北京交通大学：2002-2003学年第一学期概率统计（B）重修课考试试卷答案

2002-2003学年第一学期概率论与数理统计(B)重修课考试试卷答案 填空题(本题满分15分,共有5道小题,每道小题3分)请将合适的答案填在每题的空中 1.某人连续三次购买体育彩票,设A1,A2,A3分别表示其第一、二、三次所买的彩票中奖的事件, 设B={不止一次中奖}若用A、A2、A3表示B,则有B 2.一射手对同一目标进行4次,规定若击中0次得-10分,击中1次得10分,击中2次得50分,击 中3次得80分,击中4次得100分,假定该射手每发的命中率为06,令X表示所得的分数,则EX 3.已知随机变量X服从参数为2的泊松( Poisson)分布,且随机变量Z=2X-2,则E(z)= 4设连续型随机变量X的密度函数为/()=1c2(<x<+2),则Dx) 5.设总体X~B(,p),(X xn)是从总体X中抽取的一个样本,则参数p的矩估 计量为p 谷案: 1.A42∪A43∪A2A3 2.59.168 3.2 5.X 、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内) 1.设A、B为两个随机事件,且AcB,P(B)>0,则下列选项必然正确的是 (4).P(4)<P(4|B) (B).P(4)≤P(4 (C)P(4)>P(4B) (D).P(4)≥P(4B) 2.设X与为两个随机变量,且P{X20,F≥0}3 P{x≥0}=P{≥0}=4,则 P{mx(X,y)≥0} 40 3.设随机变量X与y独立同分布,记U=X-Y,V=X+Y,则U与V之间必有 (4)独立: (B)相关系数为零 C)不独立 (D)相关系数不为零 4.设X与Y是两个相互独立的随机变量,则下列说法中,正确的是 (4)当已知x与Y的分布时,对于随机变量X+Y,可使用 Chebyshev(切比雪夫)不等式进行概 率估计; (B)当已知X与的数学期望与方差都存在时,可使用 Chebyshev(切比雪夫)不等式估计随机变量 x+y落在任意区间(a,b)内的概率 (C)当已知x与Y的数学期望与方差都存在时,可使用 Chebyshev(切比雪夫)不等式估计随机变量 X+}落在对称区间(-a,a)(a>0)内的概率 (D)当已知X与y的数学期望与方差都存在时,可使用 Cheby shev(切比雪夫)不等式估计随机变 量X+y落在区间(E(x)+E(y)-a,E(x)+E()+a)(a>0)内的概率 5.设总体X与Y相互独立,且都服从正态分布N(0,1).(x,…,X)是从总体X中抽取的 第1页共9页

2002-2003 学年第一学期概率论与数理统计（B）重修课考试试卷答案 第 1 页 共 9 页 一．填空题（本题满分 15 分，共有 5 道小题，每道小题 3 分）请将合适的答案填在每题的空中 1．某人连续三次购买体育彩票，设 A1， A2， A3 分别表示其第一、二、三次所买的彩票中奖的事件， 又设 B = 不止一次中奖  ，若用 A1、 A2 、 A3 表示 B ，则有 B = ________________________________． 2．一射手对同一目标进行 4 次，规定若击中 0 次得-10 分，击中 1 次得 10 分，击中 2 次得 50 分，击 中 3 次得 80 分，击中 4 次得 100 分，假定该射手每发的命中率为 0.6，令 X 表示所得的分数，则 EX = _____． 3． 已知随机变量 X 服从参数为 2 的泊松（Poisson）分布，且随机变量 Z = 2X − 2 ，则 E(Z)= ____． 4．设连续型随机变量 X 的密度函数为 ( ) 2 1 1 2 − + − = x x f x e  (−   x  +) ，则 D(X) =___________． 5． 设总体 X ~ B(1， p)，( ) X1， X2，， Xn 是从总体 X 中抽取的一个样本，则参数 p 的矩估 计量为 p ˆ =_____________________． 答案： 1． A1A2  A1A3  A2A3 ； 2． 59.168 ； 3． 2 ； 4． 2 1 ； 5． X ； 二、选择题（本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1．设 A 、 B 为两个随机事件，且 A  B ， P(B)  0 ，则下列选项必然正确的是 (A). P(A) P(AB) ； (B). P(A) P(AB) ； (C). P(A)  P(AB) ； (D). P(A) P(AB) ． 【 】 2．设 X 与 Y 为两个随机变量，且   7 3 P X  0， Y  0 = ，     7 4 P X  0 = P Y  0 = ，则 Pmax(X，Y) 0= (A) 7 5 ； (B) 49 16 ； (C) 7 3 ； (D) 49 40 ． 【 】 3．设随机变量 X 与 Y 独立同分布，记 U = X −Y ，V = X +Y ，则 U 与 V 之间必有 (A) 独立； (B) 相关系数为零； (C) 不独立； (D) 相关系数不为零． 【 】 4．设 X 与 Y 是两个相互独立的随机变量，则下列说法中，正确的是 (A) 当已知 X 与 Y 的分布时，对于随机变量 X + Y ，可使用 Chebyshev（切比雪夫）不等式进行概 率估计； (B) 当已知 X 与 Y 的数学期望与方差都存在时，可使用 Chebyshev（切比雪夫）不等式估计随机变量 X + Y 落在任意区间 (a， b) 内的概率； (C) 当已知 X 与 Y 的数学期望与方差都存在时，可使用 Chebyshev（切比雪夫）不等式估计随机变量 X + Y 落在对称区间 (− a， a) (a  0) 内的概率； (D) 当已知 X 与 Y 的数学期望与方差都存在时，可使用 Chebyshev（切比雪夫）不等式估计随机变 量 X + Y 落在区间 (E(X)+ E(Y)− a， E(X)+ E(Y)+ a) (a  0) 内的概率； 【 】 5．设总体 X 与 Y 相互独立，且都服从正态分布 N(0，1)．( ) X1，， X9 是从总体 X 中抽取的一

2002-2003学年第一学期概率论与数理统计(B)重修课考试试卷答案 个样本,(,…,x)是从总体y中抽取的一个样本,则统计量U=++ (4)x2(9):(B)x2(8):(C)t():(D)1(8) 答案 (B) 三.(本题满分10分) 将5个颜色分别为黑、红、黄、蓝、白的球分别放入5个颜色也分别为黑、红、黄、蓝、白的盒子中 每一个盒子中只放一个球.求球与盒子的颜色都不一致的概率 解 设B={球与盒子的颜色都不一致,并设 4={黑球放入黑盒},A2={红球放入红盒}A1={黄球放入黄盒},A={蓝球放入蓝盒} A={白球放入白盒 则B=∩4=∪4,所以 ()=p∪A|=1-P1UA -∑P(A)+∑P(4)-∑P(44,4)+∑P(4,4)-P(44414) i<j<kdl 而P(4) (i=L,2,3,4,5) AA < (ij<k), P(44)=1(<j<k P(A1A124343)= 所以,P(B)=1- 5!/xk5!S!5! 3! 111 四.(本题满分10分) 某工厂宣称自己的产品的次品率为20%,检查人员从该厂的产品中随机地抽取10件,发现有3件次 可否据此判断该厂谎报了次品率? 解 设X:抽取10件产品中的次品数,则X~B(0,02) 所以,P(X=3)=C38×023×0.87=02013 第2页共9页

2002-2003 学年第一学期概率论与数理统计（B）重修课考试试卷答案 第 2 页 共 9 页 个样本， ( ) Y1，， Y9 是从总体 Y 中抽取的一个样本，则统计量 ~ 2 9 2 1 1 9 Y Y X X U   + + + = (A) (9) 2  ； (B) (8) 2  ； (C) t(9) ； (D) t(8)． 【 】 答案： 1． (B) ； 2． (A) ； 3． (B) ； 4． (D) ； 5． (C)． 三．（本题满分 10 分） 将 5 个颜色分别为黑、红、黄、蓝、白的球分别放入 5 个颜色也分别为黑、红、黄、蓝、白的盒子中， 每一个盒子中只放一个球．求球与盒子的颜色都不一致的概率． 解： 设 B = 球与盒子的颜色都不一致  ，并设 A1 = 黑球放入黑盒 ， A2 = 红球放入红盒 ， A3 = 黄球放入黄盒 ， A4 = 蓝球放入蓝盒 ， A5 = 白球放入白盒  则   5 1 5 =1 = = = i i i B Ai A ，所以 ( )         = −         = = =   5 1 5 1 1 i i i P B P Ai P A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 5 5 1 1 P A P A A P A A A P A A A A P A A A A A i j k l i j k l i j k i j k i j i j i = − i + −  +  − =       而 ( ) 5! 4! P Ai = ( i =1， 2，3， 4，5 )， ( ) 5! 3! P Ai Aj = ( i  j )， ( ) 5! 2! P Ai Aj Ak = ( i  j  k )， ( ) 5! 1! P Ai Aj Ak Al = ( i  j  k  l )， ( ) 5! 1 P A1A2 A3A4 A5 = ． 所以， ( ) 5! 1 5! 1! 5! 2! 5! 3! 5! 4! 1 5 1 = − + −  +  − i= i j i jk i jkl P B 30 11 5! 1 5! 1! 5! 2! 5! 3! 5! 4! 1 5 4 5 3 5 2 = −  +C5  −C  +C  − = ． 四．（本题满分 10 分） 某工厂宣称自己的产品的次品率为 20%，检查人员从该厂的产品中随机地抽取 10 件，发现有 3 件次 品，可否据此判断该厂谎报了次品率？ 解： 设 X ：抽取 10 件产品中的次品数，则 X ~ B(10， 0.2) 所以， ( 3) 0.2 0.8 0.2013 3 3 7 P X = = C10   =

2002-2003学年第一学期概率论与数理统计(B)重修课考试试卷答案 因此随机事件“{X=3}”并非是小概率事件,故不能据此判断该厂谎报了次品率 五.(本题满分10分) 设随机变量X的密度函数为 fx( 0<x<丌 0其它 而Y=simX,试求随机变量Y的密度函数f(v) 解 由随机变量X在区间(0,x)上取值,可知随机变量Y=snX在区间(0,1)上取值.设随机变量Y 的分布函数为F(y),则有 F()=P{Y≤y}=P{snX≤y ①.如果y≤0,则有F(v)=0: ②.如果0<y<1,则有 F()=P({≤y}= P( X≤y} =P≤X≤ arcsin y)+Pz- arcs ysX≤r} ∫xk+ ③如果y≥1,则有F(U)=1 F(y)= 了x d+∫x0<y<1 x一 arcsin1 y f()=F(y)={z arcsin J arcsin 0<y<1 其它 即f(y)={z2- 0<y<1 其它 六.(本题满分10分) 设二维随机变量(X,Y)服从矩形 (x,y):0≤x≤2,0≤y≤1} 上的均匀分布.记 0X≤Y 0X≤2y IX>Y 1X>2Y 试求U与V的相关系数p,并判断U与V是否相互独立? 解 由题意可得P{XsF!1 4P{X2人 2P<x<2y}=1 所以,P=0,r=0)=P(xsy,Xs2y}=Px≤F}=1 Py=0,V=1}=P{XY≤Y,X>2}=P()=0 第3页共9页

2002-2003 学年第一学期概率论与数理统计（B）重修课考试试卷答案 第 3 页 共 9 页 因此随机事件“ X = 3 ”并非是小概率事件，故不能据此判断该厂谎报了次品率． 五．（本题满分 10 分） 设随机变量 X 的密度函数为 ( )       = 0 其它 0 2 2   x x f x X ， 而 Y = sin X ，试求随机变量 Y 的密度函数 f (y) Y ． 解： 由随机变量 X 在区间 (0， ) 上取值，可知随机变量 Y = sin X 在区间 (0，1) 上取值．设随机变量 Y 的分布函数为 F (y) Y ，则有 FY (y) = PY  y= Psin X  y ①. 如果 y  0 ，则有 FY (y) = 0 ； ②. 如果 0  y  1 ，则有 FY (y) = PY  y= Psin X  y = P0  X  arcsin y+ P −arcsin y  X     − = +     y y xdx xdx arcsin 2 arcsin 0 2 2 2 ③. 如果 y  1 ，则有 FY (y) =1 即 ( )         +    =   − 1 1 0 1 2 2 0 0 arcsin 2 arcsin 0 2 y xdx xdx y y F y y y Y     所以， ( ) ( ) ( )        − +  −  −   =  = 0 其它 0 1 1 1 arcsin 2 1 1 arcsin 2 2 2 2 2 y y y y y f y F y Y Y    即 ( )        = − 0 其它 0 1 1 2 1 2 2 y fY y  y 六．（本题满分 10 分） 设二维随机变量 (X，Y) 服从矩形 D =  (x, y)： 0  x  2， 0  y 1  上的均匀分布．记：      = X Y X Y U 1 0      = X Y X Y V 1 2 0 2 试求 U 与 V 的相关系数  ，并判断 U 与 V 是否相互独立？ 解： 由题意可得   4 1 P X  Y = ，   2 1 P X  2Y = ，   4 1 P Y  X  2Y = ， 所以，       4 1 P U = 0， V = 0 = P X  Y， X  2Y = P X  Y = ， PU = 0，V =1= PX Y， X  2Y= P() = 0

200-200学年第二学期概率论与数理统计(B)重修课考试试卷答案 P{=1,V=0}=P{XY>Y,x≤2 =P{<XsY}=4 P{=1,V=l} 孓、 )的联合分布律及各自的边缘分布律为 pi 0.25 0.75 P 0.5 所以,B=3,D3,BF、1DV=4 16 又E(U) 所以,cov{,p)=E(m)-(EU)E)=1-3x1=1 V16V4 由于p≠0,所以U与V相关,从而U与V不独立 七.(本题满分10分) 某运输公司有500辆汽车参加保险,在 每辆汽车出事故的概率为0006,每辆参加保险的汽车 每年交保险费800元,若一辆车出事故保险公司最多赔偿50000元.试利用中心极限定理计算,保险公司 年赚钱不小于200000元的概率 (附:标准正态分布分布函数(x)表 0.57 0.59 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 解 设A={某辆汽车出事故}则P(小)=0006 设X:运输公司一年内出事故的车数.则X~B(50O,006) 保险公司一年内共收保费800×500=400000,若按每辆汽车保险公司赔偿50000元计算,则保险公 司一年赚钱不小于20000元,则在这一年中出事故的车辆数不能超过4辆.因此所求概率为 P( X-500×0.006 X≤4)= 4-500×0.006 500×0.006×0.994500×0006×0.994 X-500×0.006 ≈Φ(0.58)=0.7190 500×0.006×0.994 (本题满分10分) 设总体X服从对数正态分布,其密度函数为 (hx-)2 x exp 其中-∞<H<+0与a>0都是未知参数,(X1,…,X)是从该总体中抽取的一个样本试求与o 的最大似然估计 解:似然函数为 第4页共9页

2002-2003 学年第一学期概率论与数理统计（B）重修课考试试卷答案 第 4 页 共 9 页       4 1 P U =1，V = 0 = P X  Y， X  2Y = P Y  X  Y = ，   2 1 4 1 4 1 P U = 1， V = 1 = 1− − = ， (U，V) 的联合分布律及各自的边缘分布律为 V U 0 1 i p 0 0.25 0 0.25 1 0.25 0.5 0.75 j p 0.5 0.5 所以， 4 3 EU = ， 16 3 DU = ， 2 1 EV = ， 4 1 DV = ． 又 ( ) 2 1 E UV = ， 所以， ( ) ( ) ( )( ) 8 1 2 1 4 3 2 1 cov U，V = E UV − EU EV = −  = ( ) 3 1 4 1 16 3 8 1 cov =  = = DU DV U， V  由于   0 ，所以 U 与 V 相关，从而 U 与 V 不独立． 七．（本题满分 10 分） 某运输公司有 500 辆汽车参加保险，在一年内每辆汽车出事故的概率为 0.006，每辆参加保险的汽车 每年交保险费 800 元，若一辆车出事故保险公司最多赔偿 50000 元．试利用中心极限定理计算，保险公司 一年赚钱不小于 200000 元的概率． （附：标准正态分布分布函数 (x) 表： x 0.56 0.57 0.58 0.59 (x) 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 解： 设 A = 某辆汽车出事故  ，则 P(A) = 0.006 ． 设 X ：运输公司一年内出事故的车数．则 X ~ B(500， 0.006) ． 保险公司一年内共收保费 800500 = 400000 ，若按每辆汽车保险公司赔偿 50000 元计算，则保险公 司一年赚钱不小于 200000 元，则在这一年中出事故的车辆数不能超过 4 辆．因此所求概率为 ( )           −     −   = 500 0.006 0.994 4 500 0.006 500 0.006 0.994 500 0.006 4 X P X P          −  = 0.58 500 0.006 0.994 X 500 0.006 P  (0.58) = 0.7190 八．（本题满分 10 分） 设总体 X 服从对数正态分布，其密度函数为 ( ) ( ) ( )       − = − − − 2 2 1 2 1 2 2 2 ln 2 exp       x f x； ， x ( x  0 ) 其中 −    + 与   0 都是未知参数， ( ) X1，， Xn 是从该总体中抽取的一个样本．试求  与 2  的最大似然估计． 解：似然函数为．

2002-2003学年第一学期概率论与数理统计(B)重修课考试试卷答案 灬,o3)=e 2T0 2x exp- (nx,- 2a2)(x2…x) (x,>0,i=1, ∑(nx-4)2 取对数,得 )=-"h(xo2)-h(x2…x) 2 hn lo 所以 2c hl,a)=-n.1+2 ∑(nx,-) (In x-H) 由此得方程组 ∑(nx,-p) n 2 解此方程组,得=Sh In In 因此,与a2的最大似然估计为 =mx,62=hx-∑hx 九.(本题满分10分) 设总体x~N(山,σ3),总体Y~N(山2,口3),(x1,X2,…,xm)是从总体X中抽取的一个 样本,(F,2,…,Yn)是从总体Y中抽取的一个样本.并设这两个样本相互独立.记X与S2分别是 样本(X1,X2,…,Xn)的样本均值与样本方差:F与S分别是样本(F,F,…,Fn)的样本均值 与样本方差.证明 (x-F)-(-2) 1s2(11) m+n m+n 1为x~N(a,o2),Y~M(a2 所以,X y-Nu 而且由x,相互独立,知x-F~N1-2 第5页共9页

2002-2003 学年第一学期概率论与数理统计（B）重修课考试试卷答案 第 5 页 共 9 页 ( ) ( ) ( ) = − −         − = − n i i i x L x 1 2 2 1 2 1 2 2 2 ln 2 exp   ，    ( ) ( ) ( )               − = −  − = − 2 1 2 1 1 2 2 2 2 ln 2 exp     n i i n n x x x x ( x i n) i  0， =1，， 取对数，得 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 2 2 2 ln ln 2 ln 2 ln       = − = − − − n i i n x x x x n L ，  所以， ( ) ( ) ( ) ( )          − = −  +   − =     = = 4 1 2 2 2 2 2 2 1 2 ln 1 2 ln 2 ln ln            n i i n i i x n L x L ， ， 由此得方程组 ( ) ( )          = − −  + = −   = = 0 2 ln 1 2 0 2 ln 4 1 2 2 2 1      n i i n i i x n x 解此方程组，得 = = n i i x n 1 ln 1  ，   = =       = − n i n i i i x n x n 1 2 1 2 ln 1 ln 1  因此，  与 2  的最大似然估计为 = = n i Xi n 1 ln 1 ˆ ，   = =       = − n i n i i Xi n X n 1 2 1 2 ln 1 ln 1 ˆ ． 九．（本题满分 10 分） 设总体 ( ) 2 X ~ N 1， ，总体 ( ) 2 Y ~ N  2， ，( ) X1， X2，， X m 是从总体 X 中抽取的一个 样本， ( ) Y1，Y2，，Yn 是从总体 Y 中抽取的一个样本．并设这两个样本相互独立．记 X 与 2 X S 分别是 样本 ( ) X1， X2，， X m 的样本均值与样本方差； Y 与 2 Y S 分别是样本 ( ) Y1，Y2，，Yn 的样本均值 与样本方差．证明： ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ( 2) 1 1 2 1 1 2 2 1 2 + −       + + − − + − − − − t m n m n m n m S n S X Y X Y   解： 因为 ( ) 2 X ~ N 1， ， ( ) 2 Y ~ N  2， ， 所以，         m X N 2 ~ 1   ， ，         n Y N 2 ~ 2   ， ， 而且由 X ，Y 相互独立，知         − − + m n X Y N 2 2 ~ 1 2     ，