第四章微商与微分 §1微商概念及其计算 1.求抛物线y=x2在A(1,1)点和B(-2,4)点的切线方程和法线方程. 2.若S g2,求 (1)在t=1,t=1+△t之间的平均速度(设△t=1,0.,0.01); (2)在t=1的瞬时速度 3.试确定曲线y=lx在哪些点的切线平行于下列直线: x2,x>3 4.设f(x) x+b,x<3, 试确定a,b的值,使f(x)在x=3处可导 5.求下列曲线在指定点P的切线方程和法线方程 子,P P(0,1) 6.求下列函数的导函数 2)f(x) x<0;
第四章 微商与微分 §1 微商概念及其计算 1．求抛物线y = x 2在A(1, 1)点和B(−2, 4)点的切线方程和法线方程． 2．若S = vt − 1 2 gt2，求 （1）在t = 1, t = 1 + ∆t之间的平均速度（设∆t = 1, 0.1, 0.01）； （2）在t = 1的瞬时速度． 3．试确定曲线y = ln x在哪些点的切线平行于下列直线： （1）y = x − 1； （2）y = 2x − 3． 4．设f(x) = x 2 , x ≥ 3 ax + b, x < 3, 试确定a, b的值，使f(x)在x = 3处可导． 5．求下列曲线在指定点P的切线方程和法线方程： （1）y = x 2 4 , P(2, 1)； （2）y = cos x, P(0, 1)． 6．求下列函数的导函数. （1）f(x) = |x| 3 ； （2）f(x) = x + 1, x ≥ 0, 1, x < 0; 1
7.设函数f(x) rn sin1,x≠0 (m为正整数) 试问:(1)m等于何值时,f(a)在x=0连续; (2)m等于何值时,f(x)在x=0可导 (3)m等于何值时,f(x)在x=0连续 设g(0)=g(0 f(a) g(x)im1,x≠ 0, 0. 求f(0) 9.证明:若f(xo)存在,则 f(xo+△x)-f(xo-△x) △r→0 f(ao) 10.设f(x)是定义在(-∞,+∞)上的函数,且对任意x1,x2∈(-∞,+∞), 若f(0)=1,证明任意x∈(-∞,+∞),有f(x)=f(x) 11.设f(x)是偶函数,且f(0)存在,证明:f(0)=0 12.设f(x)是奇函数,且f(xo)=3,求f(-xo). 13.用定义证明:可导的偶函数的导函数是奇函数,可导的奇函数 的导函数是偶函数 14.求下列函数的导函数: (1)y=x sinc (3)y=rtan c-7r+6;
7．设函数f(x) = x m sin 1 x , x 6= 0 0, x = 0 （m为正整数）． 试问：（1）m等于何值时，f(x)在x = 0连续； （2）m等于何值时，f(x)在x = 0可导； （3）m等于何值时，f 0 (x)在x = 0连续． 8．设g(0) = g 0 (0) = 0，f(x) = g(x) sin 1 x , x 6= 0, 0, x = 0. 求f 0 (0)． 9．证明：若f 0 (x0)存在，则 lim ∆x→0 f(x0 + ∆x) − f(x0 − ∆x) 2∆x = f 0 (x0) 10．设f(x)是定义在(−∞, +∞)上的函数，且对任意x1, x2 ∈ (−∞, +∞)， 有 f(x1 + x2) = f(x1)f(x2). 若f 0 (0) = 1，证明任意x ∈ (−∞, +∞)，有f 0 (x) = f(x)． 11．设f(x)是偶函数，且f 0 (0)存在，证明：f 0 (0) = 0． 12．设f(x)是奇函数，且f 0 (x0) = 3，求f 0 (−x0). 13．用定义证明：可导的偶函数的导函数是奇函数，可导的奇函数 的导函数是偶函数． 14．求下列函数的导函数： （1）y = x 2 sin x； （2）y = x cos x + 3x 2； （3）y = x tan x − 7x + 6； 2
(4)y=e sin r-7 x+5 x2 (5)y=4√x+1-2r3 6)y=3x+ (8)y=1+x+xi (9)y=(1-x)(2-) (10) 1)y=1 (12) 13)y (14) (15)y=(x+1)ln (16)y L COS T-In r (17)y=x+cos 2 (18)y=xs rsin t+cosar sin r-cos r i (20) cSin ln r 15.求下列复合函数的导函数: (1)y=(x3-4) 3
（4）y = e x sin x − 7 cos x + 5x 2； （5）y = 4√ x + 1 x − 2x 3； （6）y = 3x + 5√ x + 7 x3； （7）y = 1+x 2 1−x2； （8）y = 1 1+x+x2； （9）y = x (1−x)(2−x)； （10）y = 1 1+√ x − 1 1− √ x； （11）y = 1+√ x 1− √ x； （12）y = 1 3 √ x + √3 x； （13）y = x 3 ln x − 1 n x n； （14）y = cos x x4 ln 1 x； （15）y = (x + 1 x ) ln x； （16）y = x cos x−ln x x+1 ； （17）y = 1 x+cos x； （18）y = x sin x+cos x x sin x−cos x； （19）y = xex−1 sin x ； （20）y = x sin x ln x． 15．求下列复合函数的导函数： （1）y = (x 3 − 4)3； 3
(3)y=√a2 (4)y= (5) )y=是lm|a+ (7)y=ln(x+va2+x2); (9)y=cos(cs√x); (10)y=cos r-cos 3 c; (11y=-32; (12)y=arcsin(sin r cos c); (14) y=e-z+2 (15)y=nv (16)y=e2sin3x+号; (17)y=出(k,u为常数; (18)y=xVa2-x2+、ax (19)y=sin" cos nz: (20) In
（2）y = x(a 2 + x 2 ) √ a 2 − x 2； （3）y = √ x a 2−x2； （4）y = 3 q 1+x3 1−x3； （5）y = ln(ln x)； （6）y = 1 2 ln ¯ ¯a+x a−x ¯ ¯； （7）y = ln(x + √ a 2 + x 2)； （8）y = ln tan x 2； （9）y = cos(cos √ x)； （10）y = cos3 x − cos 3x； （11）y = √ 1 2π e −3x 2； （12）y = arcsin(sin x cos x)； （13）y = arctan 2x 1−x2； （14）y = e −x 2 +2x； （15）y = ln q(x+2)(x+3) x+1 ； （16）y = e 2x sin 3x + x 2 2 ； （17）y = e −kx sin ωx 1+x (k, ω为常数； （18）y = x √ a 2 − x 2 + √ x a 2−x2； （19）y = sinn x cos nx； （20）y = ln √ 1+x− √ √ 1−x 1+x+ √ 1−x． 4
16.用对数求导法求下列函数的导函数 (1) (2)y=÷ (5) (x>0) (6)y (1+x)2,(x>0); (7)y=rtant, (a>0); (8)y=asnx,(a>0) 17.设f(x)是对x可求导的函数,求出 1)y=f(x2) (2)y= f(e e (3)y=f(f(f(x) l8.设y(x)和(x)是对x可求导的函数,求: √p2(x)+2(x); (2)y= arctan par(v(a)+O) (3)y=yv(x)(v(x)>0,y(x)≠0 )(v(x)>0.,y(x)>0.,y(x)≠1) 19.求下列函数的导函数
16．用对数求导法求下列函数的导函数： （1）y = x q1−x 1+x； （2）y = x 2 1−x q 1+x 1+x+x2； （3）y = (x + √ 1 + x 2) n； （4）y = x x ,(x > 0)； （5）y = x ln x ,(x > 0)； （6）y = (1 + x) 1 x ,(x > 0)； （7）y = x tan x ,(x > 0)； （8）y = a sin x ,(a > 0)． 17．设f(x)是对x可求导的函数，求dy dx： （1）y = f(x 2 )； （2）y = f(e x )e f(x)； （3）y = f(f(f(x)))． 18．设ϕ(x)和ψ(x)是对x可求导的函数，求dy dx： （1）y = p ϕ2(x) + ψ2(x)； （2）y = arctan ϕ(x) ψ(x) (ψ(x) 6= 0)； （3）y = ϕ(xp) ψ(x)(ψ(x) > 0, ϕ(x) 6= 0)； （4）y = logϕ(x) ψ(x) (ψ(x) > 0, ϕ(x) > 0, ϕ(x) 6= 1)． 19．求下列函数的导函数： 5