线性代数教案第1章行列式D = D(1, -1,3, -2) =(-1-1)(3-1)(-2 -1)(3 +1)(-2 + 1)(-2 - 3)= 240三、巩固练习计算n阶三对角行列式的值，2-1000..200-1-1...0200-1D, =........0002-1.0020-1四、小结1.行列式展开定理；2.范德蒙行列式。五、布置作业1.学习通1.4视频2.学习通1.4课后练习题3.学习通1.4作业教学反思：1.行列式展开定理及推论的应用，首先利用行列式的性质，进行行列式的转变，化成最简形这是必须的，同学们一定要加以注意。2.注意范德蒙行列式的形状，利用行列式的性质1进行变换，变成范德蒙行列式的形式去计算。计算机与数学基础教学部罗敏娜-. 17
线性代数教案 第 1 章 行列式 计算机与数学基础教学部 罗敏娜 - 17 - (1, 1,3, 2) ( 1 1)(3 1)( 2 1) (3 1)( 2 1) ( 2 3) 240 D T D 三、巩固练习 计算 n 阶三对角行列式的值， 0 0 0 1 2 0 0 0 2 1 0 1 2 0 0 1 2 1 0 0 2 1 0 0 0 Dn 四、小结 1.行列式展开定理； 2.范德蒙行列式。 五、布置作业 1.学习通 1.4 视频 2.学习通 1.4 课后练习题 3.学习通 1.4 作业 教学反思： 1.行列式展开定理及推论的应用，首先利用行列式的性质，进行行列式的转变，化成最简形 这是必须的，同学们一定要加以注意。 2.注意范德蒙行列式的形状，利用行列式的性质 1 进行变换，变成范德蒙行列式的形式去计 算
线性代数教案第1章行列式授课题目课次$1.5克莱姆法则教学目的掌握克莱姆法则的内容，会用克莱姆法则解线性方程组。教学重点克莱姆法则的应用及齐次线性方程组解的判断教学难点用克莱姆法则解非齐次线性方程组教学手段板书与多媒体、学习通相结合教学方法启发式与讲授式相结合1 学时教学时数教学过程一、复习引入引例：（营养食谱问题）一个饮食专家计划一份膳食，提供一定量的维生素C、钙和镁。其中用到3种食物，它们的质量用适当的单位计量。这些食品提供的营养以及食谱需要的营养如下表给出营养食谱问题单位食谱所含的营养（毫克）需要的营养总量营养(毫克）食物2食物3食物1102020100维生素C钙504010300镁301040200针对这个问题说明方程中的变量表示什么，列出方程组，再求解这个方程。提出问题，让学生列出方程组。[10x +20x+20x,=10050x+40x,+10x,=30030x+10x2+40x,=200这是中学学习的三元一次方程组，中学时我们用加减消元法来解出（让同学说出），今天我们学习一种新的解法。计算机与数学基础教学部罗敏娜-: 18
线性代数教案 第 1 章 行列式 计算机与数学基础教学部 罗敏娜 - 18 - 授课题目 §1.5 克莱姆法则 课次 1 教学目的 掌握克莱姆法则的内容，会用克莱姆法则解线性方程组。 教学重点 克莱姆法则的应用及齐次线性方程组解的判断 教学难点 用克莱姆法则解非齐次线性方程组 教学手段 板书与多媒体、学习通相结合 教学方法 启发式与讲授式相结合 教学时数 1 学时 教 学 过 程 一、复习引入 引例： (营养食谱问题) 一个饮食专家计划一份膳食，提供一定量的维生素 C、 钙和镁。其中用到 3 种食物，它们的质量用适当的单位计量。这些食品提供的营养 以及食谱需要的营养如下表给出 营养食谱问题 营养 单位食谱所含的营养（毫克） 需要的营养总量 食物 1 食物 2 食物 3 （毫克） 维生素 C 10 20 20 100 钙 50 40 10 300 镁 30 10 40 200 针对这个问题说明方程中的变量表示什么，列出方程组，再求解这个方程。 提出问题，让学生列出方程组。 这是中学学习的三元一次方程组，中学时我们用加减消元法来解出（让同学说出）， 今天我们学习一种新的解法。 1 2 3 1 2 3 1 2 3 10 20 20 100 50 40 10 300 30 10 40 200 x x x x x x x x x
线性代数教案第1章行列式二、讲授新课（一）线性方程组的基本概念从上面例子中概括为一般形式为：a+ax+.an,=ba21 +a222+.a2nx,=b(1)...amx+am2X2+.amm=bm其中x,2,x,是未知量，a,(i=1,2,.m,j=1,2.n)是未知量的系数，b,b..bm叫做常数项或方程的右端，注意：m与n未必相等.线性方程组（1）的解是指这样的一组数k,kz.k,，当用它们依次替换方程组（1）中的未知量x,x2.,x,时，方程组中的每个方程都成立．（1）称为非齐次线性方程组特例：1.如果b,=b,=..=bm=0,则（1）变成aux +a2x+..+anx,=0a2+a2++anx,=0(2)....am+am2/2++amX,=0（2）叫做非齐次线性方程组（1）的对应齐次线性方程组显然，X=0,x2=0,",x，=0是齐次线性方程组（2）的解，并称为（2）的零解，所以齐次线性方程组一定有解。a+ax+..anx.=ba2ix +a2x+.a2nx=b特例：2.当m=n时，方程组（1）变成anx,+anx+...am,=bn(3)叫做n阶线性方程组.这就是我们今天研究的重点内容。在n阶线性方程组（3）中，它的系数a,(i,j=1,2,..n)组成的计算机与数学基础教学部罗敏娜:19
线性代数教案 第 1 章 行列式 计算机与数学基础教学部 罗敏娜 - 19 - 二、讲授新课 （一）线性方程组的基本概念 从上面例子中概括为一般形式为： 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b （1） 其中 1 2 , ,., n x x x 是未知量， a i m j n ij 1,2,. ; 1,2,. 是未知量的系数， 1 2 , . m b b b 叫做常数项或方程的右端，注意： m 与 n 未必相等. 线性方程组（1）的解是指这样的一组数 1 2 , ,., n k k k ,当用它们依次替换方程组 （1）中的未知量 1 2 , ,., n x x x 时，方程组中的每个方程都成立. （1）称为非齐次线 性方程组, 特例：1. 如果 1 2 . 0, m b b b 则（1）变成 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x （2） （2）叫做非齐次线性方程组(1)的对应齐次线性方程组. 显然, 1 2 0, 0, , 0 n x x x 是齐次线性方程组（2）的解，并称为（2）的零解， 所以齐次线性方程组一定有解。 特例： 2. 当 m n 时 ， 方 程组 （ 1 ）变成 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 2 1 1 2 2 n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b （3） 叫做 n 阶线性方程组.这就是我们今天研究的重点内容。 在 n 阶线性方程组（3）中，它的系数 a i j n ij , 1,2,. 组成的
第1章行列式线性代数教案a2..ua2122.a2nD:称为方程组（3）的系数行列式:Janan2..amm（二）克莱姆法则1.课程思政：介绍科学家的故事克莱姆（1704--1752）瑞士数学家。生于日内瓦，卒于法国。早年在日内瓦读书，1724年起在日内瓦加尔文学院任教，1734年成为几何学教授，1750年任哲学教授。主要著作是《代数曲线的分析引论》（1750），首先定义了正则、非正则、超越曲线和无理曲线等概念，第一次正式引入坐标系的纵轴（Y轴），然后讨论曲线变换，并依据曲线方程的阶数将曲线进行分类。他在确定五个点的二次曲线方程的系数时，提出了本法则。即由线性方程组的系数确定方程组解的问题。2.定理1（Cramer法则）如果n元线性方程组的D≠0，则方程组的解存在，唯一；且解为D,j=1,,nx, =Dbraaij-1alj+1..ainb2a21a2na2j-la2j+1"..其中,D, =....anbnαnj-1anj+ann证明分二步：D,一是方程组的解，即代入第i个方程，验证左端等于右端b，即可，1）证明×,=一DD,2）对于方程组的任意解x,=Cj，j=1,,n，都成立c,j=l,",n,（略D证明）证明方法就是行列式按照行或列展开。证1）把D,按第j列展开，有计算机与数学基础教学部罗敏娜- 20 -
线性代数教案 第 1 章 行列式 计算机与数学基础教学部 罗敏娜 - 20 - 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a a a a D 称为方程组（3）的系数行列式. （二）克莱姆法则 1.课程思政：介绍科学家的故事 克莱姆（1704-1752）瑞士数学家。生于日内瓦，卒于法国。早年在日内瓦读 书，1724 年起在日内瓦加尔文学院任教，1734 年成为几何学教授，1750 年任哲学 教授。主要著作是《代数曲线的分析引论》(1750 )，首先定义了正则、非正则、超 越曲线和无理曲线等概念，第一 次正式引入坐标系的纵轴(Y 轴)，然后讨论曲线变 换，并依据曲线方程的阶数将曲线进行分类。他在确定五个点的二次曲线方程的系 数时，提出了本法则。即由线性方程组的系数确定方程组解的问题。 2.定理 1（Cramer 法则）如果 n 元线性方程组的 D 0, 则方程组的解存在，唯 一；且解为 j n D D x j j , 1,, 其中， n n j n n j n n j j n j j n j a a b a a a a b a a a a b a a D 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 证明 分二步： 1） 证明 D D x j j 是方程组的解，即代入第 i 个方程，验证左端等于右端 i b 即可， 2） 对于方程组的任意解 xj cj , j 1, ,n ，都成立 j n D D c j j , 1,, ，（略 证明） 证明方法就是行列式按照行或列展开。 证 1） 把 D j 按第 j 列展开，有
线性代数教案第1章行列式bkAwD, =b,A, +b,A2, +...+bnAn =k=1n把xbA代入方程组左端第i个方程，得（需要讲解和号的运算意义！）=D=17nal之b(2a/4)=1EbAn)=b.D=b,ZabAn=Za,DK=lDk=lD台Dj=lJ=""2a,A,等于D；而当k≠i时，（上面等号是当k=i时，ZagAg=0。j=l证2），由于x，=c,是解，故aic,+ai2C2+..+ainC,=b,a2iC,+a22C,+...+a2nC,=b,.........amC,+an2C+...+annC,=bnn个等式分别依次乘Ay,Aj，"",Am，再把n个等式的两端相加，得--ZaiA,)c,+.+(Ea,A,)c,+...+(EamA,)c,-)b,A,P1i]i=li=li=l上式左端只有c，的系数ZaA,=D，其余项的系数都为零，而右端1=lZb,Au=D,，于是i=1Dj=l,..,n.Dc,:CiD2.克莱姆法则应用（1）实际问题的应用例1：（营养食谱问题）一个饮食专家计划一份膳食，提供一定量的维生素C、钙和镁。其中用到3种食物，它们的质量用适当的单位计量。这些食品提供的营养以及食谱需要的营养如下表给出营养食谱问题单位食谱所含的营养（毫克）需要的营养总量营养（毫克）食物1食物2食物3维生素C102020100钙504010300镁301040200针对这个问题说明方程中的变量表示什么，列出方程组，再求解这个方程。计算机与数学基础教学部罗敏娜- 21 -
线性代数教案 第 1 章 行列式 计算机与数学基础教学部 罗敏娜 - 21 - , 1 1 1 2 2 n k Dj b A j b A j bn An j bk Akj 把 n k j bk Akj D x 1 1 代入方程组左端第 i 个方程，得（需要讲解和号的运算意义！） n k ij k kj n j n k k kj n j ij a b A D b A D a 1 1 1 1 1 ) 1 ( ( ) 1 1 1 n j ij kj n k bk a A D , 1 bi D bi D （上面等号是当 k i 时， n j aijAkj 1 等于 D ；而当 k i 时， n j aijAkj 1 0。 证 2）， 由于 j j x c 是解，故 n n n n n n n n n n a c a c a c b a c a c a c b a c a c a c b 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 ， n 个等式分别依次乘 A j A j Anj , , , 1 2 ，再把 n 个等式的两端相加，得 n i n i ij n i j in ij n i ij ij n i ai Aij c a A c a A c b A 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) . 上式左端只 有 j c 的系数 n i aij Aij 1 = D ， 其 余 项 的 系 数 都 为 零 ， 而 右 端 j n i bi Aij D 1 ，于是 Dcj Dj 。, j n D D c j j , 1,, 。 2.克莱姆法则应用 （1）实际问题的应用 例 1： (营养食谱问题) 一个饮食专家计划一份膳食，提供一定量的维生素 C、 钙和镁。其中用到 3 种食物，它们的质量用适当的单位计量。这些食品提供的营养 以及食谱需要的营养如下表给出 营养食谱问题 营养 单位食谱所含的营养（毫克） 需要的营养总量 食物 1 食物 2 食物 3 （毫克） 维生素 C 10 20 20 100 钙 50 40 10 300 镁 30 10 40 200 针对这个问题说明方程中的变量表示什么，列出方程组，再求解这个方程