既然条件概率符合上述三个条件,故§3中对 概率所证明的一些重要结果都适用于条件概 率.例如,对于任意事件B,B2有 P(B1B2)=P(B1)+P(B24)-P(B1B24) 例2一盒子装有4只产品,其中有3只一等品,1 只二等品,从中取产品两次,每次任取一只,作 不放回抽样.设事件A为"第一次取到的是一等 品",事件B为"第二次取到的是一等品"试求 条件概率P(BA)
7 既然条件概率符合上述三个条件, 故§3中对 概率所证明的一些重要结果都适用于条件概 率. 例如, 对于任意事件B1 ,B2有 P(B1B2 |A)=P(B1 |A)+P(B2 |A)-P(B1B2 |A). 例2 一盒子装有4只产品, 其中有3只一等品, 1 只二等品, 从中取产品两次, 每次任取一只, 作 不放回抽样. 设事件A为"第一次取到的是一等 品", 事件B为"第二次取到的是一等品". 试求 条件概率P(B|A)
解易知此属古典概型问题.将产品编号,1,2,3 号为一等品;4号为二等品.以(20)表示第一次, 第二次分别取到第门,第号产品.试验E(取产 品两次,记录其号码)的样本空间为 S={(1,2)、(1,3),(1,4),(2,1),(2,3)(2,4),,(4,1), (4,2),(4,3)},共12个基本事件组成 A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3)(2,4),(3,1),(3,2) 3,4)},共9个基本事件组成, AB={(1,2)1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)} 共6个基本事件组成
8 解 易知此属古典概型问题. 将产品编号, 1,2,3 号为一等品; 4号为二等品. 以(i,j)表示第一次, 第二次分别取到第i号,第j号产品. 试验E(取产 品两次, 记录其号码)的样本空间为 S={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),...,(4,1), (4,2), (4,3)}, 共12个基本事件组成, A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2), (3,4)}, 共9个基本事件组成, AB={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}. 共6个基本事件组成
按(52)式,得条件概率 P(AB)6/122 P(BA P(A) 9/123 也可以直接按条件概率的含义来求P(B4)我 们知道,当A发生以后,试验E所有可能结果的 集合就是A,A中有9个元素,其中只有(1,2) (1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)属于B,故可得 P(BA 2—-3
9 按(5.2)式, 得条件概率 . 3 2 9/12 6/12 ( ) ( ) ( | ) = = = P A P AB P B A . 3 2 9 6 P(B | A) = = 也可以直接按条件概率的含义来求P(B|A). 我 们知道, 当A发生以后, 试验E所有可能结果的 集合就是A, A中有9个元素, 其中只有(1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2)属于B, 故可得
(二)乘法定理由条件概率的定义(52)可得 乘法定理设P(A)>0,则有 P(AB=P(A)P(B(A) (5.3) 上式容易推广到多个事件的积事件的情况.例 如,设A,B,C为事件,且P(AB)>0,则有 P(ABC=P(APBAP(CAB (54 一般地,设41,2,,n.为n个事件,n≥2,且 P(41A2…4n-1)>0,则有 P(A1A2.An)=P(A1)P(241) P(An=14142….4n2)P(nA1A2…An1)(5.5)
10 (二)乘法定理 由条件概率的定义(5.2)可得 乘法定理 设P(A)>0, 则有 P(AB)=P(A)P(B|A) (5.3) 上式容易推广到多个事件的积事件的情况. 例 如, 设A,B,C为事件, 且P(AB)>0, 则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) (5.4) 一般地, 设A1 ,A2 ,...,An为n个事件, n2, 且 P(A1A2 ...An-1 )>0, 则有 P(A1A2 ...An )=P(A1 )P(A2 |A1 )... P(An-1 |A1A2 ...An-2 )P(An |A1A2 ...An-1 ) (5.5)
例3设袋中装有r只红球,(白球.每次自袋 中任取一只球,观察其颜色后放回,并再放入a 只与所取出的那只球同色的球若在袋中连续 取球四次,试求第一,二次取到红球且第三,四 次取到白球的概率 解以A(÷=1,2,3,4)表示事件"第次取到红球" P(AA2A3A4=P(AP(A2 I A) P(A3AA)P(A4 A A3) r+a tta rtt rotta rttt2a r+tt3a
11 例3 设袋中装有r只红球, t只白球. 每次自袋 中任取一只球, 观察其颜色后放回, 并再放入a 只与所取出的那只球同色的球. 若在袋中连续 取球四次, 试求第一,二次取到红球且第三,四 次取到白球的概率. 解 以Ai (i=1,2,3,4)表示事件"第i次取到红球", r t a t a r t a t r t a r a r t r P A A A P A A A A P A A A A P A P A A 2 3 ( | ) ( | ) ( ) ( ) ( | ) 3 1 2 4 1 2 3 1 2 3 4 1 2 1 + + + + + + + + + = =