第之节 第十二章 可降阶高阶微分方程 一、ym=f(x)型的微分方程 二、y”=f(x,y')型的微分方程 三、y”=f(y,y)型的微分方程 HIGH EDUCATION PRESS 下页返回结束
可降阶高阶微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第六节 一、 型的微分方程 二、 型的微分方程 三、 型的微分方程 第十二章
一、ym=f(x)型的微分方程 令：=ym-,则=y0=fx),因此 dx z=∫f(x)dx+C 即 y-D =[f(x)dx+C 同理可得 y2)=[[ff(x)dx+C ]dx+C2 [[ff(x)dx ]dx +Cx+C2 依次通过n次积分，可得含n个任意常数的通解 HIGH EDUCATION PRESS e0C8 机动目录上页下页返回结束
一、 ( ) ( ) y f x n = 令 , ( −1) = n z y 因此 1 z = f (x)dx + C 即 同理可得 2 ( 2) y dx C n = + − dx = 依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 . 1 C2 + C x + 型的微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.求解y”=e2x-cosx 解：y”=j(e2x-cosx)dx+Ci =e-sinx+C y'=e2x +cosx +Cix+C2 y= e+sinx+C+Cxx+C (此处G-C) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 解: ( ) 1 2 y e cos x d x C x = − + 1 2 sin 2 1 e x C x = − + x y e 2 4 1 = x y e 2 8 1 = + sin x 2 1 + C x 2 C3 + C x + + cos x 1 C2 + C x + 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.质量为m的质点受力F的作用沿ox轴作直线 运动，设力F仅是时间1的函数：F=F().在开始时刻 t=0时F(O)=F。,随着时间的增大，此力F均匀地减 小，直到t=T时F(T=0.如果开始时质点在原点，且 初初速度为0，求质点的运动规律 解：据题意有 d2 x F o 1=0=0, dx 1=0=0 对方程两边积分，得 学等HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例2. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线 运动, 在开始时刻 随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减 直到 t = T 时 F(T) = 0 . 如果开始时质点在原点, 解: 据题意有 t F o T F0 F = 2 0 2 (1 ) d x t F dt m T = − (1 ) 0 T t F − t = 0 时 设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) . 小, 初初速度为0, 求质点的运动规律. 且 对方程两边积分, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2 dt )+C m 2T 利用初始条件 =0=0得C=0,于是 dx m 两边再积分得x= 6T +C 再利用x=0=0得C2=0,故所求质点运动规律为 r- HIGH EDUCATION PRESS 录上页下页返回结束
1 2 0 ) 2 ( d d C T t t m F t x = − + 利用初始条件 0, 得C1 = 于是 ) 2 ( d d 2 0 T t t m F t x = − 两边再积分得 2 2 3 0 ) 2 6 ( C T t t m F x = − + 再利用 0, 得 C2 = 故所求质点运动规律为 ) 3 ( 2 3 0 2 T t t m F x = − 机动 目录 上页 下页 返回 结束