第一章 实数理论 §1从空集到有理数 实数是在有理数基础上定义的,有理数又是在整数的基础上定义的,而整数又是在自 然数的基础上定义的,那么自然数如何定义呢? 有两个集合A和B,我们称它们为等价的,如果存在一个从A到B的映射∫,它是1-1 的,又是满的。这时我们说A和B具有相同的势。我们首先承认空集φ是存在的,考虑 个集合{},它不是空集,凡与{φ}等价的集合都有相同的势,我们把{φ}简写为1。再考 虑集合{,{},它与1={φ}是不等价的,我们把它简写为2。一般地如果有了n之后, 可以定义它的跟随{,n},简写为n+1。这样我们就得到了自然数N={1,2,3,…,n,…}。 在N上可以定义加法:n+m=n+1+1+…+1,还可以证明加法满足结合律和交换律 n+(m+p)=(n+m)+p,n+m=m+n。这样我们就从空集出发,定义出自然数N 这是一个最抽象的定义,比如说2,它不指二个人,也不指二个物,而是指一个集合φ,{}, 这个集合有两个不同的元素{}和φ。凡是与它等价的集合,都与它有相同的势,于是二个 人,二个物……,都具有相同的势,按我们的理论,用{φ,{}}作为它们的代表。 在集合{(m,n):m,n∈N}中,考虑一个关系~:(m,n)~(m,n)当且仅当 m+n=m’+n,容易证明~是一个等价关系。整数Z现在定义为 Z={(m,n):m,n∈N}/~。 在Z上可以定义加法:(m,n)+(m,n)=(m+m,n+n),还可以定义减法 (m,n)-(m,n)=(m+n,m'+n)。可以验证它们在Z中封闭,而且互为逆运算。在Z 中我们用0表示{(n,n):n∈N},,即0=1-1=2-2 用k表示{(n+k,m):n,k∈ N},即k=(k+1)-1=(k+2)-2=…,用-1表示{(n,n+1):n∈N},即 1=1-2=2-3
182 第一章 实 数 理 论 §1 从空集到有理数 实数是在有理数基础上定义的，有理数又是在整数的基础上定义的，而整数又是在自 然数的基础上定义的，那么自然数如何定义呢？ 有两个集合 A 和 B ，我们称它们为等价的，如果存在一个从 A 到 B 的映射 f ，它是1-1 的，又是满的。这时我们说 A 和 B 具有相同的势。我们首先承认空集f 是存在的，考虑一 个集合{f}，它不是空集，凡与{f}等价的集合都有相同的势，我们把{f}简写为1。再考 虑集合{f, {f}}，它与1 = {f}是不等价的，我们把它简写为 2 。一般地如果有了 n 之后， 可以定义它的跟随{f, n}，简写为n +1。这样我们就得到了自然数 N= {1, 2, 3, L, n, L}。 在 N 上可以定义加法：n + m = n +1+1+L+1，还可以证明加法满足结合律和交换律： n + (m + p) = (n + m) + p，n + m = m + n。这样我们就从空集出发，定义出自然数 N。 这是一个最抽象的定义，比如说2 ，它不指二个人，也不指二个物，而是指一个集合{f, {f}}， 这个集合有两个不同的元素{f}和f 。凡是与它等价的集合，都与它有相同的势，于是二个 人，二个物… … ，都具有相同的势，按我们的理论，用{f, {f}}作为它们的代表。 在集合{ (m, n) : m,n ÎN }中，考虑一个关系 ~ ： (m, n) ~ (m¢, n¢) 当且仅当 m + n¢ = m¢ + n ，容易证明 ~ 是一个等价关系。 整数 Z 现在定义为： Z={(m, n) : m,nÎN} ~ 。 在 Z 上可以定义加法 ： (m, n) + (m¢, n¢) = (m + m¢, n + n¢) ， 还可以定义减法 ： (m, n) - (m¢, n¢) = (m + n¢, m¢+ n) 。可以验证它们在 Z 中封闭，而且互为逆运算。在 Z 中我们用0 表示{ (n, n) : n ÎN}，,即0 =1-1 = 2 - 2 =L，用k 表示{ (n + k, n) : n, k Î N} ， 即 k = (k +1) -1 = (k + 2) - 2 = L ， 用 - 1 表 示 { (n, n +1) : n Î N} ， 即 - 1 = 1- 2 = 2 - 3 = L
在集合{(p,q):P,q∈Z,q≠0}中考虑一个关系~:(p,q)~(p’,q)当且仅当 p'=pq,它也是一个等价关系,有理数Q现在定义为 Q={(P,q):p.q∈Z,q≠0} 在Q中我们可以定义加法,减法,乘法,除法,还可证明加减法互为逆运算,乘除法互为 逆运算等性质,在Q中我们用P,且(.q)=1表示其中一个有理数,比如用表示 (n,2n) 这样我们完成了从空集φ出发到有理数集Q的定义 在2500年前,毕达哥拉斯学派认为一切线段都由原子组成,而原子有一个固定长度, 比如假定单位线段由q个原子组成,被测量的线段由p个原子组成,则线段之长为:2 即有理数可以度量一切长度。但毕达哥拉斯学派弟子希伯斯发现正五角形的边长为1时,对 角线长不能由有理数表示,希伯斯因此受到迫害。但后来发现有很多长度不能用有理数表示 比如简单地取正方形边长为1,由勾股定理,它的对角线长度的平方应为2,我们记之为√2 如果它是有理数,就应该有: (m,n)=1,n≠0 两边平方,得2n2=m2,因为m,n都是整数,表明m2中含2因子,即m中含2因子, 设m=2p,则n2=2p2,同样推理表明n中也含2因子,与(m,n)=1矛盾,所以√2不 是有理数。这表明只有有理数是不够的,必须引入新的数,即无理数,它们合在一起称为实 数 §2实数的定义(戴德金分割) 定义实数有不同的方法,戴德金分割是一个比较标准的方法。直观地看,有理数Q在 实轴上没有填满,还有很多“孔隙”,戴德金分割就是在数轴上割一刀,把现有的有理数Q 分成两部分,如果这一刀恰好砍在某个有理数上,这一分割对应的就是这个有理数,如果没 碰到任何有理数,这个分割就定义出一个无理数。 定义1将有理数全体组成的集合分成A,B两类,使满足以下性质 1)A与B都至少包含一个有理数(不空) 2)任一有理数,或属于A,或属于B(不漏);
183 在集合{ ( p, q) : p, qÎZ, q ¹ 0 }中,考虑一个关系 ~ ： ( p, q) ~ ( p¢, q¢) 当且仅当 pq¢ = p¢q，它也是一个等价关系，有理数 Q 现在定义为： Q ={( p, q): p,qÎ Z, q ¹ 0} ~ 。 在 Q 中我们可以定义加法，减法，乘法，除法，还可证明加减法互为逆运算，乘除法互为 逆运算等性质，在 Q 中我们用 q p ，且( p, q) = 1表示其中一个有理数，比如用 2 1 表示 (n, 2n) 。 这样我们完成了从空集f 出发到有理数集 Q 的定义。 在 2500 年前，毕达哥拉斯学派认为一切线段都由原子组成，而原子有一个固定长度， 比如假定单位线段由q 个原子组成，被测量的线段由 p 个原子组成，则线段之长为： q p ， 即有理数可以度量一切长度。但毕达哥拉斯学派弟子希伯斯发现正五角形的边长为1时，对 角线长不能由有理数表示，希伯斯因此受到迫害。但后来发现有很多长度不能用有理数表示， 比如简单地取正方形边长为1，由勾股定理，它的对角线长度的平方应为2 ，我们记之为 2 ， 如果它是有理数，就应该有： n m 2 = ， (m, n) = 1， n ¹ 0 。 两边平方，得 2 2 2n = m ，因为m ，n 都是整数，表明 2 m 中含2 因子，即m 中含2 因子， 设m = 2 p ，则 2 2 n = 2p ，同样推理表明n 中也含 2 因子，与(m, n) = 1矛盾，所以 2 不 是有理数。这表明只有有理数是不够的，必须引入新的数，即无理数，它们合在一起称为实 数。 §2 实数的定义（戴德金分割） 定义实数有不同的方法，戴德金分割是一个比较标准的方法。直观地看，有理数 Q 在 实轴上没有填满，还有很多“孔隙”，戴德金分割就是在数轴上割一刀，把现有的有理数 Q 分成两部分，如果这一刀恰好砍在某个有理数上，这一分割对应的就是这个有理数，如果没 碰到任何有理数，这个分割就定义出一个无理数。 定义 1 将有理数全体组成的集合分成 A ， B 两类，使满足以下性质： 1） A 与 B 都至少包含一个有理数（不空）； 2） 任一有理数，或属于 A ，或属于 B （不漏）；
3)A中任一数a均小于B中任一数b,即a∈A,b∈B→a<b(不乱) 4)A中没有最大的数,即a∈A,彐a'∈A,使a<a'。则称A,B为有理数的 个分划,A称为分划的下类,B称为分划的上类,记作(A|B) 定义中4)不同于1)-3),它是非实质性的,只是为了推理的方便。定义中4)用到 有理数的稠密性(即两个有理数之间必有一有理数),如A有最大数,将此数放入B,则它 是B的最小数,这时A就无最大数:若A还有最大数,根据有理数的稠密性,A的最大数 与B的最小数之间必有一有理数,这个有理数被漏掉了,这与分划的定义矛盾 注意定义没有用到有理数的极限,只用到有理数性质和集合概念。由分划的定义知 若a为下类的任一数,则小于a的任何有理数也属于下类;b为上类中的任一数,则大于b 的任何有理数也属于上类 下面用Q记有理数的集合。 例1A={x|x<1x∈Q} B ≥1 容易看出A、B构成有理数的一个分划,这时上类B有最小数1。 例2A={x|x≤0或x>0且x2<2,x∈Q} B={x|x>0且x2>2,x∈Q}。 显然A、B不空、不乱,因为没有有理数平方等于2,所以不漏,下面证A无最大数。 设a≥0,a2<2,要证存在有理数r>0,使 a+r)< 即要证 a2+2a+r2<2,或2ar+r2<2 当r≤1时,只要2a+r<2-a,也就只要r<2-a2 所以取有理数r满足 0<r<min{1, }时,即有(a+r)2<2,故A中存在有理数a+r>a 时,属于A的有理数0即大于a,这就证明了A无最大数。因此AB是有理数的一个分划。 这个分划中,上类B无最小数。事实上,设b∈B,即b>0且b2>2,要证存在有理 数r>0,使b-r>0,且(b-r)2>2,即 b+r2>2,或2b-r2<b2
184 3） A 中任一数a 均小于 B 中任一数b ，即a Î A，bÎ B Þ a < b （不乱）； 4） A 中没有最大的数，即 a Î A，$ a¢Î A ，使a < a¢ 。则称 A ， B 为有理数的一 个分划， A 称为分划的下类， B 称为分划的上类，记作(A | B) 。 定义中 4）不同于 1）—3），它是非实质性的，只是为了推理的方便。定义中 4）用到 有理数的稠密性（即两个有理数之间必有一有理数），如 A 有最大数，将此数放入 B ，则它 是 B 的最小数，这时 A 就无最大数；若 A 还有最大数，根据有理数的稠密性， A 的最大数 与 B 的最小数之间必有一有理数，这个有理数被漏掉了，这与分划的定义矛盾。 注意定义没有用到有理数的极限，只用到有理数性质和集合概念。由分划的定义知， 若a 为下类的任一数，则小于a 的任何有理数也属于下类；b 为上类中的任一数，则大于 b 的任何有理数也属于上类。 下面用 Q 记有理数的集合。 例 1 A = { x | x < 1, x ÎQ}； B = { x | x ³1, x ÎQ}。 容易看出 A 、 B 构成有理数的一个分划，这时上类 B 有最小数1。 例 2 { | 0 0 2, } A = x x £ 或 x > 且 x 2 < x ÎQ ； { | 0 2, } B = x x > 且 x 2 > xÎQ 。 显然 A 、 B 不空、不乱，因为没有有理数平方等于2 ，所以不漏，下面证 A 无最大数。 设a ³ 0， 2 2 a < ，要证存在有理数r > 0 ，使 ( ) 2 2 a + r < 。 即要证 2 2 2 2 a + ar + r < ，或 2 2 2ar + r < 2 - a 。 当 r £ 1 时 ， 只 要 2 2ar + r < 2 - a ， 也就只要 2 1 2 2 + - < a a r 。 所以取有理数 r 满 足 } 2 1 2 0 min{ 1, 2 + - < < a a r 时，即有( ) 2 2 a + r < ，故 A 中存在有理数a + r > a 。 当a < 0 时，属于 A 的有理数0 即大于a ，这就证明了 A 无最大数。因此 A| B 是有理数的一个分划。 这个分划中，上类 B 无最小数。事实上，设bÎ B ，即b > 0且 2 2 b > ，要证存在有理 数r > 0 ，使b - r > 0 ，且( ) 2 2 b - r > ，即 2 2 2 2 b - br + r > ， 或 2 2 2 2 br - r < b -
要使上式成立,只要2b<b2-2,r<b2-2.由于b2-2>0,根据有理数的稠密性, 2b 知存在有理数r使得0<b2-2,又由一2b <b,推知r<b,对这样的r,满足 26 b-r>0,(b-r)2>2,这就证明了,在B中找到了比b更小的有理数b-r,所以B无 最小数。 可见,有理数的分划可以分为两类,第一类型是上类B有最小数,我们称这类分划为 有理分划;第二类型是上类B无最小数,我们称这类分划为无理分划。显然,任一有理分 划与其上类的最小有理数对应,反之任一有理数b,总可确定一有理分划 A={x|x<b,x∈Q} B={x|x≥b,x∈Q}。 这样,有理数可以与有理分划建立一一对应,我们就用无理分划来填充直线上的“孔隙”。 于是有如下定义。 定义2有理数的任一无理分划称为无理数。 为了一致起见,称有理数的任一有理分划为有理数。有理数和无理数统称为实数。 §3实数的性质 为了研究实数的性质,我们回顾有理数的一些熟知性质,如有理数是全序域,所谓全 序域,简单地说就是可以比较大小,而且在有理数中可以作加、减、乘、除四则运算。有理 数集是稠密的,即对任意有理数a、b(a<b),总存在有理数C,使得a<c<b。由稠密 性虽得不出有理数连续地分布在数轴上,但却是密密麻麻地分布在数轴上。另外,有理数满 足阿基米德原理,即对任意有理数b>a>0,必存在自然数n,使得na>b 31实数的运算 我们用x,y,2,…表示实数,即表示有理数的分划,用a,b,c,…表示有理数。用记号 R表示实数的集合,记号Q表示有理数的集合。为了书写方便,用A表示实数x的下类, B4表示实数x的上类,B表示B去掉最小数的集合 定义1设有实数x、y 1)若集合A=A,则称x=y 2)若集合A1≠A,AA,则称x小于y,或y大于x,记作x<y或y>x。 185
185 要使上式成立，只要2 2 2 br < b - ， b b r 2 2 2 - < 。由于 0 2 2 2 > - b b ，根据有理数的稠密性， 知存在有理数 r 使得 b b r 2 2 0 2 - < < ，又由 b b b < - 2 2 2 ，推知r < b ，对这样的r ，满足 b - r > 0 ，( ) 2 2 b - r > ，这就证明了，在B 中找到了比b 更小的有理数b - r ，所以 B 无 最小数。 可见，有理数的分划可以分为两类，第一类型是上类 B 有最小数，我们称这类分划为 有理分划；第二类型是上类 B 无最小数，我们称这类分划为无理分划。显然，任一有理分 划与其上类的最小有理数对应，反之任一有理数b ，总可确定一有理分划： A ={ x | x < b, xÎQ}； B = { x | x ³ b, x ÎQ}。 这样，有理数可以与有理分划建立一一对应，我们就用无理分划来填充直线上的“孔隙”。 于是有如下定义。 定义 2 有理数的任一无理分划称为无理数。 为了一致起见，称有理数的任一有理分划为有理数。有理数和无理数统称为实数。 §3 实数的性质 为了研究实数的性质，我们回顾有理数的一些熟知性质，如有理数是全序域，所谓全 序域，简单地说就是可以比较大小，而且在有理数中可以作加、减、乘、除四则运算。有理 数集是稠密的，即对任意有理数a 、b (a < b) ，总存在有理数c ，使得a < c < b。由稠密 性虽得不出有理数连续地分布在数轴上，但却是密密麻麻地分布在数轴上。另外，有理数满 足阿基米德原理，即对任意有理数b > a > 0，必存在自然数n ，使得na > b 。 3.1 实数的运算 我们用 x, y, z, L表示实数，即表示有理数的分划，用 a, b, c,L表示有理数。用记号 R 表示实数的集合，记号 Q 表示有理数的集合。为了书写方便，用 Ax 表示实数 x 的下类， Bx 表示实数 x 的上类， 0 Bx 表示 Bx 去掉最小数的集合。 定义 1 设有实数x 、 y ， 1） 若集合 Ax = Ay ，则称 x = y ； 2） 若集合 Ax ¹ Ay ， Ax Ì Ay ，则称x 小于 y ，或 y 大于 x ，记作 x < y 或 y > x
当x、y为有理分划时,这定义与把x、y看成有理数的相等和大小关系是一致的。 与有理数0对应的有理分划仍记为0,若x>0,称x为正实数:若x<0,称x为负 实数。 设实数x<y,由定义存在有理数q1,使q1∈A,q1A。再由A无最大数,所以 存在有理数q2,q3,使 q2<q3,q∈A,q1A1(=2,3) 有理数q2产生的有理分划记作二,容易看出x<<y,即实数集是稠密的。 为了定义加法,我们需要下面引理 引理1设x、y为实数,令A={1+a21a∈A2,a2∈A},B=Q-A。则(A|B) 是有理数的分划。 证明:A、B满足分划不漏的条件是显然的,集合A无最大元素也是明显的。只要 证满足分划的不空和不乱条件即可。 先证A、B不空。A不空是显然的,证B不空。因集合B,B,不空,b∈B b2∈B,只要证b1+b2∈B 假设不然,即b1+b2∈A,由A的定义,彐a1∈A1,a2∈A,使b+b2=a1+a 而由分划x、y不乱条件得a1<b,a2<b2,即得a1+a2<b1+b2°故矛盾,所以 b1+b2∈B 再证不乱。设a∈A,b∈B,要证a<b。 假设不然,a≥b,由A的定义,彐a1∈A1,a2∈A,使得a=a1+a2b,因此 a2≥b-a,由分划y的不乱,得b-a1∈A,于是b=a1+(b-a1)∈A,故矛盾。所以 因此(A|B)是有理数的分划 定义2在引理1条件下,称实数(A|B)为实数x与y的和,记作x+y 当x、y为有理分划时,和也为有理分划,且和的定义与把x、y看成有理数时和的 定义是一致的 由上看出,这种证明没有什么困难,所以,下面我们只叙述定义,而略去证明。 要定义减法只要定义负数即成 负数的定义给定实数x,令A={a|-a∈B},B=Q-A,则(A|B)是有理数 的分划,我们称(A|B)为实数x的负数,记作一x 186
186 当 x 、 y 为有理分划时，这定义与把 x 、 y 看成有理数的相等和大小关系是一致的。 与有理数 0 对应的有理分划仍记为0 ，若 x > 0，称 x 为正实数；若 x < 0，称 x 为负 实数。 设实数 x < y ，由定义存在有理数q1，使 Ay q1 Î ，q1 Ï Ax 。再由 Ay 无最大数，所以 存在有理数q2 ，q3 ，使 q1 < q2 < q3， i Ay q Î ， qi Ï Ax (i = 2, 3) 。 有理数q2 产生的有理分划记作 z ，容易看出 x < z < y ，即实数集是稠密的。 为了定义加法，我们需要下面引理。 引理 1 设x 、y 为实数，令 { | , } 1 2 1 x 2 Ay A = a + a a Î A a Î ，B = Q- A。则(A | B) 是有理数的分划。 证明： A 、 B 满足分划不漏的条件是显然的，集合 A 无最大元素也是明显的。只要 证满足分划的不空和不乱条件即可。 先证 A 、 B 不空。 A 不空是显然的，证 B 不空。 因集合 Bx ， By 不空，$b1 Î Bx ， By b2 Î ，只要证b1 + b2 Î B 。 假设不然，即b1 + b2 Î A，由 A 的定义，$a1 Î Ax ， Ay a2 Î ，使b1 + b2 = a1 + a2， 而由分划 x 、 y 不乱条件得 a1 < b1 ， a2 < b2 ，即得 a1 + a2 < b1 + b2 。故矛盾，所以 b1 + b2 Î B 。 再证不乱。设a Î A，bÎ B ，要证a < b。 假设不然， a ³ b，由 A 的定义， $a1 Î Ax ， Ay a2 Î ，使得 a = a1 + a2 ³ b ，因此 a2 ³ b - a1，由分划 y 的不乱，得 Ay b - a1 Î ，于是b = a1 + (b - a1 ) Î A，故矛盾。所以 a < b。 因此(A | B) 是有理数的分划。 定义 2 在引理 1 条件下，称实数(A | B) 为实数 x 与 y 的和，记作 x + y 。 当 x 、 y 为有理分划时，和也为有理分划，且和的定义与把 x 、 y 看成有理数时和的 定义是一致的。 由上看出，这种证明没有什么困难，所以，下面我们只叙述定义，而略去证明。 要定义减法只要定义负数即成。 负数的定义 给定实数x ，令 { | } 0 Bx A = a -aÎ ， B = Q- A，则(A | B) 是有理数 的分划，我们称(A | B) 为实数 x 的负数，记作- x