第一章函数 §1.初等函数 数学分析的研究对象是函数。初等数学中我们已经初步地接触到初等函数。首先我们 回顾一下初等函数,用严厉和好奇的目光,看一看定义上它们有什么不完善的地方,性质上 它们还有哪些深刻的东西尚不为认识,为了进一步认识这些性质,需要什么样的新工具 这里讲的初等函数基本上是最基本的初等函数,即常数函数,单项式函数,多项式函数,有 理函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,反三角函数,我们还将介绍双曲函数及 其反函数。 常数函数y=c对所有x,-∞<x<+∞.这里-∞,+∞分别表示负无穷大和正无 穷大。也就是说常数函数的定义域为整个实数轴。下面是y=1的函数图形,它是一条与 x轴平行的直线。如果y表示质点运动的速度,这函数表示匀速直线运动。那么从时刻x0 到时刻x1的路程S=c(x1-x)就是图中阴影部分的面积(见下图)。 单项式函数y=x2,k=1,2,3A,对所有x,-<x<+∞。下面是y=x,x2, x3,x4的图形
1 第 一 章 函 数 §1.1 初等函数 数学分析的研究对象是函数。 初等数学中我们已经初步地接触到初等函数。首先我们 回顾一下初等函数, 用严厉和好奇的目光, 看一看定义上它们有什么不完善的地方, 性质上 它们还有哪些深刻的东西尚不为认识, 为了进一步认识这些性质, 需要什么样的新工具。 这里讲的初等函数基本上是最基本的初等函数, 即常数函数, 单项式函数, 多项式函数, 有 理函数, 幂函数, 指数函数, 对数函数, 三角函数, 反三角函数, 我们还将介绍双曲函数及 其反函数。 常数函数 y = c 对所有 x ,- ¥ < x < +¥ . 这里- ¥ ,+ ¥ 分别表示负无穷大和正无 穷大。也就是说常数函数的定义域为整个实数轴。下面是 y = 1 的函数图形, 它是一条与 x 轴平行的直线。 如果 y 表示质点运动的速度, 这函数表示匀速直线运动。那么从时刻 0 x 到时刻 1 x 的路程 ( ) 1 0 S = c x - x 就是图中阴影部分的面积(见下图 )。 0 x0 x1 1 y=1 x y 单项式函数 y = x , k = 1,2,3,L k , 对所有 x ,- ¥ < x < +¥ 。下面是 y = x , 2 x , 3 x ， 4 x 的图形。 x y y=x y=x2 0 0 x y y=x3 0 x y y=x4
从图中我们可以看到y=x2,k=12,3,A,是关于y轴镜面对称的,这样的函数称为偶 函数。 定义实数轴上一个子集XcR称为关于原点对称的,如果对任意的x∈X,都有 定义函数y=f(x)定义在关于原点对称的子集X上,如果对于任意x∈X,有 f∫(x)=f(-x),则称之为偶函数 y=x24,k=12,3,A,是关于原点(0,0)中心对称的,这样的函数称为奇函数 定义函数y=f(x)定义在关于原点对称子集X上,如果对于任意x∈X,有 f∫(-x)=-f(x),则称之为奇函数 这里我们看到,对于单项式函数,奇偶性恰与它的次数的奇偶性相吻合 y y=2X 切线 如果y=2x表示质点运动速度,那么它是匀速直线运动,从时刻x=0到时刻x它走 过的路程是图中阴影三角形面积,等于x2,恰为二次单项式函数。函数y=x2表示了匀速 直线运动的路程,取x时刻函数图形对应点的斜率,表示该时刻质点的瞬时速度,它恰好为 2x。这两个函数之间关系是很深刻和重要的。一个是积分,一个是微分(或导数),构成微 积分的基本研究对象。 多项式函数y=anx”+an1x21+…+a1x+a0 (an≠0),它是有限个单项式函数的线性组合。 y y=a, X+a,yfa y=a2x2+a1x+a0(a2≠0) 给出所有抛物线。在多项式函数中最高次数n称为多项式 函数的次数。奇数次多项式至少有一个根 x,f(x0)=0。为什么?你能给出证明吗? 2
2 从图中我们可以看到 k y x 2 = ，k = 1,2,3,L , 是关于 y 轴镜面对称的，这样的函数称为偶 函数。 定义 实数轴上一个子集 X Ì R 称为关于原点对称的, 如果对任意的 x Î X , 都有 - x Î X 。 定义 函数 y = f (x) 定义在关于原点对称的子集 X 上, 如果对于任意 x Î X ,有 f (x) = f (-x) , 则称之为偶函数。 2 +1 = k y x , k = 1,2,3,L , 是关于原点(0,0)中心对称的, 这样的函数称为奇函数。 定义 函数 y = f (x) 定义在关于原点对称子集 X 上, 如果对于任意 x Î X , 有 f (-x) = - f (x) , 则称之为奇函数。 这里我们看到, 对于单项式函数, 奇偶性恰与它的次数的奇偶性相吻合。 如果 y = 2x 表示质点运动速度, 那么它是匀速直线运动, 从时刻 x = 0 到时刻 x 它走 过的路程是图中阴影三角形面积，等于 2 x ，恰为二次单项式函数。 函数 2 y = x 表示了匀速 直线运动的路程, 取 x 时刻函数图形对应点的斜率, 表示该时刻质点的瞬时速度, 它恰好为 2x 。 这两个函数之间关系是很深刻和重要的。一个是积分,一个是微分(或导数),构成微 积分的基本研究对象。 多项式函数 1 0 1 1 y a x a x ... a x a n n n = n + + + + - - ( an ¹ 0 )，它是有限个单项式函数的线性组合。 1 0 2 2 y = a x + a x + a ( a2 ¹ 0 ) 给出所有抛物线。在多项式函数中最高次数 n 称为多项式 函数的次数 。 奇数次多项式至少有一个根 0 x , f (x0 ) = 0。 为什么？ 你能给出证明吗？ 0 x y y=2x 0 x y y=x2 切线 y=a2 x 2+a1 x+a0 y 0 x
多项式函数有个重要代数性质:两个多项式函数之积仍为一多项式函数,再加上它的 加法运算,它构成一个环,是交换代数研究的对象。 有理函数y P)’P(x),Q(x)都是多项式函数,通常我们假定P(x)和Q(x) 没有非零次的公因式。由于零不能做分母,有理函数的定义域要在实数集中除去分母的零 有理函数的图形一般是比较复杂的,下面是y=x一的图形,想一想是怎样画出 来的。 2500 5000 有了计算机以后,现在很多数学软件,比如 Mathematica, Maple等,用它们画图是 很容易的。打开 Mathematica窗口,用如下命令就可画出上面图形 Plot ly=x2/(x-1)^3,{x,0,2}, Plotrange->{-7500,7500}] 然后同时按 Shift和 Enter键,就大功告成了 但是请君不要忘记,软件是人编的,数学理论和方法才是软件的灵魂! 幂函数y=x2,0<x<+∞,a≠0。如果α=1,2,3,…,它就是单项式函数的 半,这里我们研究一般的α≠0,它甚至可以是无理数。细想一下这个函数并不简单,比 如√2如何定义都很难说清楚,要等到第三册才能给出严格定义,其实√2本身的定 义也需建立实数理论以后才能说清楚。现在可以用进小数逼近来描述它:√2可被1,1,4, 41,1.414,任意逼近,π可被3,3.1,3.14,3.141,,,任意逼近,而13,1431 141314,141414是可以定义的,它们可以任意地逼近一个实数,我们把这个实数理解为 下面图中给出y=x,x2,x+,x四个幂函数的图形。(见下页)
3 多项式函数有个重要代数性质： 两个多项式函数之积仍为一多项式函数， 再加上它的 加法运算，它构成一个环，是交换代数研究的对象。 有理函数 ( ) ( ) P x Q x y = , P( x) ， Q(x) 都是多项式函数， 通常我们假定 P( x) 和Q(x) 没有非零次的公因式。由于零不能做分母，有理函数的定义域要在实数集中除去分母的零 点。 有理函数的图形一般是比较复杂的，下面是 3 2 ( -1) = x x y 的图形， 想一想是怎样画出 来的。 0.5 1 1.5 2 -7500 -5000 -2500 2500 5000 7500 有了计算机以后，现在很多数学软件， 比如 Mathematica，Maple 等，用它们画图是 很容易的。 打开 Mathematica 窗口，用如下命令就可画出上面图形 Plot[y=x^2/(x-1)^3,{x, 0,2},PlotRange->{-7500,7500}] 然后同时按 Shift 和 Enter 键, 就大功告成了。` 但是请君不要忘记，软件是人编的， 数学理论和方法才是软件的灵魂！ 幂函数 a y = x , 0 < x < +¥ ,a ¹ 0 。如果a = 1,2,3,..., 它就是单项式函数的一 半，这里我们研究一般的 a ¹ 0，它甚至可以是无理数。细想一下这个函数并不简单，比 如 p 2 如何定义都很难说清楚， 要等到第三册才能给出严格定义，其实 2 本身的定 义也需建立实数理论以后才能说清楚。 现在可以用进小数逼近来描述它： 2 可被 1,1.4, 1.41, 1.414,...任意逼近，p 可被 3, 3.1, 3.14, 3.141,...任意逼近，而 3 1 , 3.1 1.4 , 3.14 1.41 , 3.141 1.414 是可以定义的，它们可以任意地逼近一个实数，我们把这个实数理解为 p 2 。 下面图中给出 y = x , 2 x , 2 1 x , -1 x 四个幂函数的图形。（见下页）
y 0 它们的上升,下降,凸凹性质是很值得研究的。 当α>0时,y=x在[0,+∞)严格上升,a>1时凸函数(从下往上看,严格定义 以后再讲),0<a<1时凹函数。当a<0时,y=x在[0,+∞)严格下降 指数函数y=a(a>0,a≠1) y=a(a<1) a>1时在(-∞,+∞)严格上升。 a<1时在(-∞,+∞)严格下降。 引进一个无理数e=271828..,以后我们还要详细的研究。y=e是一个理论和实 用上都非常重要的函数。 对数函数y=lg。x,它与指数函数y=a2互为反函数,即如果(x,y)满足 y= log,x,则一定x=a”,所以y= log x的图形恰为y=a的图形沿对角线y=x 翻转180°。 logx=lgx称为常用对数,它在工程中比较常用。log。x=hx称为自然对数,e 称为自然对数的底,它在理论研究中常用。为什么称它“自然”对数,要待日后方知
4 它们的上升，下降，凸凹性质是很值得研究的。 当a > 0时， a y = x 在[0,+¥) 严格上升， a >1时凸函数 (从下往上看， 严格定义 以后再讲)，0 <a <1时凹函数。当 a < 0 时， a y = x 在[0,+¥) 严格下降。 指数函数 x y = a ( a > 0 , a ¹1). a >1 时在(-¥,+¥) 严格上升。 a <1 时在(-¥,+¥) 严格下降。 引进一个无理数 e = 2.71828..., 以后我们还要详细的研究。 x y = e 是一个理论和实 用上都非常重要的函数。 对数函数 y x a = log , 它与指数函数 x y = a 互为反函数 ，即如果 ( x, y) 满足 y x a = log , 则一定 y x = a ，所以 y x a = log 的图形恰为 x y = a 的图形沿对角线 y = x 翻转 o 180 。 log x lg x 10 = 称为常用对数，它在工程中比较常用。 x x e log = ln 称为自然对数， e 称为自然对数的底，它在理论研究中常用。 为什么称它“自然”对数，要待日后方知。 0 0 y=x2 y=x y=x1/2 y=x-1 y x y=ax y=a (a>1) x (a<1) y x
y=log x(a>l) 三角函数y=snx(-∞<x<+∞) y=tgx (x≠k+丌) y=ctgu y 周期2丌,奇函数 y=cosx周期2丌,偶函数 周期丌 周期丌 定义函数y=f(x)定义在(-∞,+∞)上,如果存在l>0,使得对x∈(-∞,+∞)
5 1 x y y = log x (a > 1) a y = log x (a < 1) a 三角函数 y = sin x （- ¥ < x < +¥ ） y = cos x （- ¥ < x < +¥ ） y = tgx （ p2 1 x ¹ k + ） y = ctgx ( x ¹ kp ) y = sin x 周期 2p ，奇函数 y = cos x 周期 2p ，偶函数 - y = tgx 周期 p y = ctgx 周期 p 定义 函数 y = f (x) 定义在 (-¥,+¥) 上，如果存在 l > 0，使得对 "x Î(-¥,+¥) , 0 0