平面常系数线性微分方程组的分类 由Jordan标准型理论知，存在实可逆矩阵P使得P-lAP为下 列Jordan标准型之一： (&)(1)(:)(&)(8) 其中入，4，B≠0.容易验证，通过变换 ()() 方程(1)可化为 ()=() 张样：上海交通大学数学系 第二十四讲、平卤常系数线性微分方程组的局高结构
²°~XÍÇ5á©êß|©a d Jordan IO.nÿ, 3¢å_› P ¶ P −1AP èe Jordan IO.Éòµ λ 0 0 µ ! , λ 0 1 λ ! , α −β β α ! , λ 0 0 0 ! , 0 0 1 0 ! , Ÿ• λ,µ,β 6= 0. N¥y, œLCÜ x y ! = P ξ η ! , êß (1) åzè d dt ξ η ! = P −1AP ξ η ! . ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õo˘!²°~XÍÇ5á©êß|¤‹(
局部结构分析 注：：由于线性变换只起到拉伸和旋转的作用，不失一般性，只讨 论当A具有上述标准型之一时方程(1)在奇点(0,0)邻域的性质 导引：什么是局部结构？如何分析？ 方程(1)的通解为 x=,y=, 其中c1,c2是任意常数.因而，方程组(1)的解可表示成 x=0, 或y=c, 其中c是任意常数. 张样：上海交通大学数学系 第二十四讲、平面常系数线性微分方程组的局寓结构
¤‹(©¤ 5µ duÇ5CÜêÂ.⁄^=ä^, ÿîòÑ5, ê? ÿ A ‰k˛„IO.Éòûêß (1) 3¤: (0,0) ç5ü ⁄: üo¥¤‹(ºX¤©¤º (I) A = λ 0 0 µ ! . êß (1) œ)è x = c1e λt , y = c2e µt , Ÿ• c1, c2 ¥?ø~Í. œ , êß| (1) )åL´§ x = 0, ½ y = c|x| µ λ , Ÿ• c ¥?ø~Í. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õo˘!²°~XÍÇ5á©êß|¤‹(
1)入=4.方程(1)的解为 x=0,或y=cx,其中c是任意常数， 方程组(1)的解在(0,0)的局部结构图如？？？？？ 此时(0,0)称为临界结点（双曲）： 2）元卡u,14>0. 元>1时，所有轨线（除x=0外）在原点处与x轴相切. 当元<1时，所有轨线（除y=0外）在原点处与y轴相切. 方程组(1)的解在(0,0)的局部结构图如？？？？？ 此时(0,0)称为两向结点，或简称为结点（双）： 。当入>0时，称为不稳定的结点 。当入<0时，称为稳定的结点 口间4二#主12刀双 张样：上海交通大学数学系 第二十四讲平面常系数线性微分方程组的局高结构
1) λ = µ. êß (1) )è x = 0, ½ y = cx, Ÿ• c ¥?ø~Í. êß| (1) )3 (0,0) ¤‹(„X?????? dû (0,0) °è.(: (V). 2) λ 6= µ, λ µ > 0. µ λ > 1 û, §k;Ç (ÿ x = 0 ) 3:?Ü x ¶ÉÉ. µ λ < 1 û, §k;Ç (ÿ y = 0 ) 3:?Ü y ¶ÉÉ. êß| (1) )3 (0,0) ¤‹(„X?????? dû (0,0) °è¸ï(:, ½{°è(: (V). λ > 0 û, °èÿ½(:. λ < 0 û, °è½(:. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õo˘!²°~XÍÇ5á©êß|¤‹(
3)入4<0.由于 lim c货=0，lim c发=∞， 所以方程组(1)的解在(0,0)的局部结构图如？？？？？ 此时(0,0)称为鞍点（双曲）： 口8+4二·生￥2)风 张样：上海交通大学数学系 第二十四讲、平面常系数线性微分方程组的局寓结构
3) λ µ < 0. du lim x→±∞ c|x| µ λ = 0, lim x→±0 c|x| µ λ = ∞, §±êß| (1) )3 (0,0) ¤‹(„X?????? dû (0,0) °èQ: (V). ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õo˘!²°~XÍÇ5á©êß|¤‹(