第九节 第十二章 常系数非齐次线性微分方程 一、f(x)=e2xPm(x)型 二、f(x)=e2x[D(x)cos@x +户n(x)sin@x]型 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
常系数非齐次线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九节 f (x) = e x Pm (x) 型 f x e P x x l x ( ) = [ ( ) cos ( )sin ]型 ~ P x x + n 一、 二、 第十二章
二阶常系数线性非齐次微分方程 y”+py+qy=f(x)(p,q为常数) 根据解的结构定理，其通解为 y=Y+y* 齐次方程通解 非齐次方程特解 求特解的方法一 待定系数法 根据f(x)的特殊形式，给出特解y*的待定形式 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 HIGH EDUCATION PRESS 下页返回结
y + py + qy = f (x) ( p, q 为常数) 二阶常系数线性非齐次微分方程 : 根据解的结构定理 , 其通解为 y = Y + y * 齐次方程通解 非齐次方程特解 求特解的方法 根据 f (x) 的特殊形式 , 的待定形式, 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . ① — 待定系数法 机动 目录 上页 下页 返回 结束
f(x)=eixp(x)型 入为实数，Pm(x)为m次多项式 设特解为y*=e2xQ(x),其中Q(x)为待定多项式 y*=ex[2(x+'x] y*"=e2x[29(x)+2(x+Q"(y] 代入原方程，得 Q'(x)+(22+p)Q'(x)+(22+p元+q)Q(x)=Pm(x) (1)若入不是特征方程的根，即22+p人+g≠0，则取 Q(x)为m次待定系数多项式Q,m(x),从而得到特解 形式为y*=e2xnm(x) HIGH EDUCATION PRESS 0C8 机动目录上页下页返回结束
e [Q (x) x + ( 2 + p )Q(x) ( ) ( )] 2 + + p + q Q x e Pm(x) x = 一、 f (x) = e xPm (x) 型 为实数 , P (x) m 设特解为 y* e Q(x) , x = 其中 Q(x) 为待定多项式 , y* e [ Q(x) Q (x)] x = + * [ ( ) 2 ( ) ( )] 2 y e Q x Q x Q x x = + + 代入原方程 , 得 (1) 若 不是特征方程的根, 则取 从而得到特解 形式为 y* e Q (x) . m x = 为 m 次多项式 . Q (x) 为 m 次待定系数多项式 机动 目录 上页 下页 返回 结束
Q"(x)∈(22+D0'(x)+p元+92(x)=Pm(x) (2)若入是特征方程的单根，即 22+p元+9=0,22+p≠0， 则Q'(x)为m次多项式，故特解形式为y*=xQnm(x)e2 (3)若入是特征方程的重根，即 22+p2+q=0,22+p=0 则O"(x) 是m次多项式，故特解形式为y*=xQm(x)e2x 小结对方程①，当)是特征方程的k重根时，可设 特解y*=xQnm(x)e2x(k=0,1,2) 此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
(2) 若 是特征方程的单根 , 为m 次多项式, 故特解形式为 (3) 若 是特征方程的重根 , 2 + p = 0 , 则Q(x) 是 m 次多项式, 故特解形式为 x y x Qm x e * ( ) 2 = 小结 对方程①, y* = x Q (x) e (k = 0,1, 2) x m k 此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . Q(x) P (x) ( ) ( ) = m 2 + + p + q Q x 即 即 当 是特征方程的 k 重根 时, 可设 特解 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.求方程y”-2y-3y=3x+1的一个特解 解：本题2=0，而特征方程为r2-2r-3=0, 入=0不是特征方程的根 设所求特解为y*=b0x+b1,代入方程 -3b0x-3b1-2b0=3x+1 比较系数，得 -36=3 26-36=1 b=-1,b=3 于是所求特解为y*=一x+ HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 的一个特解. 解: 本题 而特征方程为 不是特征方程的根 . 设所求特解为 代入方程 : 比较系数, 得 3 1 1, b0 = − b1 = 于是所求特解为 = 0 = 0 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束