§4.3向量组的秩 最大无关线性组 矩阵与向量组秩的关系 ·三、向量组秩的重要结论 四、小结
§4.3向量组的秩 • 一、最大无关线性组 • 二、矩阵与向量组秩的关系 • 三、向量组秩的重要结论 • 四、小结
最大线性无关向量组 定义1设有向量组4,如果在中能选出个向量 ax1,a2,…,a,满足 )向量组4:a1,a2,…,a,线性无关; (2)向量组A中任意r+1个向量(如果4中有 生+个向量的话)都线性相那末称向量组4是 向量组A的一个最大线性无关向量组(简称最大 无关组);最大无关组所含向量个数r称为向量组 的秩只含零向量的向量组没有最大无关组,规定 它的秩为 上页
，满足 设有向量组 ，如果在 中能选出 个向量 r A A r , , , 1 2 定义１ （1）向量组A0 :1 ,2 , ,r线性无关； 个向量的话）都线性相关 ， （ ）向量组 中任意 个向量（如果 中 有 1 2 1 + + r A r A . 的 秩 ; 最大无关组所含向量个数r称为向量组 0 ） 向量组 的一个 （简称 那末称向量组 是 A A 最大线性无关向量组 最大 无关组 0. 它的秩为 只含零向量的向量组没有最大无关组，规定 一、最大线性无关向量组
王二、矩阵与向量组秩的关系 c定理1矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于 它的行向量组的秩 向量组m1,a2,…,an的秩也记作R(a1,a2,…,am) 结论若D是矩阵A的一个最高阶非零子式,则D 所在的r列即是列向量组的一个最大无关组,D 所在的r行即是行向量组的一个最大无关组 说明(1最大无关组不唯一; (2)向量组与它的最大无关组是等价的 上页 圆
向量组a1 ,a2 , ,am的秩也记作 . 所在的 行即是行向量组的一个最大无关组 所在的 列即是列向量组的一个最大无关组， 若 是矩阵 的一个最高阶非零子式，则 r r D D A D r r r （1）最大无关组不唯一; ( , , , ) 1 2 m R a a a 结论 说明 （2）向量组与它的最大无关组是等价的. 二、矩阵与向量组秩的关系 . 它的行向量组的秩 定理１ 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于
例1全体n维向量构成的向量组记作R",求R的 个最大无关组及R"的秩 解因为n维单位坐标向量构成的向量组 E 19c29 是线性无关的,又根据4定理3的结论(3)知R 中的任意n+1个向量都线性相关,因此向量组E 是R的一个最大无关组,且R秩等于n 上页
是线性无关的， 因为 维单位坐标向量构成的向量组 n E e e e n : , , , 1 2 解 . 一个最大无关组及 的秩 全体 维向量构成的向量组记作 ，求 的 n n n R 例 1 n R R 中的任意 个向量都线性相关， 又根据 定理 的结论 知 1 4.2 3 (3) n + R n . R R n E 是 n的一个最大无关组，且 n的秩等于 因此向量组
王推论设向量组是向量组的部分组,若向量 中组4线性无关,且向量组能由向量组4线性表示, 王则向量组4是向量组的一个最大无关组 证设向量组B含r个向量,则它的秩为r, 因4组能由B组线性表示,故4组的秩≤n 工工工 从而A组中任意+1个向量线性相关 所以向量组B满足定义1所规定的最大无关组的 条件 上页
证 设向量组B含r个向量，则它的秩为r, . 0 0 0 0 则向量组 是向量组 的一个最大无关组 组 线性无关，且向量组 能由向量组 线性表示， 推 论 设向量组 是向量组 的部分组，若向量 A A A A A A A . 1 条件 所以向量组B满足定义 所规定的最大无关组的 因A组能由B组线性表示，故A组的秩 r， 从而A组中任意r + 1个向量线性相关