第四节 第十二章 一弥线性微分方程 一、一阶线性微分方程 *二、伯努利方程 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一阶线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四节 一、一阶线性微分方程 *二、伯努利方程 第十二章
一、一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式： +P(x)y=Q(x) dx 若Qx)≡0，称为齐次方程； 若Qx)丰0，称为非齐次方程 1.解齐次方程 +P@x)y=0 dx 分离变量 dy=-P(x)dx y 两边积分得 Iny=-∫P(x)dx+lnC 故通解为 y=Ce∫P(xdx HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式: ( ) ( ) d d P x y Q x x y + = 若 Q(x) 0, ( ) 0 d d + P x y = x y 若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 . 1. 解齐次方程 分离变量 两边积分得 ln y = − P(x)dx + ln C 故通解为 P x x y C e − ( )d = 称为齐次方程 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.解非齐次方程 +P(x)y=O(x) dx 用常数变易法作变换(x)=x)e∫P(x)dx,则 ueJPax-Pxmefax+Pefra=g(x) du 即 =Q(x)eP(dx 两端积分得 =J()Pdx+C 故原方程的逼解y=ePa[e(cx)ePdx+C 即 y-Ce+eQ)edx 齐次方程通解 非齐次方程特解 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 上页下页返回结束
对应齐次方程通解 P x x y Ce − ( )d = 齐次方程通解 非齐次方程特解 − P x x Ce ( )d 2. 解非齐次方程 ( ) ( ) d d P x y Q x x y + = 用常数变易法: ( ) ( ) , − ( )d = P x x y x u x e 则 − P x x u e ( )d + P(x) − P x x u e ( )d = Q(x) 故原方程的通解 e Q x e x P x x P x x ( ) d ( )d ( )d − + = + − y e Q x e x C P x x P x x ( ) d ( )d ( )d 即 y = 即 作变换 − − P x x P x u e ( )d ( ) u Q x e x C P x x = + ( ) d ( )d 两端积分得 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.解方程 d-2y=x+1)2 dx x+l 解：先解 业-2义=0，即y-2 dx x+1 y x+l 积分得1my=21nx+1+lnC,即y=C(x+1)2 用常数变易法求特解令y=u(x)(x+1)},则 y=4'(x+1)2+2u-(x+1) 代入非济次方程得W'=(x+1)为 解得 =++C 故原方程通解为=e++C HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 解方程 解: 先解 0 , 1 2 d d = + − x y x y 即 1 d 2d + = x x y y 积分得 即 2 y = C(x +1) 用常数变易法求特解. 令 ( ) ( 1) , 2 y = u x x + 则 ( 1) 2 ( 1) 2 y = u x + + u x + 代入非齐次方程得 解得 u = x + 2 + C 3 ( 1) 3 2 故原方程通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
dy_ 例2.解方程 dx x+y 法一 解：先变形 号*再按一阶线性方程求解。 法二 令x+y=u则 y=u-x dy _du-1 dx dx 1 du u+l 代入原方程得 1 du dx u'dx 分离变量，再积分 u-In+1=x+C y-x+y-1=C HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例2. 解方程 解: 先变形 d , d x x y y = + 再按一阶线性方程求解。 令 xyu + = 则 , 1 dy du y u x dx dx = − = − 代入原方程得 分离变量， 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 法一 法二 1 1 1 , du du u dx u dx u + − = = 1 du dx u u = 再积分 +