第三为 第八章 平面及其方程 一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
第三节 一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 机动 目录 上页 下页 返回 结束 平面及其方程 第八章
一、曲面方程的概念 引例：求到两定点A(1,2,3)和B2,-1,4)等距离的 点的轨迹方程 解设轨迹上的动点 M(x,y,z),则AM=BM,即为 V(x-1)2+(y-2)2+(z-3)2 =V(x-2)2+(y+1)2+(z-4)2 化简得2x-6y+2z-7=0 说明：动点轨迹为线段AB的垂直平分面. 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程， 不在此平面上的点的坐标不满足此方程 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、曲面方程的概念 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的 点的轨迹方程. 2 2 2 (x −1) + (y − 2) + (z − 3) 化简得 2x − 6y + 2z − 7 = 0 即为 说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 引例: 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程. 2 2 2 = (x − 2) + ( y +1) + (z − 4) 解:设轨迹上的动点 M (x, y,z),则 AM = BM , 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义1.如果曲面S与方程F(x,yz)=0有下述关系： (1)曲面S上的任意点的坐标都满足此方程， (2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程 则F(x,%z)=0叫做曲面S的方程 F(x,y,2)=0 曲面S叫做方程F(x,yz)=0的图形 两个基本问题： (1)已知一曲面作为点的几何轨迹时， 求曲面方程 (2)已知方程时， 研究它所表示的几何形状 (必要时需作图). HIGH EDUCATION PRESS 机动目 下页返回结束
定义1. F(x, y,z) = 0 S z y x o 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形. 两个基本问题 : (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程, 求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ). 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、平面的点法式方程 设一平面通过已知点Mo(x,y%,二，)且垂直于非零向 量n=(A,B,C),求该平面Π的方程 任取点M(x,y,z)eⅡ，则有 MM⊥元 故 MoM.n=0 MoM=(x-x0,y-o,2-20) A(x-xo)+B(y-y%)+C(2-2o)=0 称①式为平面Π的点法式方程，称为平面Ⅱ的法向量. HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
z y x o M0 n ① 二、平面的点法式方程 ( , , ) 0 0 0 0 设一平面通过已知点 M x y z 且垂直于非零向 A(x − x0 ) + B(y − y0 ) +C(z − z0 ) = 0 M 称①式为平面的点法式方程, 求该平面的方程. 任取点M (x, y,z), 法向量. 量 n = (A , B, C), M0M ⊥n M0M n = 0 则有 故 称 n为平面 的 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.求过点M(2,1,1),且垂直于向量i+2j-3k 的平面Π的方程 解：取该平面Π的法向量为 n=i+2j-3k =(1,2,-3) 又M,∈卫，利用点法式得平面Π的方程 1(x-2)+2(y-1)-3(z-1)=0 即x+2y-3z-1=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 录上页下页返回结束
例1.求过点 , 又M1 = − (1, 2, 3) 即 解: 取该平面 的法向量为 的平面 的方程. 利用点法式得平面 的方程 n 机动 目录 上页 下页 返回 结束 且垂直于向量