第五章隐函数定理 §3.1 Jacobi矩阵与 Jacobi行列式 这章以及下一章中,我们希望用偏导数来研究多元函数和多元向量函数 设G和Ω分别是R"和R中区域,F:G→Ω是一向量函数.要研究F,我们需要 了解F的象集 (G=DEQ 3PE G, s1.Q=F(P) 以及逆象集 F'(Q={P∈G|F(P)=c 我们先讨论F-(Q) 将F表示为 (x1,…,xn)→(1(x1…,x)…,f厂n(x1…,xn) 设Q=(q,…,q)∈9,则F-(Q)为下面方程组的解 xn=g 如果令F(x1…,xn)=f(x1…,xn)-q,…,F(x1…,xn)=fn(x1…,xn)-q0,则我 们需要解 F(x1,…,xn)=0 Fm(x12…,xn)=0 一般不能期望将方程的解都给出来.通常将F(x1…,xn)=0看作变量(x1,…,x)的 约束条件.我们希望知道在这些约束条件下哪些变量是自由的,使其余的变量由其决定,即 是否存在一组函数,例如 k+1 (1.3) 使得(x1,…,x)为方程组(12)的解当且仅当其满足(1.3),其中(x1,…,x)在一个开集 内取值 满足上面关系的函数g1(x1,…,x)…,gn-(x1…,x)称为由方程组(12)确定的
1 第五章 隐函数定理 §3.1 Jacobi 矩阵与 Jacobi 行列式 这章以及下一章中, 我们希望用偏导数来研究多元函数和多元向量函数. 设G 和 W 分别是 n R 和 m R 中区域, F : G ® W 是一向量函数. 要研究 F , 我们需要 了解 F 的象集 F(G) = {Q ÎW $PÎ G, s.t. Q = F(P)} 以及逆象集 F Q = {PÎ G F P = Q} - ( ) ( ) 1 . 我们先讨论 ( ) 1 F Q - . 将 F 表示为 ( , , ) ( ( , , ), , ( , , )) 1 n 1 1 n m 1 n x L x ® f x L x L f x L x , 设 = ( , , ) ÎW 0 0 1 m Q q L q , 则 ( ) 1 F Q - 为下面方程组的解: ï î ï í ì = = ( , , ) . ( , , ) 0 1 0 1 1 1 m n m n f x x q f x x q L LLLLLLL L （1.1） 如果令 0 1 1 0 1 1 1 1 1 ( , , ) ( , , ) , , ( , , ) ( , , ) n n m n m n m F x L x = f x L x - q L F x L x = f x L x - q , 则我 们需要解 ï î ï í ì = = ( , , ) 0 . ( , , ) 0 1 1 1 m n n F x x F x x L LLLLLLL L （1.2） 一般不能期望将方程的解都给出来. 通常将 Fi (x1 ,L, xn ) = 0 看作变量 ( , , ) 1 n x L x 的 约束条件. 我们希望知道在这些约束条件下哪些变量是自由的, 使其余的变量由其决定,即 是否存在一组函数, 例如 ( , , ) , ( , , ) 1 1 1 1 n n k k k k x g x x x g x x L LLLL L - + = = （1.3） 使得( , , ) 1 n x L x 为方程组（1.2）的解当且仅当其满足（1.3）, 其中( , , ) 1 k x L x 在一个开集 内取值. 满足上面关系的函数 ( , , ), , ( , , ) 1 1 k n k 1 k g x L x L g x L x - 称为由方程组（1.2）确定的
F(x1…,xn),…,Fm(x1,…,xn)的隐函数.虽然一般不能将这样的隐函数的解析表达式给 出,但仍然希望能够通过F1(x1…,xn)…,F(x,…,xn)的连续性、可微性、偏导数等得到 其隐函数的连续性、可微性和偏导数 设P=(x1,…,x)是方程组(1.2)的解,且F1(x1,…,xn)…,Fn(x1,…,xn)在P的 邻域上可微,则对P=(x1,…,xn),有 OF(PO) (x1-x1) F1(P0) 1 0x1 olP-PoD aFn (Po F (x -x)+ 由于我们讨论的仅是解的存在性问题,忽略高阶无穷小,则方程组可近似地化为齐次线性方 程组 aF, (PO) (x1-x1) OFI(PO) (xn-x)=0 aFM(PO) a(x-x)+…+5m(P)(xn-x)=0 齐次方程组是我们熟知的,其解空间由其系数矩阵确定.上面方程组中的系数矩阵称为 F(x1…,xn),…,Fn(x12…,xn)在P点的 Jacobi矩阵 定义:设P=(x,…,x),映射F:(x1…,xn)→((x1…,xn)…,f(x1…,xn) 在P可微,则矩阵 O(Po) G(PO) D(f1…,Jm) (P) DO 可fm(P0) an (po) 称为(f1(x1…,xn)…,fm(x12…,x)在P点的 Jacobi矩阵.如果n=m,则行列式 O(Po) a(Po ax a P 2
2 ( , , ), , ( , , ) 1 1 n m 1 n F x L x L F x L x 的隐函数. 虽然一般不能将这样的隐函数的解析表达式给 出, 但仍然希望能够通过 ( , , ), , ( , , ) 1 1 n m 1 n F x L x L F x L x 的连续性、可微性、偏导数等得到 其隐函数的连续性、可微性和偏导数. 设 ( , , ) 0 0 0 1 n P = x L x 是方程组（1.2）的解, 且 ( , , ), , ( , , ) 1 1 n m 1 n F x L x L F x L x 在 P0 的 邻域上可微, 则对 ( , , ) 1 n P = x L x , 有 ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( , , ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( , , ) 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 x x o P P x F P x x x F P F x x x x o P P x F P x x x F P F x x n n n m m m n n n n n - + - ¶ ¶ - + + ¶ ¶ = - + - ¶ ¶ - + + ¶ ¶ = L L LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL L L 由于我们讨论的仅是解的存在性问题, 忽略高阶无穷小, 则方程组可近似地化为齐次线性方 程组 ï ï î ï ï í ì - = ¶ ¶ - + + ¶ ¶ - = ¶ ¶ - + + ¶ ¶ ( ) 0 . ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 n n n m m n n n x x x F P x x x F P x x x F P x x x F P L LLLLLLLLLLLLLLLLLL L 齐次方程组是我们熟知的, 其解空间由其系数矩阵确定. 上面方程组中的系数矩阵称为 ( , , ), , ( , , ) 1 1 n m 1 n F x L x L F x L x 在 P0 点的 Jacobi 矩阵. 定义: 设 ( , , ) 0 0 0 1 n P = x L x , 映射 :( , , ) ( ( , , ), , ( , , )) 1 n 1 1 n m 1 n F x L x ® f x L x L f x L x 在 P0 可微, 则矩阵 ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ = n m m n n m x f P x f P x f P x f P P D x x D f f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , , ) ( , , ) 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 LL LL LL LL LL L L 称为( ( , , ), , ( , , )) 1 1 n m 1 n f x L x L f x L x 在 P0 点的 Jacobi 矩阵. 如果n = m, 则行列式 n n n n n n x f P x f P x f P x f P P x x f f ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , , ) ( , , ) 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 LL LL LL LL LL L L
称为映射(f1(x1,…xn)…,fn(x13…,x)在P点的 Jacobi行列式 一般以 d, (Po)d (P) n(P0) DUn,J,…,f a, (Po)a(Po) a, (Po) D (P0) o,(P)可4(P) o.(B) 表示分量f,,…,f相对于自变量分量x1,x1…,x在P点的 Jacobi矩阵.以 O, (PO) 8, (Po) a4(P) 2(B)o2(P) a2(B) anx….y)= (P)a,(Po) ,(P 表示分量f,J6;…,f相对于自变量分量x,x2…,x在B0点的 jacobi行列式 利用 Jacobi矩阵,对向量函数(f1(x,…,xn)…,Jm(x1…,xn),有下面形式的 Taylor 展开 f1(x,…,x)(f1(x DOr P n)(fn(x3…,x) DO +(x-x)+…+(x-x 这里O表示一个无穷小的m阶向量 因此代替每个分量函数的偏导数,矩阵D(m)(P)可看作映射 XI )…,fmn( ) 的导函数,也记为DF(B0),其在数学的多个分支中有广泛应用 例:如果∫(x1…,xn)在P=(x,…,x)可微,则
3 称为映射( ( , , ), , ( , , )) 1 1 n n 1 n f x L x L f x L x 在 P0 点的 Jacobi 行列式. 一般以 ( ) ( ) ú ú ú ú ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ê ê ê ê ë é ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ = l k k k l l l k j i j i j i j i j i j i j i j i j i j j j i i i x f P x f P x f P x f P x f P x f P x f P x f P x f P P D x x x D f f f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 LL LL LL LL LL LL LL L L 表示分量 k i i i f , f , , f 1 2 L 相对于自变量分量 l j j j x , x , x 1 2 L 在 P0 点的 Jacobi 矩阵. 以 ( ) ( ) k k k k k k k k j i j i j i j i j i j i j i j i j i j j j i i i x f P x f P x f P x f P x f P x f P x f P x f P x f P P x x x f f f ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 LL LL LL LL LL LL LL L L 表示分量 k i i i f , f , , f 1 2 L 相对于自变量分量 k j j j x , x , x 1 2 L 在 P0 点的 Jacobi 行列式. 利用 Jacobi 矩阵, 对向量函数( ( , , ), , ( , , )) 1 1 n m 1 n f x L x L f x L x , 有下面形式的 Taylor 展开 ( ( ) ( ) ), ( ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) 0 2 0 2 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 n n n n n m m n n m n n o x x x x x x x x P D x x D f f f x x f x x f x x f x x + - + + - ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - - = ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ L M L L L M L L M L 这里 o 表示一个无穷小的 m 阶向量. 因此代替每个分量函数的偏导数, Jacobi 矩阵 ( ) ( , , ) ( , , ) 0 1 1 P D x x D f f n m L L 可看作映射 :( , , ) ( ( , , ), , ( , , )) 1 n 1 1 n m 1 n F x L x ® f x L x L f x L x 的导函数, 也记为 ( ) DF P0 , 其在数学的多个分支中有广泛应用. 例: 如果 ( , , ) 1 n f x L x 在 ( , , ) 0 0 0 1 n P = x L x 可微, 则
D(P)= 分(P)=y(P),0( grad(o)(Po) Jacobi矩阵就是∫的梯度向量 例:设∫(x1…,xn)在P=(x,…,x)邻域上二阶可微定义映射 :(x3g0xx,)(0….0 则其 Jacobi矩阵 a-f 就是函数∫(x1…,x)的Hess矩阵 Jacobi矩阵作为向量函数的导数,与一元函数的导数相同,也满足链法则 定理1:设F:(x1…,x)→>(y1…,yn)和G:(y,…,yn)→(21,…,)都是可微的 映射,则 Jacobi矩阵满足D(G。F)= DG o DF,或表示为 D(=1…,)D(1,…z)D(y1,…,ym D DO )D(x1,…xn) 证明:利用偏导数的链法则和矩阵乘法直接计算即可 推论:如果在定理1中n=m=r,则 Jacobi行列式满足 a(=1,…,En)(=1,…,=n)(y12…,yn) a §3.2隐函数定理 设F(x1,…,xn)=0,…,F(x1,…,xn)=0是一函数方程组,称集合S上的函数 x1=f1(x1,…,xk) fn-k(x1…,xk) 为此方程组在S上确定的隐函数.如果在S上恒有
4 grad( )( ) ( ) , , ( ) ( ) ( , , ) ( ) ( ) 0 0 1 0 0 1 0 f P x f P x f P P D x x D f Df P n n =÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ = = L L . Jacobi 矩阵就是 f 的梯度向量. 例: 设 ( , , ) 1 n f x L x 在 ( , , ) 0 0 0 1 n P = x L x 邻域上二阶可微. 定义映射 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ® = n n n x f x f grad :(x , , x ) grad( f )(x , , x ) , , 1 1 L 1 L L , 则其 Jacobi 矩阵 ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ = 2 2 1 2 1 2 2 1 2 (grad) n n n x f x x f x x f x f D LL LL LL LL LL 就是函数 ( , , ) 1 n f x L x 的 Hessi 矩阵. Jacobi 矩阵作为向量函数的导数, 与一元函数的导数相同, 也满足链法则. 定理 1: 设 : ( , , ) ( , , ) 1 n 1 m F x L x ® y L y 和 :( , , ) ( , , ) 1 m 1 r G y L y ® z L z 都是可微的 映射, 则 Jacobi 矩阵满足D(G o F) = DG o DF , 或表示为 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) 1 1 1 1 1 1 n m m r n r D x x D y y D y y D z z D x x D z z L L L L L L = × . 证明: 利用偏导数的链法则和矩阵乘法直接计算即可. 推论: 如果在定理 1 中n = m = r , 则 Jacobi 行列式满足 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) 1 1 1 1 1 1 n n n n n n x x y y y y z z x x z z L L L L L L ¶ ¶ × ¶ ¶ = ¶ ¶ . §3.2 隐函数定理 设 F1 (x1 ,L, xn ) = 0,L,Fl (x1 ,L, xn ) = 0是一函数方程组, 称集合S 上的函数 ( , , ), , ( , , ) k 1 1 1 k n n k 1 k x f x L x L x f x L x + = = - 为此方程组在 S 上确定的隐函数. 如果在S 上恒有
F(x1…,xk,f1(x1,…,x)…fm4(x1…,x)=0 F(x12…,xk,f1(x1,…,xk),…fn4(x1…,x)=0 例:设F(x,y)=x2-y2,则其在(00)的邻域上确定无穷多个隐函数y=f(x),但如 果要求y=∫(x)连续,则F(x,y)=0在(0,0)的邻域上确定了四个隐函数;如果要求 y=f(x)可导,则在(0,0)的邻域上满足F(x,f(x)≡0的函数仅有两个 对于函数方程组,上一节中我们提出利用 Jacobi矩阵将其近似地化为齐次线性方程组 本节和下一节中我们将证明这样的想法是合理的.我们将把关于齐次线性方程组的相关结 果局部地推广到函数方程组上.我们从一个方程开始 定理1:设F(x,y)在P=(x,y)邻域上有连续偏导,且F(x0,y0)=0 (xn,)≠0,则存在>0.。>0,使得F(xy)=0在(x1-6,x+6) (y0-E,yo+E)上确定唯一的隐函数∫:(xa-0,x0+6)→>(y-E,y+E);f(x)在 (x0-6,x0+δ)上可导,并且f(x)= F(,f(x)) 如果进一步假定F(x,y)是C「的函 F(x,f(x)) 数,则y=f(x)也是C「的函数 证明:不妨设2(xy)0.由 aF(xy连续,知存在(x,)的邻域 (a,b)×(c,d)=U,使得 >0.特别的,当x∈(a,b)固定时,F(x,y)是y在 (c,d)上严格单调上升的函数任取E,使0<E<mn{o-cd-y0},则由 F(x0,y)=0知F(x0,y-E)<0,F(x,y+6)>0.但F(xy-E)和F(x,y+E)对 x连续,因此存在δ,使0<6<mmn{x0-a,b-x},F(x,y-8)在(x-6,x+6)上 恒小于零,而F(x,y+E)在(x0-6,x0+δ)上恒大于零
5 ( , , , ( , , ), ( , , )) 0 . ( , , , ( , , ), ( , , )) 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = = - - l k k n k k k k n k k F x x f x x f x x F x x f x x f x x L L L L LLLLLLLLLLLLLLLLLLL L L L L 例: 设 2 2 F(x, y) = x - y , 则其在(0,0) 的邻域上确定无穷多个隐函数 y = f (x); 但如 果要求 y = f (x) 连续, 则 F( x, y) = 0 在 (0,0) 的邻域上确定了四个隐函数; 如果要求 y = f (x)可导, 则在(0,0) 的邻域上满足 F( x, f ( x)) º 0的函数仅有两个. 对于函数方程组, 上一节中我们提出利用 Jacobi 矩阵将其近似地化为齐次线性方程组. 本节和下一节中我们将证明这样的想法是合理的. 我们将把关于齐次线性方程组的相关结 果局部地推广到函数方程组上. 我们从一个方程开始. 定 理 1: 设 F( x, y) 在 ( , ) 0 0 0 P = x y 邻域上有连续偏导 , 且 F(x0 , y0 ) = 0 , 0 ( , ) 0 0 ¹ ¶ ¶ y F x y , 则存在 e > 0, d > 0 , 使 得 F( x, y) = 0 在 ( , ) 0 0 x - d x + d ( , ) 0 0 ´ y - e y + e 上确定唯一的隐函数 : ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x - d x + d ® y - e y + e ; f (x) 在 ( , ) 0 0 x - d x + d 上可导, 并且 ( , ( )) ( , ( )) ( ) F x f x F x f x f x y x ¢ = - . 如果进一步假定 F( x, y) 是 r C 的函 数, 则 y = f (x)也是 r C 的函数. 证 明 : 不妨设 0 ( , ) 0 0 > ¶ ¶ y F x y . 由 y F x y ¶ ¶ ( , ) 连 续 , 知存在 ( , ) 0 0 x y 的邻域 (a, b) ´ (c, d) = U , 使得 0 ( , ) > ¶ ¶ y U F x y . 特别的, 当 x Î (a,b) 固定时, F( x, y) 是 y 在 (c, d ) 上严格单调上升的函数 . 任 取 e , 使 0 < e < min {y0 - c,d - y0 } , 则 由 F(x0 , y0 ) = 0 知 F(x0 , y0 - e ) < 0, F(x0 , y0 + e ) > 0 . 但 ( , ) 0 F x y - e 和 ( , ) 0 F x y + e 对 x 连续, 因此存在d , 使0 < d < min {x0 - a,b - x0 }. ( , ) 0 F x y - e 在 ( , ) 0 0 x - d x + d 上 恒小于零, 而 ( , ) 0 F x y + e 在( , ) 0 0 x - d x + d 上恒大于零