三、保号性设 lim a,=a，对于任意两个实数 b,c，定理2.4n0b<a<c,则存在N,当n>N时,b<an<c证 取ε=min(a-b, c-a}>0,N,当n>N时,b≤a-<a,<a+s≤c, 故b<a,<c.0注若a>0(或a<0),我们可取b="(或c="22则a,>">0 (或a,<"<0)这也是为什么称该定理为保号性定理的原因后页返回前页
前页 后页 返回 三、保号性 定理 2.4 lim , n n a a → 设 = 对于任意两个实数 b, c , 证 取 = − − min{ , } 0, , , a b c a N n N 当 时 注 若 a 0 (或a 0), 我们可取 ( ) , 2 2 a a b c = = 或 0 ( 0 ) . 2 2 n n a a 则 a a 或 这也是为什么称该定理为保号性定理的原因. . n b a a a c − + n , 故 b a c , 则存在 N, 当 n > N 时, b a c. b a c n
0lim例1 证明WWn!n-→(1/)"=0， 所以由证对任意正数 ε，因为 limn!n-00定理2.4,3N>0,当 n>N时.(e)"<1, 即<8.n!Vn!0这就证明了limCnNn!n-00后页返回前页
前页 后页 返回 例1 证明 0. ! 1 lim = → n n n 证 对任意正数 , (1 ) lim 0 , ! n n n → 因为 = 所以由 (1 ) 1, ! n n 1 . ! n n 即 这就证明了 0. ! 1 lim = → n n n 定理 2.4, N n N 0, , 当 时
四、保不等式性定理2.5 设a,,1b, 均为收敛数列，如果存在正数N,,当n>N,时，有a,≤b,,则liman≤limbnn→0n-80a-b证 设 lima, =a, limb, =b. 若b<a,取s -2n00n8由保号性定理,存在N>N,当 n>N时a-ba+ba-b a+bb<b+a,>a2222故a,>b,,导致矛盾.所以 a≤b.后页返回前页
前页 后页 返回 四、保不等式性 定理 2.5 { }, { } n n 设 a b 均为收敛数列, 如果存在正 0 0 , , , 数N n N a b 当 时 有 n n lim lim . n n n n a b → → 则 证 lim , lim . n n n n a a b b → → 设 = = , , 2 a b b a − 若 = 取 , 2 2 a b a b an a + = − − , 2 2 a b a b bn b + = − + , n n 故 a b 导致矛盾. 所以 a b . 0 由保号性定理, , , 存在 N N n N 当 时
注若将定理2.5中的条件a,≤b,改为a,<b也只能得到lima≤limbn28n8这就是说，良即使条件是严格不等式，结论却不一定是严格不等式21，但m/-/m二=0例如，虽然Nn8nnon前页后页返回
前页 后页 返回 是严格不等式. 注 若将定理 2.5 中的条件 改为 , n n a b n n a b 这就是说, 即使条件是严格不等式, 结论却不一定 也只能得到 lim lim . n n n n a b → → 例如 , 虽然 1 2 , n n 但 1 2 lim lim 0 . n n → → n n = =
五、迫敛性（夫逼原理）定理 2.6 设数列(al,(b,都以 a为极限,数列(c,)满足：存在 N。,当 n>N,时,有 a,≤c,≤b,，则(c} 收敛,且 lim c,=a.证 对任意正数ε,因为 lim a,=limb,=a,所以分n8n-→0别存在 N,N,,使得当 n>N,时,a-ε<an;当n>N,时, b, <a+&. 取 N=max N,N,N, 1,当n>N时,a-<a,≤c,≤b,<a+.这就证得前页后页返回
前页 后页 返回 五、迫敛性 (夹逼原理) 定理 2.6 设数列 { },{ } n n a b 都以 a 为极限, { }n 数列 c {c } lim c a . n n n = → 收敛，且 证 对任意正数 → → = = n n n n ,因为 lim a limb a , 所以分 , , , 别存在 N1 N2 使得当 n N1 时 ; a − an 2 . n N b a n 当 时, + max{ }, 取 N = N0, N1, N2 n N a − a c b a + . 当 时， n n n 这就证得 满足: 存在 , , , 0 0 n n bn N 当 n N 时 有 a c 则