二类间断点。 1,x为有理数, (ⅵi) Dirichlet函数D(x)= 0,x为无理数。 每一点都是第二类间断点 为有理数 (ⅶ) Riemann I函数R(x)={q 所有有理点为可去 0,x为无理数。 间断点,无理点为连续点。 定义若f(x)在区间上每一点连续(闭区间情况端点单侧连续),则称函数在区间上 连续 定理f(x)在(a,b)上单调,则f(x)只有第一类间断点。 证无妨设f(x)在(a,b)单调上升,vxo∈(a,b),当x→>x0-0时,函数值∫(x)单
51 第一类间断点 第二类间断点 例 （ⅰ） î í ì = 。 ， 为无理数 为有理数 x x x f x 0, , ( ) x = 0是连续点，其余都是第二类间断点。 （ⅱ） î í ì ¹ = = 1, 1 2, 1 ( ) x x f x x =1是可去间断点。 （ⅲ） ï î ï í ì = ¹ = 0 , 0. , 0, 1 ( ) x x x arctg f x x = 0是第一类间断点。 （ⅳ） ï î ï í ì = ¹ = 0 , 0. , 0, 1 ( ) x x f x x x = 0是第二类间断点。 （ⅴ） ï î ï í ì = ¹ = 0 , 0. , 0, 1 sin ( ) x x f x x x = 0是第二类间断点。 （ⅵ） Dirichlet 函数 î í ì = ， 。 ， 为无理数 为有理数 x x D x 0 1, ( ) 每一点都是第二类间断点。 （ⅶ） Riemann 函数 ï î ï í ì = = ， 。 ， 为无理数 为有理数 x q p x R x q 0 , 1 ( ) 所有有理点为可去 间断点，无理点为连续点。 定义 若 f (x) 在区间上每一点连续（闭区间情况端点单侧连续），则称函数在区间上 连续。 定理 f (x) 在(a, b)上单调，则 f (x) 只有第一类间断点。 证 无妨设 f (x) 在(a, b)单调上升， ( , ) " x0 Î a b ，当 x ® x0 - 0 时，函数值 f (x) 单 f(x ) f(x0 -0) f(x 0 +0) y=sin(1/x)
调上升,有上界∫(x0),所以极限存在,且Imf(x)=∫(xo-0)≤f(x) x→x0+0 同理Iimf(x)=f(x+0)≥f(x) 若∫(x-0)=f(x+0),x为∫(x)连续点,若∫(x0-0)<∫(x0+0),x0为第一 类间断点 连续函数是一类“比较好”的函数,是研究微积分的基础。 微分或导数是求曲线∫(x)在x0点切线的斜率,函数在x连续,是切线存在的必要条 件。积分是求区间[a,b上曲线∫(x)下面的一块曲边梯形的面积,函数∫(x)在[a,b]上连 续,是面积存在的充分条件,连续不是可微的充要条件,也不是可积的充要条件,是介乎中 间的一类函数,其直观意义是“不间断”,即不被剪开,也不被振断 §3.2连续函数的性质 1.定理1f(x)定义在U(x0)上,在x0点连续,f(x0)>0,则彐δ>0使∫(x)>0 x∈U(x,6),(湮符号性质)。 定理2设∫(x),g(x)在点x0连续,则 (1)f(x)±g(x)在x0点连续; (2)∫(x)·g(x)在x。点连续 (3)若g(x0)≠0,f(x) 在x0点连续。 g(x) 推论若∫,g∈C{a,b],则∫(x)±g(x)∈C[a,b],f(x)·g(x)∈C[a,b],又若 yxe[a.bg(x)≠0,(x)∈c[a.b
52 调上升，有上界 ( ) 0 f x ，所以极限存在，且 lim ( ) ( 0) ( ) 0 0 0 0 f x f x f x x x = - £ ® - 。 同理 lim ( ) ( 0) ( ) 0 0 0 0 f x f x f x x x = + ³ ® + 。 若 ( 0) ( 0) f x0 - = f x0 + ， 0 x 为 f (x) 连续点，若 ( 0) ( 0) f x0 - < f x0 + ， 0 x 为第一 类间断点。 连续函数是一类“比较好”的函数，是研究微积分的基础。 微分或导数是求曲线 f (x) 在 0 x 点切线的斜率，函数在 0 x 连续，是切线存在的必要条 件。积分是求区间[a, b]上曲线 f (x) 下面的一块曲边梯形的面积，函数 f (x) 在[a, b]上连 续，是面积存在的充分条件，连续不是可微的充要条件，也不是可积的充要条件，是介乎中 间的一类函数，其直观意义是“不间断”，即不被剪开，也不被振断。 §3.2 连续函数的性质 1. 定理 1 f (x) 定义在 ( ) 0 U x 上，在 0 x 点连续， f (x0 ) > 0 ，则$d > 0 使 f (x) > 0， ( , ) 0 x ÎU x d ，（湮符号性质）。 定理 2 设 f (x) ， g (x) 在点 0 x 连续，则 （1） f( x) ± g( x) 在 0 x 点连续； （2） f (x)× g(x) 在 0 x 点连续； （3） 若g(x0 ) ¹ 0 ， ( ) ( ) g x f x 在 0 x 点连续。 推论 若 f ， g ÎC[a,b] , 则 f (x) ± g( x) ÎC[a,b] ， f (x) × g( x) ÎC[a,b] ,又若 " x Î[a, b], g( x) ¹ 0, [ , ] ( ) ( ) C a b g x f x Î 。 x 0 a b
连续是用极限定义的,本推论是极限四则运算定理的直接结果,不证自明 定理3设y=∫(1)在t=l0点连续,t=g(x)在x=x0点连续,且t0=8(x0) 则y=∫g(x)在x=xo点连续 这是复合函数求极限定理的直接结果,因其证明方法具有典型性,这里我们还是给出其 证明 证VE>0,由f()在t连续,>0,使得当p-10<n时,有f()-f()<E 对于n>0,由g(x)在x连续,36>0,使得当-x<6时,有g(x)-(x)= -l0|<n。所以当px-x<时,有|f()-f(0=|/g(x)-g(x)<E,即 ∫[g(x在x点连续。 推论若g(x)∈C(a,b),值域包含于(α,B),f(t)∈C(a,B),则∫[g(x)∈C(a,b) 2.下面我们给出闭区间上连续函数的基本性质定理,这里我们给出证明,但目前不要求同 学们掌握,到第三册我们还会回到这个课题 定理( Bolzano-Cauchy第一定理)设∫(x)∈C[a,b],f(a)·f(b)<0,则 3ξ∈(a,b),使得∫(2)=0 f(x 一条不间断的绳子,两头夹住,一头正,一头负,总有一点使得∫()=0 证明:不妨设∫(a)<0,∫(b)>0。用中点C0=2+b将[a一分为二,得两区间 [a,co]和[c0,b。若∫(co)=0,取ξ=C0即可。不然若∫(c0)>0,取[a1,b1]=[a,co 若∫(co)<0,取[a1,b]=[co,b],这保证 f(a1)<0 f(b)>0 再用中点= 2将{a,b一分为…,如上面方法选a2]A。如此下去,在某 步如有f(cn)=0,取=cn即可,否则我们得到一区间串[anbn],满足 1)[ani,bulan,b], n=1,2,3,A
53 连续是用极限定义的，本推论是极限四则运算定理的直接结果，不证自明。 定理 3 设 y = f (t) 在 0 t = t 点连续，t = g( x) 在 0 x = x 点连续，且 ( ) 0 0 t = g x ， 则 y = f[g( x)] 在 0 x = x 点连续。 这是复合函数求极限定理的直接结果，因其证明方法具有典型性，这里我们还是给出其 证明。 证 "e > 0 , 由 f (t) 在 0 t 连续，$h > 0 , 使得当 t -t 0 <h 时，有 ( ) - ( ) < e 0 f t f t . 对于h > 0 ，由 g (x) 在 0 x 连续，$d > 0 , 使得当 x - x0 < d 时，有 g(x) - g(x0 ) = t -t 0 <h 。 所以当 x - x0 < d 时 ， 有 ( ) - ( ) = [ ( )] - [ ( )] < e 0 0 f t f t f g x f g x ， 即 f [g (x)]在 0 x 点连续。 推论 若g( x) Î C(a,b) ，值域包含于(a,b ) ，f (t) Î C(a,b ) ，则 f [g (x)] ÎC (a,b) 2． 下面我们给出闭区间上连续函数的基本性质定理，这里我们给出证明，但目前不要求同 学们掌握，到第三册我们还会回到这个课题。 定理 ( Bolzano-Cauchy 第一定理）设 f (x)Î C[a, b]， f (a) × f (b) < 0 ,则 $x Î (a,b) ，使得 f (x ) = 0 。 一条不间断的绳子，两头夹住，一头正，一头负, 总有一点x 使得 f (x ) = 0 。 证明：不妨设 f (a) < 0， f (b) > 0 。用中点 2 0 a b c + = 将[a, b]一分为二，得两区间 [ , ] 0 a c 和[ , ] c0 b 。若 f (c0 ) = 0 ，取 0 x = c 即可。不然若 f (c0 ) > 0 ，取[ , ] [ , ] 1 1 0 a b = a c ; 若 f (c0 ) < 0 ，取[ , ] [ , ] a1 b1 = c0 b ，这保证 f (a1 ) < 0， f (b1 ) > 0 。 再用中点 2 1 1 1 a b c + = 将[ , ] a1 b1 一分为二，如上面方法选[ , ] a2 b2 ,L 。 如此下去，在某一 步如有 f (cn ) = 0，取 n x = c 即可，否则我们得到一区间串[ , ] an bn ，满足 1） [ , ] [ , ] an+1 bn+1 Ì an bn ，n = 1, 2, 3, L ； f(x) a b
bn 3)∫(an)<0<∫(bn) 由区间套定理,存在∈[an,bn],使得 5=lm b 再由3)及连续函数性质,有 ∫(2)=imf(an)≤0 f()=lmf(bn)≥0 从而f(2)=0。 定理( Bolzano- cauchy第二定理)设f(x)∈C{a,b],值η介于f(a)和f(b)之 间,则3∈[a,b,使得∫(2)=n 证不妨设n≠f(a),f(b),作F(x)=f(x)-n,F(x)∈C[{a,b且 F(b)·F(a)<0,则由 Bolzano-Cauchy第一定理∈(a,b),使F()=0,即 f∫(5) 定理( Weierstrass第一定理)f(x)∈C[a,b],则f(x)在[a,b]上有界。 证明:如若不然,f(x)在[ab上无界,Ⅶn∈N,丑xn∈[ab],使得f(xn)卜n 对于序列{xn},它有上下界a≤xn≤b,波尔察诺子序列定理告诉我们彐x使得 xn→xo∈[a,b],由∫(x)在x0连续,及∫(xn)>nk有 f(x0)上m|f(xm)上+∞0, 矛盾。 定理( Weierstrass第二定理)f(x)∈C[a,b],则f(x)在[a,b上达到上、下确界。 证令M=sup{f(x)},M<+∞,如果∫(x)达不到M,则恒有f(x)<M。 asx≤b 考虑函数q(x)= ,则φ(x)∈C[a,b],因而有界,即q(x)≤(4>0), M-f(x)
54 2） ( ) 0 2 1 bn - an = n b - a ® ，当n ® ¥时； 3） ( ) 0 ( ) n bn f a < < f 。 由区间套定理，存在 [ , ] Î an bn x ，使得 n n n n a b ®¥ ®¥ lim = x = lim 。 再由 3）及连续函数性质，有 ( ) = lim ( ) £ 0 ®¥ n n f x f a ， ( ) = lim ( ) ³ 0 ®¥ n n f x f b ， 从而 f (x ) = 0 。 定理（Bolzano-Cauchy 第二定理） 设 f (x)Î C[a, b]，值h 介于 f (a) 和 f (b) 之 间，则$x Î[a, b]，使得 f (x ) = h 。 证 不妨设h ¹ f (a), f (b) ， 作F( x) = f ( x) -h ， F( x) Î C[a,b]且 F(b) × F(a) < 0 ，则由 Bolzano-Cauchy 第一定理$x Î (a,b) ，使 F(x ) = 0，即 f (x ) = h 。 定理（Weierstrass 第一定理） f (x)Î C[a, b]，则 f (x) 在[a, b]上有界。 证明： 如若不然，f (x) 在[a, b]上无界，"n ÎN， x [a,b] $ n Î ，使得| f (xn ) |> n ， 对于序列 { }n x ，它有上下界 a £ xn £ b ，波尔察诺子序列定理告诉我们 nk $x 使得 [ , ] 0 x x a b nk ® Î ，由 f (x) 在 0 x 连续，及 n k f x n k | ( ) |> 有 = = +¥ ®¥ | ( ) | lim | ( ) | 0 nk k f x f x ， 矛盾。 定理（Weierstrass 第二定理） f (x)Î C[a, b], 则 f (x) 在[a, b]上达到上、下确界。 证 令M sup { f (x)} a£x£b = ， M < +¥ , 如果 f (x) 达不到 M ，则恒有 f (x) < M 。 考虑函数 ( ) 1 ( ) M f x x - j = ，则j( x)Î C[a, b]，因而有界，即j( x) £ m (m > 0)