a1-入 21 22 入 =0 a a n 12 nn 上式是以λ为未知数的一元n次方程,称为方阵A的 特征方程。其左边是的n次多项式,记作f() 称为A的特征多项式。显然,A的特征值就是特征 方程的根或特征多项式的零点。这个n次的特征方 程在计算根的重数时应共有n个实根或复根。因 此,n阶矩阵有n个特征值
即 上式是以为未知数的一元n次方程,称为方阵A的 特征方程。其左边是 的n次多项式，记作f ()， 称为A的特征多项式。显然，A的特征值就是特征 方程的根或特征多项式的零点。这个n次的特征方 程在计算根的重数时应共有n个实根或复根。因 此,n阶矩阵有n个特征值。 0 a a a a a a a a a n1 n2 n n 2 1 2 2 2n 1 1 1 2 1n = − − −
读者注意:(1)式也可改写成(AE一A)x=0,从 而(3)式变成|AE-A|=0, 12 a n a 21 入 22 n 0 n 2 入 nn 即有些教材把上式定义为方阵A的特征方程,其左边 是的n次首一多项式,亦记作f(),并称为A的特 征多项式。事实上,为叙述的方便,在本章的最后 一节中,作者采用的就是这种定义
读者注意：（1）式也可改写成（E－A）x＝0，从 而（3）式变成| E −A | = 0， 即有些教材把上式定义为方阵A的特征方程，其左边 是 的n次首一多项式，亦记作f ()，并称为A的特 征多项式。事实上，为叙述的方便，在本章的最后 一节中，作者采用的就是这种定义。 0 a a a a a a a a a n1 n2 n n 2 1 2 2 2n 1 1 1 2 1n = − − − − − − − − −
设n阶矩阵A=(a的特征值为12,n,由多项式 根与系数之间的关系可得: 1.1+入2+∴+n=a11+a22+…+ann 2.12.An=|A 由(2)知,方阵A可逆的充要条件是A有n个非零的特征 值 设λ=λi是方阵A的一个特征值,则由方程 (A-)x=0 可求得非零解x=Pi,那么P就是A的对应于特征值A 的特征向量。 (注意:若为λ是实数,则Pi可取实向量;若丸为复 数,则Pi为复向量。)
设n阶矩阵A=(aij)的特征值为1,2,…,n，由多项式 根与系数之间的关系可得： 1. 1 + 2 + … + n = a11 + a22 + … + ann 2. 12…n = |A| 由(2)知，方阵A可逆的充要条件是A有n个非零的特征 值。 设=i是方阵A的一个特征值，则由方程 ( A − iE ) x = 0 可求得非零解x = Pi，那么Pi就是A的对应于特征值I 的特征向量。 （注意：若为i是实数，则Pi可取实向量；若i为复 数，则Pi为复向量。）
例2求 A 的特征值和特征向量。 解A的特征多项式为 A-入E (3-)2-1=(4-^)(2-) 所以A的特征值为λ1=4,λ2=2。 当λ1=2时,由(A-1E)x=0,即 3-2 XI 3-2×2 00
例2 求 的特征值和特征向量。 解 A的特征多项式为 所以A的特征值为1=4，2=2。 当1=2时，由( A − 1E ) x = 0，即 − − = 1 3 3 1 A (3 ) 1 (4 )(2 ) 1 3 3 1 A E = − 2 − = − − − − − − − = = − − − − 0 0 x x 1 3 2 3 2 1 2 1