复旦大学：《线性代数 Linear Algebra》课程教学资源（课件讲稿）第二章 矩阵（2/2）、第三章 线性方程组（1/3）

1-20 00 Q1=010 001 01-3 其中P1为行变换的初等矩阵,Q,为列变换的初等矩 阵,其逆矩阵分别为 00 110 010 P=01 001 301 010 001 013 00 010 001 于是A=PP2PQQ 100Y/100/100)(10010012 110‖010‖010 013‖001010 001八301八00 001八0

Q1= , 0 0 1 0 1 0 1 2 0   − , 0 1 0 0 0 1 1 0 0  Q2= , 0 0 1 0 1 3 1 0 0  = − Q3 其中 Pi 为行变换的初等矩阵, Qj 为列变换的初等矩 阵, 其逆矩阵分别为: , 0 0 1 1 1 0 1 0 0   = − −1 P1 = −1 P2 , 3 0 1 0 1 0 1 0 0  = −1 P3 , 0 0 8 0 1 0 1 0 0  − 于是 1 1 1 2 1 3 1 3 1 2 1 1− − − − − − A = P P P Q Q Q , 0 0 1 0 1 0 1 2 0  = −1 Q1 , 0 1 0 0 0 1 1 0 0  = −1 Q2 , 0 0 1 0 1 3 1 0 0  = −1 Q3 . 0 0 1 0 1 0 1 2 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 3 1 0 0    ⋅   −    − 0 0 8 0 1 0 1 0 0 3 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 =

例求下列n阶方阵的逆阵:A a1≠0(i=1,2,,m,A中空自处表示为零 a1 解 1/ 所以A 1

例 求下列 n 阶方阵的逆阵: a 0 ( i 1,2, ,n), i ≠ = L A 中空白处表示为零. 解  an a a N 2 1  1 1 1 O  − 1 1 a a a n n O  1 1 1 N       1 1 1 O , 1 / /1 1 / 1 2  a a a n N   n a a a N 2 1 A = 所以 . /1 /1 /1 1 2   a a a n N = − 1 A

四用初等变换法求解矩阵方程AX=B 问题:求矩阵X,使AX=B,其中A为可逆矩阵 方法:易见该问题等价于求矩阵X=AB 再利用初等行变换求逆阵的方法,计算矩阵AB A(A B)=(E A B) 即 (AB)→>(EAB) 初等行变换 同理,求解矩阵方程XA=B, 等价于计算矩阵BA, 则可利用初等列变换, 计算矩阵BA 即 初等列变换 E B BA 注意:也可改为对4,B)作初等行变换

四.用初等变换法求解矩阵方程 AX = B 问题: 求矩阵 X, 使 AX = B, 其中 A 为可逆矩阵. 方法: 易见该问题等价于求矩阵 . 1 X A B− = 再利用初等行变换求逆阵的方法, 计算矩阵 . 1 A B− Q ( ) ( ) 1 1 A A B E A B − − = 即 初等行变换 同理, 求解矩阵方程 XA = B, 等价于计算矩阵 , −1 BA 则可利用初等列变换, 计算矩阵 , −1 BA 即  BA   −1 BAE 初等列变换 注意: 也可改为对( , ) T T A B 作初等行变换. ( ) ( ) 1 A B E A B → −

220 例求解矩阵方程AX=A+X, 其中A=213 解先将原方程作恒等变形为: 010 (A-E)X=A,则Y=(A-E)A 120220 20:220 R2-2RI (A-EA=203213 01-1:010 01-1010 0-43 120:220 R+R2 120:220 -B 601-1:010 01020 0012-1-3 0012-1 00-226 R-2巴 01020-3 即得X=20-3 2-1-3 001:2-1-3

例 求解矩阵方程 AX = A + X , 其中 解 先将原方程作恒等变形为: ( A − E ) X = A, 则 即得 ( ) . 1 X A E A − = − . 0 1 0 2 1 3 2 2 0           A=           − − = 0 1 1 0 1 0 2 0 3 2 1 3 1 2 0 2 2 0 ( A E A )           − − −  → − − 0 4 3 2 3 3 0 1 1 0 1 0 1 2 0 2 2 0 23 2 2 1 R R R           − −  → − − + 0 0 1 2 1 3 0 1 1 0 1 0 1 2 0 2 2 0 3 3 4 2 R R R           − −  → − + 0 0 1 2 1 3 0 1 0 2 0 3 1 2 0 2 2 0 R 2 R3           − − − −  →− 0 0 1 2 1 3 0 1 0 2 0 3 1 0 0 2 2 6 R1 2R2 . 2 1 3 2 0 3 2 2 6           − − − − X =

2 1、设A= 将A表示成初等矩阵的乘积。 解 12 10 应-3 R+R2 R 即 10 10 0 0 所以 A 01 0 0 0-2

1、设 , 3 4 1 2   A= 将A表示成初等矩阵的乘积。 解  3 4 1 2 → R2−3R1  0 − 2 1 2 → R1+R2  0 − 2 1 0 → − 2 21R   0 1 1 0 即  − 3 1 1 0   0 1 1 1   − 21 01 0   = 0 1 1 0 所以   0 1 1 0 1 21 01 0 −  − 1 0 1 1 1 −   1 3 1 1 0 −  −   = 3 1 1 0   − 0 1 1 1  0 −2 1 0 A A =