又一解法: (1-1g2) d(gn) 1g hg(+号)+C 例12 1+x 1+x 解 dh dx C Ⅰ-J =hl|1+x|-h1+x|+C。 所以1=-arcg ln|1+x|-h|1+x3|+C 2x-11 ln|1+x|+ln|1+x|+C。 2.第二换元法 flu(x)] u(x)dx= f(u) du (u=u(x) 已知Ⅱ求I,是第一换元法 已知I求Ⅱ,是第二换元法 定理2设x=x0)在开区间上导数>0或0,又如果nxO)x(=(+C, 则∫(x)d=o(x月+C,其中1=(x)为x=x0)的反函数 证已知G(t)=∫[x()]x(t),又x(t)≠0,所以x(1)连续,严格单调,因此反函数 112
112 C x tgx C 。 x x + = + + + = ln sec cos 1 sin ln 2 1 2 又一解法： ò ò - = - = cos (1 ) ( ) 2 cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x tg dx d I tg C 。 C tg tg tg d tg x x x x x = + + + - + = - = ò ln ( ) 1 1 ln (1 ) ( ) 2 2 4 2 2 2 2 2 p 例 12 ò ò + = + = 3 3 1 , 1 x xdx J x dx I 解 C 。 x arctg x dx x x dx dx x x I J + - = - + = - + = + + + = ò ò ò 3 2 1 3 2 1 1 ( ) 1 4 2 3 2 3 2 1 x x C 。 x x dx x dx dx x x I J = + - + + + - + = + - - = ò ò ò ln |1 | ln |1 | 1 1 1 1 3 3 1 3 2 3 所以 x x C 。 x I arctg + + - + + - = ln |1 | 6 1 ln |1 | 2 1 3 2 1 3 1 3 x x C 。 x J arctg - + + + + - = ln |1 | 6 1 ln |1 | 2 1 3 2 1 3 1 3 2．第二换元法 f [u(x)]× u¢(x)dx = f (u)du (u = u(x)) ò ò Ⅰ Ⅱ 已知Ⅱ求Ⅰ，是第一换元法； 已知Ⅰ求Ⅱ，是第二换元法。 定理 2 设x = x(t) 在开区间上导数> 0或<0，又如果 f x t x¢ t dt = G t + C ò [ ( )] ( ) ( ) ， 则 ò f (x)dx = G[t(x)] +C ，其中t = t( x) 为 x = x(t) 的反函数。 证 已知G¢(t) = f [x(t)]x¢(t) ，又 x¢(t) ¹ 0 ，所以 x(t) 连续，严格单调，因此反函数
=1(x)存在,也连续,严格单调,且(x) x14x)°于是 (G(x)=G[x)(x)=f(x)x(x)(x)=f(x), 所以[f(x)x=(r(x+C 第二换元法主要用来求含有√的积分。 例13I 解令x= asin t,| I=a cost dt=t+ 4 sn 2t+C +c 例14I > a 解令x= a sec t(0<1<号) I ln +c In=+ 又一解法:令x=acht,0<t<+∞,t=lnx+ =t+C=nx+√x2 注:上面是对x>a进行的,对于x<-a同样方法 x 例15I 解令x=ash 113
113 t = t( x) 存在，也连续，严格单调，且 [ ( )] 1 ( ) x t x t x ¢ ¢ = 。于是 (G[t(x)]) = G¢[t(x)]t¢(x) = f (x)x¢[t(x)]t¢(x) = f (x) ¢ ， 所以 ò f (x)dx = G[t(x)] +C 。 第二换元法主要用来求含有 的积分。 例 13 ò I = a - x dx 2 2 解 令x = asin t ， 2 p t < ，则 x a x C 。 a a x t C a t a I a t dt = + - + = = + + ò 2 2 2 2 2 2 2 2 1 arcsin 2 sin 2 2 4 cos 例 14 ò - = 2 2 x a dx I ( a > 0, x > a ) 解 令 sec (0 ) 2 p x = a t < t < x x a C 。 C a x a a x t tgt C t dt dt atgt a t tgt I = + - + + - = + = + + = × = ò ò 2 2 2 2 ln ln ln sec cos sec 又一解法： 令 x = a cht ，0 < t < +¥， 2 2 t =+- ln x x a ò = dt = t + C = x + x - a +C a sht a sht I 2 2 ln 。 注：上面是对 x > a 进行的，对于 x < -a 同样方法。 例 15 ò + = 2 2 x a dx I (a > 0) 解 令x = a sht
I=t+C=Arcsh-+C=hn(x+Vx2+a2+C 例161 +wx 解令x=t° 6t dt =6,d=m 21-3t2+6-6ln|1+l|+C 2x-3x+6x-6h|1+yx|+C §5.3分部积分法 定理设x),v(x)可导,若[u(x)(x)dx存在,则 )v(x)-v(x)u(x)dx 证由(y='v+uy’,我们有ny’=()-w',右端两项原函数存在,左端项原 函数也存在,且ax=lnv-|v'ax 注公式也常写成「udh=n-[vh 用分部积分法求不定积分之步骤:1.把被积函数拆成’,将v放入d后面成d,通 常v'=e+x,sinx,cosx,x",shx,chx等:2.用公式;3.把uv积出来,如积不出来,设 法建立函数方程来求解 例1 解令=hx,dh=x3dx=dx,即v Inx--x'dx=-x'hnx 16 例2I 解 I=xarctgx-lx darctgx=x arctgx- 1+ xarctgx-5In(1+x)+C 114
114 C (x x a ) C a x I = t + C = Arcsh + = + + + 2 2 ln 。 例 16 ò + = 3 x x dx I 解 令 6 x = t t t t t C dt t dt t t t t t t t dt I = - + - + + + = - + - + = + = ò ò ò 2 3 6 6ln |1 | ] 1 1 6 [ 1 1 6 6 3 2 2 3 3 2 5 = 2 x - 3 3 x + 6 6 x - 6 ln |1+ 6 x | +C 。 §5.3 分部积分法 定理 设u(x) ，v(x) 可导，若 ò u¢(x)v(x)dx 存在，则 ò ò u(x)v¢(x)dx = u(x)v(x) - v(x)u¢(x)dx 证 由(uv)¢ = u¢v + uv¢，我们有uv¢ = (uv)¢ - vu¢，右端两项原函数存在，左端项原 函数也存在，且 ò ò uv¢dx = uv - vu¢dx 。 注 公式也常写成 ò ò udv = uv - vdu 。 用分部积分法求不定积分之步骤：1．把被积函数拆成uv¢，将v¢放入 d 后面成dv ，通 常v e x x x shx chx x n ,sin , cos , , , ± ¢ = 等；2．用公式；3．把 u¢v 积出来，如积不出来，设 法建立函数方程来求解。 例 1 ò I = x ln xdx 3 解 令u = ln x ， 4 4 3 x dv = x dx = d ，即 4 4 x v = ，则 I = x x - x dx = x x - x + C ò 4 3 4 4 16 1 ln 4 1 4 1 ln 4 1 。 例 2 ò I = arctgxdx 解 x arctgx x C 。 x xdx I xarctgx x darctgx x arctgx = - + + + = - = - ò ò ln(1 ) 1 2 2 1 2
例3=「x2 sin xdx 解 I=-[x'd cos x=-x2cos.+cosxdx +2」xds xcoS x+ 2xsin x-2 sin xdx x cos x+2xsin x+2 cosx+C 例41=|√x2- 解 d√x2-1 x2-1 -ldx x2-1-mx+ 所以I x2-1|+C 又一解法:令x=ch I=sh'tdtrch2t -dt =-sh2t--t+C 例51=∫ ecos badr,J=je"snbt 解= e d sin bx= b J=-eadcos brs_l ar cos br+aI e“( acos bx+ bsin bx) +c a-+b (asin bx- cos bx) 例6Kn=[ cos"xdx 115
115 例 3 ò I = x sin xdx 2 解 x x x x x C 。 x x x x xdx x x xd x I x d x x x xdx = - + + + = - + - = - + = - = - + ò ò ò ò cos 2 sin 2cos cos 2 sin 2 sin cos 2 sin cos cos cos 2 2 2 2 2 2 例 4 ò I = x -1dx 2 解 x x x x I x dx x x x dx dx x x I x x xd x x x = - - + - - - = - - - - - = - - - = - - ò ò ò ò 1 ln 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 所以 I = x x - - ln x + x -1 + C 2 1 1 2 1 2 2 。 又一解法：令 x = cht ， x x x x C 。 dt sh t t C ch t I sh t dt = - - + - + = - + - = = ò ò ln 1 2 1 1 2 1 2 1 2 4 1 2 2 1 2 2 2 例 5 ò I = e bxdx ax cos ， ò J = e bxdx ax sin 解 J b a e bx b e d bx b I ax ax = = - ò sin 1 sin 1 I b a e bx b e d bx b J ax ax = - = - + ò cos 1 cos 1 ïî ï í ì - = + = aI bJ e bx bI aJ e bx ax ax cos sin C ， a b e a bx b bx I ax + + + = 2 2 ( cos sin ) C。 a b e a bx b bx J ax + + - = 2 2 ( sin cos ) 例 6 ò K = xdx n n cos