第五章微分中值定理及应用 §1微分中值定理 1.证明:(1)方程x3-3x+c=0(c是常数)在区间[0,1内不可能 有两个不同的实根; (2)方程xn+px+q=0(n为正整数,p,q为实数)当n为偶数时至多 有两个实根;当n为奇数时至多有三个实根 2.设f(x)=rn(1-x)n,m,n为正整数,x∈[0,1,则存在∈(0,1),使 3.应用拉格朗日中值定理证明下列不等式 (1)|sinx-siny≤|r-yl,x,y∈(-∞,+∞); (2)|x≤|tanr,x∈(-2,),等号成立当且仅当x=0; (3)ex>1+x,x≠0; (4)y二x<ln (5)1+r arctan<xr >0 4.设函数在点a具有连续的二阶导数,证明 lmfa+b)+/-b)=210=r" 5.设limf"(x)=a,求证:任意T>0,有 lim +T 6.函数f(x)在{a,b可导,其中a>0,证明:存在∈(a,b),使得 2f(b)-f(a]=(b2-a2)f()
第五章 微分中值定理及应用 §1 微分中值定理 1．证明：（1）方程x 3 − 3x + c = 0（c是常数）在区间[0, 1] 内不可能 有两个不同的实根； （2）方程x n + px + q = 0（n为正整数，p, q为实数）当n为偶数时至多 有两个实根；当n为奇数时至多有三个实根。 2．设f(x) = x m(1−x) n , m, n为正整数，x ∈ [0, 1]，则存在ξ ∈ (0, 1)，使 m n = ξ 1 − ξ 3．应用拉格朗日中值定理证明下列不等式： （1）|sin x − sin y| 6 |x − y|, x, y ∈ (−∞, +∞); （2）|x| 6 |tan x|, x ∈ (− π 2 , π 2 ), 等号成立当且仅当x = 0； （3）e x > 1 + x, x 6= 0; （4）y−x y < ln y x < y−x x ,) < x < y; （5） x 1+x2 < arctan x < x, x > 0. 4．设函数在点a具有连续的二阶导数，证明 lim h→0 f(a + h) + f(a − h) − 2f(h) h 2 = f 00(a). 5．设 lim x→+∞ f 0 (x) = a ，求证：任意T > 0 ，有 lim x→+∞ [f(x + T) − f(x)] = T a 6. 函数f(x)在[a, b]可导，其中a > 0 ，证明：存在ξ ∈ (a, b) ，使得 2ξ[f(b) − f(a)] = (b 2 − a 2 )f 0 (ξ). 1
7.设f(x)在(a,+∞)上可导,且imf(x)=limf(x)=A,求证:存 在(a,+∞),使f(5)=0 8.设f(x)可导,求证:f(x)在两零点之间一定有f(x)+f(x)的零点 9.设函数f(x)在r0附近连续,除x点外可导,且limf"(x)=A, 求证:f(x)存在,且f(x)=A 10.若f(x)在(a,b)可导,且f(a)≠f(b),k为介于f(a)和f(b)之间 的任一实数,则至少存在一点∈(a,b),使f(5)=k 11.设函数f(x)在(a,b)内可导,且f(x)单调,证明f(x)在(a,b)连 续 12.若函数f(x),g(x)和h(x)在{a,b连续,在(a,b)可导,证明存在 (a,b),使得 f(a)ga h(a) f(b)9(b)h(b)=0 f(5)g(5)h() 再从这个结果导出拉朗日中值定理和柯西中值定理。 13.设f(x)在(∞,+∞)连续,且im=+∞,证明:f(x)在(∞,+∞) 上取到它的最小值 14.设f(x)在{a,b)连续,limf(x)=B (1)若存在r∈{a,b),使f(x1)>B,则f(x)在a,b)上达到最大值 (2)如果存在r∈a,b),使f(x1)=B,能否断言f(x)在{a,b)上达到 最大值? 15.设f(x)在[a,+∞)有界,f"(x)存在,且imf(a)=b求证b=0 16.求证: arctan c+ arccos T=2(≤1)
7．设f(x)在(a, +∞) 上可导，且 lim x→a+ f(x) = lim x→+∞ f(x) = A , 求证：存 在ξ(a, +∞) ，使f 0 (ξ) = 0 。 8．设f(x)可导，求证：f(x) 在两零点之间一定有f(x) + f 0 (x) 的零点. 9．设函数f(x) 在x0 附近连续，除x0 点外可导，且 limx→x0 f 0 (x) = A ， 求证：f 0 (x) 存在，且f 0 (x) = A . 10．若f(x) 在(a, b) 可导，且f 0 (a) 6= f 0 (b) ，k 为介于f 0 (a) 和f 0 (b) 之间 的任一实数，则至少存在一点ξ ∈ (a, b) ，使f 0 (ξ) = k . 11．设函数f(x) 在(a, b) 内可导，且f 0 (x) 单调，证明f 0 (x) 在(a, b) 连 续. 12．若函数f(x), g(x) 和h(x) 在[a, b] 连续，在(a, b) 可导，证明存在ξ ∈ (a, b) ，使得 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ f(a) g(a) h(a) f(b) g(b) h(b) f 0 (ξ) g 0 (ξ) h 0 (ξ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 0 再从这个结果导出拉朗日中值定理和柯西中值定理。 13．设f(x) 在(∞, +∞) 连续，且 lim x→±∞ = +∞ ，证明：f(x) 在(∞, +∞) 上取到它的最小值. 14．设f(x) 在[a, b) 连续， lim x→b− f(x) = B . （1）若存在x ∈ [a, b) ，使f(x1) > B ，则f(x) 在[a, b) 上达到最大值； （2）如果存在x ∈ [a, b) ，使f(x1) = B ，能否断言f(x) 在[a, b) 上达到 最大值？ 15．设f(x) 在[a, +∞) 有界，f 0 (x) 存在，且 lim x→+∞ f 0 (x) = b .求证b = 0 . 16．求证：arctan x + arccos x = π 2 (|x| 6 1) . 2
2微分中值定理及其应用 求下列待定型的极限 (1)lim如m (2) lim sinr (3)lim (4) lim tanr-z a-0 -sin r (5)im(1 ); (6)x-0 mn是= (7) m-); (9) lim(T-r)tan 5 (10)lim (11)limc(a,b>0) x→+∞ (12)lim arctan ar x→+ (13) lim n7(b, c>0) (14)lim2(.c>0) (15) lim l-2sing (16)lit 3
§2 微分中值定理及其应用 1．求下列待定型的极限： （1）lim x→0 tan ax sin bx ; （2）lim x→0 1−cos x 2 x3 sin x ; （3）lim x→0 ln(1+x)−x cos x−1 ; （4）lim x→0 tan x−x x−sin x ; （5）lim x→0 ( 1 x − 1 e x−1 ); （6）lim x→0 ln cos ax ln sin bx ; （7） lim x→π 2 tan x−6 sec x+5 ; （8）lim x→1 ( 1 ln x − 1 x−1 ); （9）limx→π (π − x) tan x 2 ; （10）lim x→1 x 1 1−x ; （11） lim x→+∞ x b e ax (a, b > 0); （12） lim x→+∞ π 2 −arctan x sin 1 x ; （13） lim x→+∞ lnc x xb (b, c > 0); （14） lim x→0+ lnc x xb (b, c > 0); （15） lim x→π 6 1−2 sin x cos 3x ; （16） lim x→0+ ln x cot x ; （17）lim x→0 (1+x) 1 x −e x ; 3
(18) lin (19)lim(ln)2; (20)im(nx) (21)lim( (22) lim sin r In x 2.对函数f(x)在0,习上应用拉格朗日中值定理有 f(x)-f(0)=f(6ax)x,b∈(0,1) 试证对下列函数有lm=l (1)f(x)=ln(1+x); 设f(x)二阶可导,求证 lim f(a+ 2h)-2f(a+h)+f=f() 4.下列函数不能用洛必达法则求极限 Im二m; (2) lim I+sine (3)1ima2+ (4)lim 1) +Sin §3函数的升降、凸性和函数作图 1.应用函数的单调性证明下列不等式:
（18） lim x→0+ x sin x ; （19） lim x→0+ (ln 1 x ) x ; （20）lim x→0 ( tan x x ) 1 x2 ; （21）lim x→0 ( 1 x2 − 1 sin2 x ); （22） lim x→0+ sin x ln x. 2．对函数f(x) 在[0, x] 上应用拉格朗日中值定理有 f(x) − f(0) = f 0 (θx)x, θ ∈ (0, 1). 试证对下列函数有 lim x→0+ θ = 1 2 ： （1）f(x) = ln(1 + x); （2）f(x) = e x . 3．设f(x) 二阶可导，求证： lim h→0 f(x + 2h) − 2f(x + h) + f(x) h 2 = f 00(x). 4．下列函数不能用洛必达法则求极限： （1）lim x→0 x 2 sin 1 x sin x ; （2） limx→∞ x+sin x x−cos x ; （3） limx→∞ 2x+sin 2x (2x+sin x)e sin x ; （4）lim x→1 (x 2−1) sin x ln(1+sin π 2 x) . §3 函数的升降、凸性和函数作图 1．应用函数的单调性证明下列不等式： 4
(1)<sinx<x,x∈ 2 (0,); (2)a< sin r a x<0: (3)x-<mn(1+x)<x,x>0 (4) tanz >x (0 (5)2v>3-1,x<0 2.确定下列函数的单调区间: (2)y=√2x- (3)y=2x2-lnx; (5) (6)y=xe-x; 3.求下列函数的极值: (1)y=x-ln(1+x) (2)y=;x+; 4+5x (5) (6)y=arctan r-2In(1+r
（1）2 π x < sin x < x, x ∈ (0, π 2 ); （2）x < sin x < x − x 3 6 , x < 0; （3）x − x 2 2 < ln(1 + x) < x, x > 0; （4）tan x > x + x 3 3 , x ∈ (0, π 2 ); （5）2 √ x > 3 − 1 x , x < 0. 2．确定下列函数的单调区间： （1）y = x 3 − 6x; （2）y = √ 2x − x 2; （3）y = 2x 2 − ln x; （4）y = x 2−1 x ; （5）y = 2x 2 − sin x; （6）y = x n e −x ; 3．求下列函数的极值： （1）y = x − ln(1 + x); （2）y =; x + 1 x ; （3）y = √ 1+3x 4+5x2 ; （4）y = (ln x) 2 x ; （5）y = 2x 3 − x 4 ; （6）y = arctan x − 1 2 ln(1 + x x ); 5