《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五章 随机变量的数字特征与极限定理

解 EX= xf(xdx= xne 2x x xae +∞ + -[ x re + dx + +oO A e e 02

26 ❖ 解             1 0 1 1 ] 0 [ ( ) 0 0 0 0 0 = +  = = = − +  = − = − = = − + − + − + − − + − + − + −       x x x x x x x e d x e e dx x e e dx xde EX x f x dx x e dx

會例6(正态分布)设连续型随机变量X~N(,02), 求EX 解EX=u 令正态分布中的参数,表示相应随机变量X的数学 期望 27

27 ❖ 例6 (正态分布)设连续型随机变量X~N(μ,σ2)， 求EX. ❖ 解 EX=μ. ❖ 正态分布中的参数μ，表示相应随机变量X的数学 期望

EⅩ xf(xdx O√2丌 令 x-urtoo u+ot e 2 O 2丌 O dt te 2 di 2丌 28

28 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 2 2 ( ) 1 2 2 2 2 x t t t EX xf x dx x e dx x t t e dt e dt te dt               + − − + − − + − − + + − − − − = = − + = = + =      令

0 00 te 2 dt te 2 dt+ te 2 dt d-+ 2 ∫(-e2)+(e) (-e2)+(-e2) 0 1+1=0 29

29 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 0 2 2 0 0 2 2 0 2 2 2 2 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 1 1 0 t t t t t t t t t te dt te dt te dt t t e d e d d e d e e e + + − − − − − − − + − − − + − − − = + = + = − + − + = − + − − = − + =       

例7(柯西分布)设连续型随机变量X的概率密度为 f(x)= 0<x<+O 丌1+X 令求EX 冷解由于c+o X n(1+x2=2 dx xdx )z(1+x2) 2 lm(1+x2) 0 令故X的数学期望不存在. 30

30 ❖ 例7 (柯西分布)设连续型随机变量X的概率密度为 −   + + = x x f x , 1 1 1 ( ) 2  ❖ 求EX. ❖ 解 由于 = + +  = + + = +   + + − 0 ln(1 ) 1 (1 ) 2 (1 ) | | 2 0 2 2 x x xdx x dx x    ❖ 故X的数学期望不存在