例1设f:R→R,对每个x∈R,f(x)=x2 显然，是一个映射，f的定义域D,=R,值域R=y≥0} 它是R的一个真子集对于R中的元素y,除=0外，它的原 像不是唯一的.如y=4的原像就有x=2和x=-2两个 例2设X=《x,y)x2+y2=1Y=《x,0x≤1 f:X→Y,对每个(x,)EX,有唯一确定的(x,0)∈Y 与之对应 显然，f是一个映射，f的定义域D,=X,值域R,=Y, 这个映射表示将平面上一个圆心 在原点的单位圆周上的点投影到x 轴的区间[-1,1]上
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例1 设 f : R → R , 对每个 x R , . 2 f (x) = x 显然, f是一个映射, f 的定义域 Df = R ,值域 R = y y 0, f 它是R的一个真子集.对于Rf中的元素y, 除y=0外,它的原 像不是唯一的.如y=4的原像就有x=2和x=-2两个. 例2 设 ( , ) 1, 2 2 X = x y x + y = Y = (x,0) x 1, f : X →Y, 对每个 (x, y) X ,有唯一确定的 (x,0)Y 与之对应. 显然, f 是一个映射, f 的定义域 Df = X ,值域 R Y . f = O x y -1 1 这个映射表示将平面上一个圆心 在原点的单位圆周上的点投影到x 轴的区间[-1,1]上
例3 设了受1对每个x卧 f(x)=sinx. 这里/是一个映射，其定义域D,=受1，值域风= 满射单射一一映射 f称为X到Y上的满射：若R=Y.即Y中任一元素y 都是X中某元素的像 为到Y上的单射：若对X中任意两个不同元素秋1≠2， 它们的像f化)≠f(化， 为一一映射（或双射）：若映射f既是单射又是满射 如：例1既非单射，又非满射； 例2不是单射，是满射： 例3既是单射，又是满射，因此是一一映射
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例3 设 ] [ 1,1], 2 , 2 :[− → − f 对每个 , ] 2 , 2 [ x − f (x) = sin x. 这里f 是一个映射,其定义域 ] ,值域 2 , 2 [ Df = − = [−1,1]. Rf f 称为X到Y上的满射：若Rf=Y.即Y中任一元素y f为X到Y上的单射: 若对X中任意两个不同元素 满射 单射 一一映射 都是X中某元素的像. f为一一映射(或双射): 若映射f 既是单射又是满射. 如:例1 既非单射, 又非满射; 例2 不是单射,是满射; 例3 既是单射,又是满射,因此是一一映射. , 1 2 x x 它们的像 ( ) ( ). 1 2 f x f x
映射又称为算子 根据集合X,的不同情形，在不同的数学分支中， 映射又有不同的惯用名称 如：从非空集合到数集的映射又称为X上的泛函 从非空集合到它自身的映射又称为X上的变换 从实数集（或其子集）X到实数集Y的映射称为定义 在X上的函数
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 映射又称为算子. 根据集合X、Y的不同情形,在不同的数学分支中, 映射又有不同的惯用名称. 如: 从非空集合X到数集Y的映射又称为X上的泛函. 从非空集合X到它自身的映射又称为X上的变换. 从实数集(或其子集)X到实数集Y的映射称为定义 在X上的函数
2.逆映射与复合映射 设f是X到Y上的单射，定义一个从R到X的新映射g 即 8:Rr→X, 对每个y∈Rr,规定gy)=x,这x满足孔x)=y 这个映射g称为f的逆映射，记作∫，其定义域D=R, 值域R-=X. 注意：只有单射才存在逆映射 例1,2,3中，只有例3有逆映射： f(x)=arcsinx,xE[-1,1] D=-lR=
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 2. 逆映射与复合映射 设 f 是X到Y上的单射,定义一个从Rf到X的新映射g 即 g : R X, f → 对每个 , Rf y 规定g(y)=x,这x满足f(x)=y. 这个映射g称为f 的逆映射,记作 , 其定义域 −1 f , 1 f f D − = R 值域 R 1 X. f − = 注意:只有单射才存在逆映射. 例1,2,3中,只有例3有逆映射: ( ) arcsin , [ 1,1], 1 = − − f x x x 1 1 [ 1,1], [ , ]. 2 2 f f D R − − = − = −