第一讲预备知识：线性代数基础 1 线性空间与内积空间 2 向量范数与矩阵范数 3 矩阵特征值 4 矩阵标准型 5几类特殊矩阵 现代数位分析（数位线性代数），潘建瑜 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan
第一讲 预备知识：线性代数基础 1 线性空间与内积空间 2 向量范数与矩阵范数 3 矩阵特征值 4 矩阵标准型 5 几类特殊矩阵 现代数值分析（数值线性代数）, 潘建瑜 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan
1 秦 线性空间与内积空间 ·数域，如：Q,R,C 。线性空间，如：R”,Cn,Rmxn ·线性相关与线性无关，秩，基，维数 ·线性子空间（简称子空间） ·张成子空间：span{x1,c2,,xk} ·像空间（值域，列空间）Ran(A),零空间（核）Ker(A) http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 2/28
1 线性空间与内积空间 • 数域, 如: Q, R, C • 线性空间, 如: R n , C n , R m×n • 线性相关与线性无关, 秩, 基, 维数 • 线性子空间 (简称子空间) • 张成子空间: span{x1, x2, . . . , xk} • 像空间 (值域, 列空间) Ran(A), 零空间 (核) Ker(A) http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 2/28
秦 2 向量范数与矩阵范数 向量范数 定义（向量范数）若孟数f:Cn→R满足 (1)f(x)≥0，Hx∈C”,等号当且仅当x=0时成立； (2)f(ax)=la·f(x,Hx∈C",a∈C 3)f(x+y）≤f(x)+f(y),x,y∈C”; 则称f(x)为Cm上的范数，通常记作‖·川 白相类似地，我们可以定义实数空间R”上的向量范数. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 3/28
2 向量范数与矩阵范数 向量范数 定义 (向量范数) 若函数 f : C n → R 满足 (1) f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ C n , 等号当且仅当 x = 0 时成立; (2) f(αx) = |α| · f(x), ∀ x ∈ C n , α ∈ C; (3) f(x + y) ≤ f(x) + f(y), ∀x, y ∈ C n ; 则称 f(x) 为 C n 上的范数, 通常记作 ∥ · ∥ ✍ 相类似地, 我们可以定义实数空间 R n 上的向量范数. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 3/28
秦 Cn和Rn中常见的向量范数 ·1-范数 x1=z+z2+…+zl ·2-范数 lx2=Vz12+22+…+zn2 ·o-范数： ∞=器 。p范数 1≤p<∞ 1 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 4/28
C n 和 R n 中常见的向量范数 • 1范数: ∥x∥1 = |x1| + |x2| + · · · + |xn| • 2范数: ∥x∥2 = p |x1| 2 + |x2| 2 + · · · + |xn| 2 • ∞范数: ∥x∥∞ = max 1≤i≤n |xi | • p范数: ∥x∥p = Xn i=1 |xi | p !1/p , 1 ≤ p < ∞ http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 4/28
秦 向量范数的等价性 定理C”空间上的所有向量范数都是等价的，特别地，有 lx2≤lz1≤√元lxl2 llzlloo≤lz2≤√元lxlo, llalloo≤lxl1≤n alloo. (证明留作练习) 任意有限维赋范线性空间上的所有范数都是等价的 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 5/28
向量范数的等价性 定理 C n 空间上的所有向量范数都是等价的, 特别地, 有 ∥x∥2 ≤ ∥x∥1 ≤ √ n ∥x∥2, ∥x∥∞ ≤ ∥x∥2 ≤ √ n ∥x∥∞, ∥x∥∞ ≤ ∥x∥1 ≤ n ∥x∥∞. (证明留作练习) ✍ 任意有限维赋范线性空间上的所有范数都是等价的 http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 5/28