2.初等函数求导数或微分 (1)熟记基本初等函数求导公式，四则运算求导 例1213-3-1已知两条曲线y=f(x)与 法则，复合函数求导公式 (2)会利用恒等变形简化运算，如对数函数 y=“edt在点(0，)处的切线相同，写出此 h(g（田=-almJ(+bing(x)-cnA) 切线方程，并求极限月 h(x) 及幂指函数 f(y)）=e86r)mfe) 例1308-4设函数f(x)可导，且f(x)≠0，证 明曲线y=f()与曲线y=f(x)sinx在它们的 (3)会处理抽象函数 (4)对计算结果进行化简。 交点处相切. 5.高阶导数 例312-1-4y=n(x+1+),则y= (sinx)()=sin (e)= 例415-1-1y=x5+5-tan(x2+1),求y. 例5( 1(,>0,滚 (e)w=0 例610-1-5f(Nx)=sinx,则f'f(x)= (目-(er-4m =(-1):x*1 例717-3-1设对任意的xe(-0,+∞)，都有 fx)+2f1-x)=x2-2x,求f'(x). 要学会总结规律而不仅仅是记公式！ 五、中值定理及导数的应用 3.隐函数求导，参数方程确定的函数求导 1.函数单调性的判别和极值的求法 例815-1-3设si血y+e*-g2=0,则 (1)确定定义域： dx (2)求∫'()，得到∫"(x)不存在的点（即不可 导点，奇点)； 例912-3-1设y=()由方程e5+6y+x2-1=0 （3)令∫"(x)=0,解出方程的根（即驻点，使导数 为零的点)； 所确定，求y“(0 (4)驻点和奇点把()的定义域分成若千个区间， 判断每个开区间上∫'(x)的符号，确定函数在对应 例10设"()存在且不为零，求由参数方程 闭区间上的单调性，判定极值点和极值 x=f'(0, 注意(1)在定义域内讨论： y=f'()-f(t) 所确定的函数的二阶导数 d (2)单调区间端点看具体情况： 4.导数的几何意义 判定极值点的第二充分条件 函数y=f()在点七处的导数∫'(x)在几何上表 设函数f(x)在点七。处具有二阶导数且∫()=0， 示曲线y=f(x)在点M(o,∫(x)处的切线斜率 "(七)≠0，那么 明1114曲线-牛8过原点的切线为 （1)当∫"(x)<0时，函数f()在处取得极 大值： (2)当了"(x)>0时，函数(x)在处取得极 小值
例115-2-1设f(x)=x3+a2+r在x=1处取 2.利用单调性证明不等式，证明根的唯一性 得极小值-2，求a,b. 注意单调区间的端点一般是驻点或奇点（导数等 例211-2-1若y=f(x)满足y"+y-e血x=0, 于零或者不存在)，而判断函数单调性要根据导数 且'(x)=0,则fx) 【】 大于零还是小于零（不能包括等于零或者不存在）， 所以必须在开区间内讨论导函数的符号. (A)在x,的某个邻域内单调增加 (B)在七，的某个邻域内单调减少 注意因为利用单调性证明不等式需要将区间内部 的点与区间端点的函数值相比较，所以讨论单调性 (C)在七，处取得极小值 时一定要包括区间端点，即在闭区间讨论函数单调 (D)在处取得极大值 性 例811-2-2若3a2-5b<0,则方程 例阳08-5函数10约-”4在区同 x°+2ar3+3bx+4c=0 【-1,山上的最大值为 (A)无实根 (B)有唯一实根 (C)有三个不同实根(D)有五个不同实根 例416-3-2设二阶可导函数y=∫(x9)由方程 例909-6k为何值时，方程x-nx+k=0 2y3-2y2+2灯-x2=1所确定，求函数y=() 1.有两个相异实根：2.有唯一实根：3.无实根 的极值 例507-19数列{列}的最大项为 例101434设当x>0时，方程：+是=1有 且仅有一个实根，试求k的取值范用. 例60910一条水渠的横断面为等腰梯形（如 3.曲线的凹凸与拐点 图所示)，若渠中水流的横断面积为S,水面 定义设f(9在区间1上连续，如果对I上任意两 高度为h,问如何选取渠边的倾角0，才能使横 点，，恒有 断面被水浸湿的周长最小？ <f)+f(s) 2 2 (即连接任意两点的弦总位于这两点间的弧段的上 方)则称f(x)在I上的图形是向上凹的. 例7已知函数f()二阶导数连续，且f(0=0, 定义设∫(x)在区间I上连续，如果对1上任意两 imxf(x=-2,则f(0=0 【】 点，，恒有 > f(s)+f() A.是函数f(x)的极小值 2 B.是函数∫(x)的极大值 (即连接任意两点的弦总位于这两点间的弧段的下 方)则称(x)在I上的图形是向上凸的 C.不是函数∫(x)的极值 D,不一定是函数f(x)的极值
六、不定积分 定理设f()在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶 1.不定积分概念 和二阶导数，那么 若F'(x)=f(x),则称F(x)是f(x)的一个原函 (1)若在(a,b)内f"(x)>0,则f(x)在[a,上 数，∫f(x)x=F(x)+C为函数f()的不定积分 的图形是凹的： 例112-1-3已知[f(x)dr=e+C, (2)若在(a,b)内f"(x)<0,则f()在[a,b上 则(x=一 的图形是凸的： 2.第一类换元法（凑微分法） 例11设在区间[a,b上f(x)>0,∫'(x)<0, dx=d(ax+) 1 a sin? -dx=csc*xdx =-d(cot x) f"(x)<0,令S=f(a)(b-a), 1 s-生- r=2aar9） cossecx-d(tan) 1 1 dx=2d(Vx) 1 s,-HIf@a+f@-a), cs-(+cos2x) 1ax=d(mlxD 则【】A.S<S<S B.S:<S1<S3 -) 1 C.S3<S:<S1 D.S3<S<S2 例12设函数y=∫()具有二阶导数，且f(x)>0, 0 ∫“(x)<0,为自变量x在点七处的增量，4y与 例3 设f)=e,求∫f0ar d分别为f(x)在点x处的增量与微分，若r>0, 例407-4设函数f(四在(-0，+∞)内可导，且 则【】 f0=0,又f'm)= 1,0<x≤1，求f四 A.dy<4<0 B.0<4<d ,x>1, 在(-o,+o)内的表达式. C.4<dy<0 D.0<d<4y 练习161-1设f(sinx)=cos°x,求f(x). 3.第二类换元法 例1312-22设f(x)有二阶连续的导数，且 被积函数中含有Va-x时，令x=asint,则 0-,1.则 √a-x=acost,dx=acostdt,被积函数转化为 (A)f(O)不是f(x)的极值，(O,f(O)不是曲线 三角函数.需要注意不定积分完成后要利用x=asint y=(x)的拐点 的反函数将t换回x,可设1为直角三角形的一个 锐角，如图： (B)f(O)是f(x)的极小值 由smt=设角t的对边为x, (C)(0,f(O)是曲线y=f(x)的拐点 a 斜边为a,则邻边为√a2-x, (D)f(O)是f()的极大值 角t的三角函数表达式都可得出
5.有理函数积分 类似地， 当被积函数中含有Vx+a时，令x=atant, 首先将假分式化为多项式和真分式之和，例如： x 1 当被积函数中含有√x2-a时，令x=asect. +1+x 然后将真分式的分母分解因式，进而将真分式分 x+v1-x 解为部分分式之和，例如： 1 AB C 例6∫xv1+xar xD)xx1x+1 1 A B Cx+D xa+x巧x++x+1 除了上述三角代换，还可以根据被积函数的情况 x-2 采取其他代换，例如： x2-3x+1+x-3 例7 dx 当被积函数的分母是二次质因式（实数域内不能分 解)时，先拿分子凑分母的导数： 例8 , (2x-2) 1 dx x2-2x+3 当被积函数分母次数高于分子二次以上时，可使 其中片 1rd(x2-2x+3) 用倒代换x片 2x2-2x+3 dx d(x-1) 例 J(x-1)2+(N2 4.分部积分法 除了由基本初等函数的求导公式推出的基本积分表， ∫uwv'dr=jadv=uv-Jdu=w-∫v'dr 以下积分公式也要熟记： 一般地，我们应该选择“反对幂三指”中前面的函 ftanxdx=-In|cosx+C 数作为)，余下的部分作为'(x),将v'dx ∫cot xdx=Inlsin+C 转化为[vm'dx. [secxdx =In |seex+tanx|+C esadx-mlacx-c0tx1+Cta+C 例1014-1H1已知f(田)的一个原函数是s血x t, a a 求∫yf(x)dr 。六 +C 例1110-3-2设f0m9=n1+9,计算rxax. 例12095 jex+v++c c
七、积分上限的函数 3.导数的应用 定理如果函数∫()在区间[a,b上连续，则积分上 例310-2-2设f()在【a,上连续，且f(9>0, 限的函数 )-∫f0a 在[a,b)上具有导数，并且它的导数是 则方程广70a+和=0在a创内有几个实 ()=f(x)(a≤x≤b) 根？ 推论当积分上下限是x的函数时，看做中间变量 例410-3-3设∫(x)满足 (o =f[B(x)1B(x) fu-w=￡ +e3-1, ra =f[B(x)IB(x)-f[ax)la(x) 求∫(9的极值与渐近线。 积分6f(知)也是x的函数，可以令u=过， 则ar=aa, 由定积分的换元法， ①若mfx)=o,则x=为)=f(的铅直渐近线： roau-2rwau-foau. ②若im∫(x)=A,则=A为y=∫()的水平渐近线： ③若y=c+b为y-()的斜渐近线，则 对积分rx-，令=x-1即1=x-u, limf(y-(+b刎=0， 则dt=du,由定积分的换元法， S(x-t)ar=5(x-f((-1)du 从而k=m四，b=婴了-创. =i(-f(01au=xfodu-j)g(oa. 八、定积分的计算 1.积分上限的函数求导 1.利用对称性，几何意义及公式计算定积分 0, ∫rac= f(-x)=-f(x 例115-5设函数f(x)连续，且 2f(xax,(-x)-f(x). ax-nat-arcta 意利用双对称性简化定积分运算，必须同时满 已知f四=1，求fxax的值. 足 (1)积分区间关于原点对称， (2)被积函数是奇函数（图形关于原点对称）， 或者被积函数是偶函数（图形关于y轴对称）· 定积分几何意义：对应图形面积的代数和， 2.洛必达法则求极限 (sin xs (rat, 例215-4设F(x) 0, x=0,其中 f(l.x)x=-2f月f(inx)dx In(1+x) x<0 月rin9ar-j月f0os9r 连续，且g八四-2，求F0 月sin'xdr n为奇数 x =fcos'xdx=n-1.n-3. (2. 3 n n-2 52n为偶数 1π