沈阳师范大学：《线性代数》课程授课教案（讲义，共五章，授课教师：罗敏娜）

线性代数教案第1章行列式授课题目S1.4行列式展开定理课次：31.掌握行列式展开定理教学目的2.会用行列式展开定理计算行列式3.了解范德蒙行列式教学重点行列式的性质教学难点用性质计算行列式教学手段板书与多媒体结合教学时数2课时备注教学过程一、复习引入[a23a21a22a23=a2a3+a2a23a31+3a2a2[a3132a33aia23a32-ai223-a3a22=a1(aA3 -a23a2)+ a2(a23a3i -a2ia3)+ai3(a2i32 -a22a31)[a22a2s[a21a23[a21a2=au+a13a12[31a32[as1a3Ja32a33二、讲授新课（一）余子式与代数余子式定义1（余子式）在n阶行列式D中，划去位置（i，j）上元素α,所在的第i行和第j列元素，余下的元素按原顺序组成的n-1阶行列式，称作（α,所在）位置（i，j）的余子式，记作M,；称A,=(-1)i.M，为（a，所在）位置（i，j）的代数余子式。证明过程略讲10-130１2例1求行列式D=中的元素ai2,34,a44的余子式和代数余-350200子式.计算机与数学基础教学部罗敏娜-: 12 -

线性代数教案 第 1 章 行列式 计算机与数学基础教学部 罗敏娜 - 12 - 授课题目 §1.4 行列式展开定理 课次：3 教学目的 1.掌握行列式展开定理 2.会用行列式展开定理计算行列式 3.了解范德蒙行列式 教学重点 行列式的性质 教学难点 用性质计算行列式 教学手段 板书与多媒体结合 教学时数 2 课时 教 学 过 程 备注 一、复习引入 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a 11 22 33 12 23 31 13 21 32    a a a a a a a a a  a11a23a32  a12a21a33  a13a22a31 = ( ) ( ) ( ) 11 22 33 23 32 12 23 31 21 33 13 21 32 22 31 a a a a a a a a a a a a a a a      22 23 21 23 21 22 11 12 13 32 33 31 33 31 32 = a a a a a a a a a a a a a a a   二、讲授新课 （一）余子式与代数余子式 定义 1（余子式） 在 n 阶行列式 D 中，划去位置（ i ， j ）上元素 ij a 所在的第 i 行和第 j 列元素，余下的元素按原顺序组成的 n 1 阶行列式，称作（ ij a 所在） 位置（ i ， j ）的余子式，记作 M ij ；称 ij i j Aij    M  ( 1) 为（ ij a 所在）位 置（ i ， j ）的代数余子式。 例 1 求行列式 1 0 1 3 0 1 2 4 3 5 0 0 2 0 0 1    D 中的元素 12 34 44 a a a , , 的余子式和代数余 子式. 证明过程略讲

线性代数教案第1章行列式024A2 =(-1)*2 . Mi2 = -6解Mi2=-300=62201[10-1012=2A4 =(-1)** M34 = -2M34 =200[1 0 -1]12A4 =(-1)4+4. M44 = -13M4 =0=13-350引理若行列式D的某行（或某列）只有一个非零元素，如αi，则D=aid2da4a1a3a4a2122 2324例如=a32A32=-a3221a232404200a41a43a44[a4a4243 4l定理（展开定理）对于n阶行列式D，成立D=a,A,+a,2A,2+...+amAm,l<i<n（按第i行展开）或D=ay,A,+a2,A2, +...+aAjl<≤j≤n（按第j列展开）[ana2.......：证明D=a,ta....am1..Janan2...amaia12ain.....:::a+0+.+00+a2++00+0+...+am...an2an.....amn计算机与数学基础教学部罗敏娜-: 13 -

线性代数教案 第 1 章 行列式 计算机与数学基础教学部 罗敏娜 - 13 - 解 12 0 2 4 3 0 0 6 2 0 1 M      1 2 12 12 A M 1 6       34 1 0 1 0 1 2 2 2 0 0 M      3 4 34 34 A M 1 2       44 1 0 1 0 1 2 13 3 5 0 M        4 4 44 44 A M 1 13       引理 若行列式 D 的某行（或某列）只有一个非零元素，如 aij ，则 D  aij Aij 。 例如 41 42 43 44 32 21 22 23 24 11 12 13 14 0 0 0 a a a a a a a a a a a a a = 4 1 4 3 4 4 2 1 2 3 2 4 1 1 1 3 1 4 3 2 3 2 3 2 a a a a a a a a a a A  a 定理（展开定理） 对于 n 阶行列式 D ，成立 D  ai1Ai1  ai2Ai2  ain Ain , 1 i  n （按第 i 行展开） 或 D  a1 j A1 j  a2 j A2 j  an jAn j , 1 j  n （按第 j 列展开） 证明 11 12 1 1 2 1 2 n i i in n n nn a a a a a a a a a D  11 12 1 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 n i i in n n nn a a a a a a a a a          

线性代数教案第1章行列式[aan2..auna2......:::：0000+a2..+...+一1a..+...:1:Janam2..amanan2.....amana..a.:...00.am=aAi+aA2+...+amA.."anlan2.....amnkA (i=-1,2,...n)=Zaikk=ln类似地，可证明D=a,A,+a2,A,+..+amA.=ZaAn=l该定理叫做行列式按行（列）展开定理，也称为行列式的降阶展开式推论aA,+a2Aj2+...+amAm=0,i+j或auA,+a2A2,+..+amAm,=0,ij[12342431例2已知D=求A+A2 +Agi+A414132143212344331第1,3列解法1因为D=:0132对应项成比例1432D,与D的第1列元素的代数余子式相同，所以将D,按第1列展开可得Au+A1+A+A=0解法2因为D的第3列元素与D的第1列元素的代数余子式乘积之和为0,3A,+3A2,+3A,+3A4,=0,所以A,+A21+A,+A41=0注意在计算行列式时往往不急于展开计算，通常总是根据行列式的性质尽量把它的其中一行（列）中的更多元素变成零，然后对这一行（列)展开再加以计算.计算机与数学基础教学部罗敏娜- 14 -

线性代数教案 第 1 章 行列式 计算机与数学基础教学部 罗敏娜 - 14 - 11 12 1 1 1 2 0 0 n i n n nn a a a a a a a  11 12 1 2 1 2 0 0 n i n n nn a a a a a a a    11 12 1 1 2 0 0 n in n n nn a a a a a a a 1 1 2 2 in     a A a A a i i i i in . A   1 1,2,3,., n ik ik k a A i n     类似地，可证明 1 1 2 2 ni 1 . A n i i i i ni ki ki k a A a A a a A  D       . 该定理叫做行列式按行（列）展开定理，也称为行列式的降阶展开式. 推论 a A a A a A i j i1 j1  i2 j2  in jn  0,  或 a A a A a A i j 1i 1 j  2i 2 j  ni nj  0,  例 2 已知 1 2 3 4 2 4 3 1 4 1 3 2 1 4 3 2 D  , 求 A11  A21  A31  A41 . 解法 1 因为 1 1 2 3 4 1 4 3 1 1 1 3 2 1 4 3 2 D  第1,3列 对应项成比例 0 D1 与 D 的第 1 列元素的代数余子式相同,所以将 D1 按第 1 列展开可得 A11  A21  A31  A41  0 . 解法 2 因为 D 的第 3 列元素与 D 的第 1 列元素的代数余子式乘积之和为 0, 3A11  3A21  3A31  3A41  0 ，所以 A11  A21  A31  A41  0 注意 在计算行列式时往往不急于展开计算，通常总是根据行列式的性质 尽量把它的其中一行（列）中的更多元素变成零，然后对这一行(列)展开再加以 计算

线性代数教案第1章行列式1 -53-3201 -1例3计算D=1-123413133[1 -516 0-21ri+5r202011 -1-1解D=r-r1 -131-12n241 3 -1104-316200-2按第二列展开7i+2r1x(-1)3+221 -121-(-1)r3-4r-74 301[205]按第二列展开)2+255(-1)×(-./-7131 -1 21-53-4例4计算行列式D=201 -11 -53-32531 -11-1113Cj -2c313-5-11-1-4解D=0002101-1C4 +Cy1-5333-5(-5015514按第三行展开SC-11 12(-1)3+3-111-1--50-5-50按第三行展开-4(-5) ×(-1)**5)×(4-12) = 4044-[12 1例5证明范德蒙德（Vandermonde）行列式11...1XX2...X.D(x,x2,",x,)=X1sj<iSn.....72-X(n≥2)其中（x-x）表示所有因子(x-x)j<i的连乘积，详见s1.1.Isj<isn证明用数学归纳法计算机与数学基础教学部罗敏娜-· 15 -

线性代数教案 第 1 章 行列式 计算机与数学基础教学部 罗敏娜 - 15 - 例 3 计算 1 5 3 3 2 0 1 1 3 1 1 2 4 1 3 1       D . 解 1 5 3 3 2 0 1 1 3 1 1 2 4 1 3 1       D 1 3 4 3 r r5 r r   16 0 2 7 2 0 1 1 3 1 1 2 1 0 4 3     按第二列展开 3 2 16 2 7 1 ( 1) 2 1 1 1 4 3       1 2 3 2 2 4 r r r r   20 0 5 ( 1) 2 1 1 7 0 1    按第二列展开 2 2 20 5 ( 1) ( 1) 55 7 1        例 4 计算行列式 3 1 1 2 5 1 3 4 2 0 1 1 1 5 3 3        D . 解 3 1 1 2 5 1 3 4 2 0 1 1 1 5 3 3        D 1 3 4 3 c c2 c c   5 1 1 1 11 1 3 1 0 0 1 0 5 5 3 0      按第三行展开 3 3 5 1 1 ( 1) 11 1 1 5 5 0       2 1 c c  5 4 1 11 12 1 5 0 0     按第三行展开     1 3 4 1 ( 5) ( 1) 5 4 12 40 12 1            例 5 证明范德蒙德（Vandermonde）行列式 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 D( , , , ) n n n n n n n x x x x x x x x x x x x       1 i j j i n x x       ( 2) n  其中   1 i j j i n x x      表示所有因子  x x j i i j    的连乘积，详见§1.1. 证明 用数学归纳法

线性代数教案第1章行列式112-x = I1 (x-x)当n=2时，有D,==X,XX即当n=2时结论成立假设对于n-1阶范德蒙德行列式时成立，即D-=（x-xSj<iSn要证对n阶范德蒙德行列式，结论也成立为此，设法把D，降阶；从第n行开始，后行减去前行的x倍，有[1￥111..0-xX-X..X,-X...x.(x-x)D, =0 x(x -x)x(x-x)0x-2(2-x) g-2(x-) * x1-2(x,-x)11按第一列展开X专(xz -x)(x -x).-(x -x).-2-2上式是(n-1)阶范德蒙德行列式由假设2-x)(x-x)(x-x) (x,-x)= (x -x)j<isIsj<iSi计算n阶行列式，有时要用到数学归纳法，但是归纳法的主要步骤是不能省略的.1一11-11-例7计算行列式D=3927-2 4 -8113-1-解将该行列式转置DT，则该行列式为4阶范德194-1 27 -8蒙德行列式.计算机与数学基础教学部罗敏娜-: 16

线性代数教案 第 1 章 行列式 计算机与数学基础教学部 罗敏娜 - 16 - 当 n  2 时，有 2 1 1 2 1 1 x x x x D2       1 2 i j j i x x      即当 n  2 时结论成立. 假设对于 n 1 阶范德蒙德行列式时成立，即 Dn-1   1 1 i j j i n x x        要证对 n 阶范德蒙德行列式,结论也成立. 为此，设法把 Dn 降阶；从第 n 行开始，后行减去前行的 1 x 倍，有             2 1 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 2 2 2 2 1 3 3 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x              Dn 按第一列展开      2 3 2 1 3 1 1 2 2 2 2 3 1 1 1 n n n n n n x x x x x x x x x x x x       上式是 n 1 阶范德蒙德行列式 由假设  2 1 3 1 1       1 n i j j i n x x x x x x x x           1 i j j i n x x       计算 n 阶行列式,有时要用到数学归纳法,但是归纳法的主要步骤是不能省 略的. 例 7 计算行列式 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 9 27 1 2 4 8      D . 解 将该行列式转置 1 1 1 1 1 1 3 2 1 1 9 4 1 1 27 8 T      D ，则该行列式为 4 阶范德 蒙德行列式