*第九章 Grassmann代数与微分形式 上一章多重积分中,面积和体积微元是有方向性的,即与坐标顺序有关,但表达式 dxdy等并不反映它的方向性.在作变量替换时dxdh=(x,y 要出现一个 Jacobi行 a(,v) 列式,这显然也不能从通常的实数乘法推导出来这一章我们将用 Grassmann代数工具将这 乘法讲清楚.事实上面积微元dxdy应该用 grassmann代数中乘法(外积)来定义d?dy, 这样既解决了方向性问题:的?x=-dx?d,又能很自然地推出变量替换时的公式在 更高维数时它也适用 §7.1 Grassmann代数与微分形式 1.1 Grassmann代数 在n维线性空间中取定一组基g2…en},对任何两个向量x=xe1+…+x,en和 y=y1e+…+yen,我们定义一个乘法x?y,将n维线性空间扩张为一个代数为此我 们只要规定好基向量之间的乘法,它们由下面定义 1)e;?e1=0,i=1,2…,n 2)e?(e?ek)=(e?e)?ek;(结合律) 3)e1?…?en≠0,(非退化) 4)e?e,=-e?e;(非交换) 在这个线性运算和乘法下我们得到一个代数,称为 Grassmann代数,记为Gn 例1:G3中有基元素 e1,e2,e3 e1?e2,e1?e3,e2?e3 le,?e,? 它是23=8维的比如其中有两个元素c1e1+c2e2+c3e3和d1e1+d2e2+d3e3,它们的外 积
1 *第九章 Grassmann 代数与微分形式 上一章多重积分中, 面积和体积微元是有方向性的, 即与坐标顺序有关, 但表达式 dxdy 等并不反映它的方向性. 在作变量替换时 dudv u v x y dxdy ( , ) ( , ) ¶ ¶ = , 要出现一个 Jacobi行 列式, 这显然也不能从通常的实数乘法推导出来. 这一章我们将用 Grassmann 代数工具将这 一乘法讲清楚. 事实上面积微元dxdy 应该用 Grassmann 代数中乘法（外积）来定义dx? dy , 这样既解决了方向性问题: dy? dx = -dx? dy , 又能很自然地推出变量替换时的公式. 在 更高维数时它也适用. §7.1 Grassmann 代数与微分形式 1.1 Grassmann 代数 在 n 维线性空间中取定一组基 {e1 ,L, en }, 对任何两个向量 n n x = x e +L + x e 1 1 和 n n y = y e +L+ y e 1 1 , 我们定义一个乘法 x? y , 将n 维线性空间扩张为一个代数. 为此我 们只要规定好基向量之间的乘法, 它们由下面定义 1）e e 0, i 1,2, ,n; i ? i = = L 2） ( ) ( ; i j k i j k e ? e ? e = e ? e )? e （结合律） 3） 0; e1?L?en ¹ （非退化） 4） ; i j j i e ? e = -e ? e （非交换） 在这个线性运算和乘法下我们得到一个代数, 称为 Grassmann 代数, 记为Gn . 例 1: G3 中有基元素 ï ï î ï ï í ì . , , , , 1 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 e e e e e e e e e e e e ? ? ? ? ? 它是 2 8 3 = 维的. 比如其中有两个元素 1 1 2 2 3 3 c e + c e + c e 和 1 1 2 2 3 3 d e + d e + d e , 它们的外 积
(ea+c2e2+c3e2)?(d1e1+d2e2+d3e3) =(cd2-c2d1)e?e2+(c1d3-c3d1)e1?e3+(c2d3-c3d2)e2?e3 如果有三个元素a1e1+a2e2+a3e3,be1+b2e2+be3和ce1+c2e2+C3e3,它们三者的外 (a1e1+a2e2+a3e3)?(,e1+b2e2+be3)?(;e1+c2e2+ce3) 例2:Gn中有基向量2″个,分阶表示为 1维 维 A2:e?e2e?e3…en?enC2维 A.e.?e.?...? 1维 每个子空间A(称为k阶元素)维数为C,总维数为∑Ch=2”.显然有 A?ACA 即k阶元素与l阶元素的外积是k+l阶元素,如果k+l>n时,外积为0 Gn是个非交换、不可除但结合的代数,也称为外代数 1.2R"中微分形式 在R”的微分学中,我们有n个基本一阶微分元素dx1…,dxn令 dx d x 则所有R”中微分形式恰好形成一个 Grassmann代数Gn按Gn的结构,R"中的微分形式 分为n+1个不同阶的微分形式,分别称为0-形式1-形式,…,n-形式它们的基本形式分 别为 2
2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 1 2 2 1 1 2 1 3 3 1 1 3 2 3 3 2 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 c d c d e e c d c d e e c d c d e e c e c e c e d e d e d e ? ? ? ? = - + - + - + + + + 如果有三个元素 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 a e + a e + a e , b e + b e + b e 和 1 1 2 2 3 3 c e + c e + c e , 它们三者的外 积 ( ) ( ) ( ) . 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 e e e c c c b b b a a a a e a e a e b e b e b e c e c e c e ? ? ? ? = + + + + + + 例 2: Gn中有基向量 n 2 个, 分阶表示为 维 维 维 维 1 1 : : , , , : , , , :1 2 1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1 0 n n n n n n C e e e e e e e e e e e e n ? ? ? ? ? ? L LLLLLLL L L L L L L - 每个子空间 k L （称为k 阶元素）维数为 k Cn , 总维数为 n n k k Cn 2 0 å = = . 显然有 l k +l L ? L Ì L k , 即k 阶元素与l 阶元素的外积是k +l 阶元素, 如果k + l > n 时, 外积为 0. Gn是个非交换、不可除但结合的代数, 也称为外代数. 1.2 n R 中微分形式 在 n R 的微分学中, 我们有n 个基本一阶微分元素dx dxn , , 1 L . 令 n n dx = e ,dx = e , ,dx = e 1 1 2 2 L , 则所有 n R 中微分形式恰好形成一个 Grassmann 代数Gn . 按Gn的结构, n R 中的微分形式 分为n +1个不同阶的微分形式, 分别称为 0-形式, 1-形式, L, n -形式. 它们的基本形式分 别为
A:dx,dx…,dx, A: dx, dx,, dx, dxa, .. dx,? dx dx1?dx2?…?dx 例如A中元素一般可写为 f,(xdx f (x)dx 它就是我们熟知的1阶(微分)形式,它有形式不变性,即在坐标变换下,形式不变A2中 元素一般可写为 ∑f(x)t?dx, 当n=3时,有一个数值函数∫(x)=∫(x1,x2,x),它就是一个0-形式;它的微分 f(x)kx1+f(x)dx2+f3(x)dx3是一个1-形式;再有一个向量值函数(P,Q,R),则 Pdx2?ax3+Qdx3?dx1+Rtx1?dx2就是一个2-形式,由它可生成一个3-形式 ("+Q2+Rk?2? 般地,两个微分形式 fsdx2?…?t n ∑gsa?…? 我们用 Grassmann中乘法?定义它们的外积ξ?n,它也是一个微分形式 1.3外微分 对于一个微分形式,我们可定义它的外微分 定义:令0=∑f(x)b,?…,?∈A,定义它的外微分如下 ,(x) dx?dx.?…?dx.eA 例1:在R”中f(x)∈A°,则 afr af
3 : . : , , , : , , , :1 1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1 0 n n n n n dx dx dx dx dx dx dx dx dx dx dx dx ? ? ? ? ? ? L LLLLLLL L L L L L L - 例如 1 L 中元素一般可写为 n dxn f (x)dx f (x) 1 1 +L+ , 它就是我们熟知的 1 阶（微分）形式, 它有形式不变性, 即在坐标变换下, 形式不变. 2 L 中 元素一般可写为 åi< j ij i j f (x)dx ?dx . 当 n = 3 时, 有一个数值函数 ( ) ( , , ) 1 2 3 f x = f x x x , 它就是一个 0-形式; 它的微分 1 1 2 2 3 3 f ¢(x)dx + f ¢(x)dx + f ¢(x)dx 是一个 1- 形式; 再有一个向量值函数 (P,Q,R) , 则 Pdx2? dx3 + Qdx3? dx1 + Rdx1? dx2就是一个 2-形式, 由它可生成一个 3-形式 ( ) 1 2 3 1 2 3 P Q R dx dx dx x ¢ + x ¢ + x ¢ ? ? . 一般地, 两个微分形式 { } { } { } { } , , , , 1,2, , , , 1,2, , 1 1 1 1 å å = Ì = Ì = = S i i n S i i S i i n S i i k k k k g dx dx f dx dx L L L L L L ? ? ? ? h x 我们用 Grassmann 中乘法? 定义它们的外积x?h , 它也是一个微分形式. 1.3 外微分 对于一个微分形式, 我们可定义它的外微分. 定义: 令 k i i i n i i i i k k k = å f x dx dx Î L £ < <L< £ L L 1 2 1 1 1 w ( ) ? ? , 定义它的外微分如下 1 1 1 2 1 1 ( ) + £ < < < £ Î L ¶ ¶ = å å k i i i n j i i j i i k k k dx dx dx x f x d L L w ? ? L? . 例 1: 在 n R 中 0 f (x)Î L , 则 n n n dx x f dx x f df x ¶ ¶ + + ¶ ¶ = 1 L 1 1 ( )
它就是通常的函数的一阶微分式,是个1-形式 例2:0=f(x)dx+…+fn(x)axn∈A,则 af dx,? dx dx. dx 它是一个2形式 例3:在R2中O=P(x,y)dhx+Q(x,y)∈N,则 dv? dx dx? dy ? ax ay 例4在R3中O=P(x,y,z)ax+Q(x,y,)dy+R(x,y,)d∈A,则 aR 00 ly? d=+oP OR ao aP d=? dx+ ?dy ay ax ay dy? dz d=? dx dx? dyl R 后一种表达式对R3是一种偶然,对一般R”没有这么简捷的表达式 例5:在R中O=P(x,y,z)dh?止+Q(x,y,zM?dx+R(x,y,z)d?∈A2,则 eP a0 aR dx? dv? dz 如果F=(P,QR是三维空间中的一个向量场,比如流体运动的速度场,电磁波中的 电场强度或磁场强度,或一个力场,用V aa表示向量微分算子则 000 OQ+ OR=vE 称为向量场的散度,也记为dF,它的物理意义是“源泉密度”.在流体力学中,dvF>0 表示该点是“源泉”(出水之处),divF<0时表示该点是“源尾”(漏水之处);在电场中, dvF>0表示正电荷密度,dvF<0表示负电荷密度
4 它就是通常的函数的一阶微分式, 是个 1-形式. 例 2: 1 1 1 w = f (x)dx +L+ f n (x)dxn Î L , 则 , 1 2 1 1 1 1 1 1 1 å å å å - = = = = ¶ ¶ + + ¶ ¶ = - ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ + + ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ = n j j n j n n j j j n n j j j n n j j j dx dx x f dx dx x f dx dx x f dx dx x f d ? ? ? ? L w L 它是一个 2-形式. 例 3: 在 2 R 中 1 w = P(x, y)dx +Q(x, y)dy Î L , 则 dx dy y P x Q dx dy x Q dy dx y P d ? ? ? ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ - ¶ ¶ = ¶ ¶ + ¶ ¶ w = . 例 4: 在 3 R 中 1 w = P(x, y,z)dx + Q(x, y,z)dy + R(x, y,z)dz Î L , 则 . P Q R x y z dy dz dz dx dx dy dx dy y P x Q dz dx x R z P dy dz z Q y R d ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ - ¶ ¶ ÷ + ø ö ç è æ ¶ ¶ - ¶ ¶ + ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ - ¶ ¶ = ? ? ? w ? ? ? 后一种表达式对 3 R 是一种偶然, 对一般 n R 没有这么简捷的表达式. 例 5: 在 3 R 中 2 w = P(x, y,z)dy?dz + Q(x, y,z)dz?dx + R(x, y,z)dx?dy Î L , 则 dx dy dz. z R y Q x P d ? ? ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ w = 如果 F = (P,Q, R) v 是三维空间中的一个向量场, 比如流体运动的速度场, 电磁波中的 电场强度或磁场强度, 或一个力场, 用 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ Ñ = x y z , , 表示向量微分算子, 则 F z R y Q x P v = Ñ ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ 称为向量场的散度, 也记为 F v div , 它的物理意义是“源泉密度”. 在流体力学中, divF > 0 v 表示该点是“源泉”（出水之处）, divF < 0 v 时表示该点是“源尾”（漏水之处）; 在电场中, divF > 0 v 表示正电荷密度, divF < 0 v 表示负电荷密度
称为向量场的强度,它不是一个向量场,记为 curlE或rotF,它的物理意义是“旋涡密度” 个向量场F,若dvF=0,称为无源场,如静磁场就是,即熟知的不存在单独磁北 极或磁南极;若 curlE=0,称为无旋场,如静电场就是,即不存在封闭的静电力线 aFaF F(x,y,z)是一个数值函数,也称为一个数量场,VF= ay az 称为它的梯度 它是一个向量场,其方向表示F(x,y,z)增加最大的一个方向,大小表示在该方向上的变化 命题:外微分有如下性质: 1)d(4+O2)=do1+do2; 2)d(ko2)=kda 3)d(o?m)=do?n+(-1)o?dn,O∈M,n∈N; 4)O∈A,则d(do)=d2a=0. 证明:1),2)表明外微分是个线性运算,证明是简单的,从略 3)是微分中链锁法则的推广,我们只需对 O=a(x)dx?…?ax n=b(x)dx,?…?dx 来证明,一般情况结果1),2)线性性质可得到.按定义 0?n=a(x)b(x)x?…?dx,?n?…? 再由外微分定义 d(o?n)=∑M)(x)+(x)e) h,?dx?…?dx?n?…? a,,?在??hp(,…?h) +(-1)(x)dr,2?…?d dx dx dx do?n+(1)o?dn 4)如果a(x)∈A,则
5 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ ¶ ¶ - ¶ ¶ Ñ × = y P x Q x R z P z Q y R F , , v 称为向量场的强度, 它不是一个向量场, 记为 F v curl 或 F v rot , 它的物理意义是“旋涡密度”. 一个向量场 F v , 若divF = 0 v , 称为无源场, 如静磁场就是, 即熟知的不存在单独磁北 极或磁南极; 若curlF = 0 v , 称为无旋场, 如静电场就是, 即不存在封闭的静电力线. F( x, y,z) 是一个数值函数, 也称为一个数量场, ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ Ñ = z F y F x F F , , 称为它的梯度, 它是一个向量场, 其方向表示 F( x, y,z) 增加最大的一个方向, 大小表示在该方向上的变化 率. 命题: 外微分有如下性质: 1） 1 2 1 2 d(w +w ) = dw + dw ; 2）d(kw2 ) = kdw ; 3） k k l d(w?h) = dw?h + (-1) w?dh, w Î L ,h Î L ; 4） k w Î L , 则 ( ) 0 2 d dw = d w = . 证明: 1）, 2）表明外微分是个线性运算, 证明是简单的, 从略. 3）是微分中链锁法则的推广, 我们只需对 l k j j i i b x dx dx a x dx dx ? ? ? ? L L 1 1 ( ) ( ) , = = h w 来证明, 一般情况结果 1）, 2）线性性质可得到. 按定义 k l i i j j ? a x b x dx ? L? dx ? dx ?L? dx 1 1 w h = ( ) ( ) . 再由外微分定义 ( ) ( ) ( 1) . ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 w h w h w h d d dx dx dx x b x a x dx dx dx dx dx dx dx x a x dx dx dx dx dx x b x a x x a x d b x k j j n s s s i i k j j n s s i i s n s s i i j j s s k l k l k l ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = + - ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ + - ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ + ¶ ¶ = å å å = = = L L L L L L 4）如果 0 a(x) Î L , 则