例4某种透镜,第一次落下时打破的概率为 1/2,若第一次落下来未打破,第二次落下打破 的概率为7/10,若前两次落下未打破,第三次 落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而 未打破的概率 解以A、(÷=1,2,3)表示事件"透镜第次落下打破 ",以B表示事件"透镜落下三次而未打破,则 P(B)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1P(A3A42) 3 2八110人10)-200
12 例4 某种透镜, 第一次落下时打破的概率为 1/2, 若第一次落下来未打破, 第二次落下打破 的概率为7/10, 若前两次落下未打破, 第三次 落下打破的概率为9/10. 试求透镜落下三次而 未打破的概率. 解 以Ai (i=1,2,3)表示事件"透镜第i次落下打破 ", 以B表示事件"透镜落下三次而未打破, 则 . 200 3 10 9 1 10 7 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( | ) ( | ) 1 2 3 1 2 1 3 1 2 = - - = - P B = P A A A = P A P A A P A A A
(三)全概率公式和贝叶斯公式 定义设S为试验E的样本空间,B1,B2,…,Bn为E 的一组事件,若 (1)BB (2)B1∪B2.∪Bn=S, 则称B,B2,,Bn为样本空间的一个划分 若B,B2,B是样本空间的一个划分,那么,对 于每次试验,事件B,B2…,Bn中必有一个且仅 有一个发生
13 (三)全概率公式和贝叶斯公式 定义 设S为试验E的样本空间, B1 ,B2 ,...,Bn为E 的一组事件, 若 (1) BiBj =f, ij, i,j=1,2,...,n; (2) B1B2...Bn =S, 则称B1 ,B2 ,...,Bn为样本空间的一个划分. 若B1 ,B2 ,...,Bn是样本空间的一个划分, 那么,对 于每次试验, 事件B1 ,B2 ,...,Bn中必有一个且仅 有一个发生
划分的图示 B B B B B
14 划分的图示 B1 B2 B3 S B4 B5
定理设试验E的样本空间为S,A为E的事件, B1,B2,B2为S的一个划分,且 P(B)>0(=1,2,,m),则 P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(AB2)P(B2)+ +P(A B)P(Bn) =∑P(A|B)P(B,) (5.6 (56)式称为全概率公式
15 定理 设试验E的样本空间为S, A为E的事件, B1 ,B2 ,...,Bn为S的一个划分, 且 P(Bi )>0(i=1,2,...,n), 则 ( | ) ( ) (5.6) ( | ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) 1 1 1 2 2 = = + = + + n j j j n n P A B P B P A B P B P A P A B P B P A B P B (5.6)式称为全概率公式