线性代数教案第1章行列式推论3行列式中若有两行（或两列）对应元素成比例，其值为零。3221例如-6-4 -2=0。12-1性质4行列式成立，aja12..ain............asn+aa'i+a'as2+a'2.......an2aan!aii412ai2ain..ain....................as二asl十asnas2asas2.................annanlan2..annanan2（强调：只拆示一行，其余行不变）例如0[301[301311301-50-50-51 -501十50=二-210[0+1 1+1-2+11-21-1推论4如果行列式的某一行（列）的所有元素都是n个数的和组成，则此行列式等于n个行列式之和。即ai2aain...........0+a2+..+00+0+..+amaa+0++0...amanan2...ana1a2..ainaiaj2....:::0000+.+...+二..ai2ail.........:..anJanam[anan2an2[anainai2..R..00ain...[amlan2amn计算机与数学基础教学部罗敏娜- 7
线性代数教案 第 1 章 行列式 计算机与数学基础教学部 罗敏娜 - 7 - 推论 3 行列式中若有两行（或两列）对应元素成比例，其值为零。 例如 0 1 2 1 6 4 2 3 2 1 。 性质 4 行列式成立， n n n n s s s s sn sn n a a a a a a a a a a a a 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 n n n n s s s n n n n n n s s s n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 . （强调：只拆一行，其余行不变）例如 1 1 1 1 5 0 3 0 1 0 1 2 1 5 0 3 0 1 0 1 1 1 2 1 1 5 0 3 0 1 1 2 1 1 5 0 3 0 1 推论 4 如果行列式的某一行（列）的所有元素都是 n 个数的和组成，则此 行列式等于 n 个行列式之和. 即 11 12 1 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 n i i in n n nn a a a a a a a a a 11 12 1 1 1 2 0 0 n i n n nn a a a a a a a 11 12 1 2 1 2 0 0 n i n n nn a a a a a a a 11 12 1 1 2 0 0 n in n n nn a a a a a a a
线性代数教案第1章行列式利用性质3和性质4，又可得到下列性质。性质5r+元r来表示这一过程；若是列，则用记号c,+元c,来表示，行列式ainaan ai2.ai2...ain........"":.....as2asnasa.2asas1r+ir.....an+Nasta2 +Nas2am+Aastana2au152................anan2amnan2annant310的值不变，如1 -50=22，第二行的元素加上第三行元素的两倍（强[1 2-1调，第三行元素本身并不改变值），则有[3013 -1 -2=3+0+6-(-1)-0-(-12)=22。12-1（二）行列式的计算Ja 1 b-2b1b-2例1计算行列式D=c 1 c-2la 1 b-2a1-2C-Ci解D=b1b-261-22=0c 1 c-2c 1 -231111311例2计算行列式D=1131[1113[311131161311316C4+C+C2+CiH1解D=113113611161111312000020031=6×23=48.=6r2-r411310020r-r11计算机与数学基础教学部罗敏娜- 8-
线性代数教案 第 1 章 行列式 计算机与数学基础教学部 罗敏娜 - 8 - 利用性质 3 和性质 4，又可得到下列性质。 性质 5 t s r r 来表示这一过程；若是列，则用记号 t s c c 来表示，行列式 的值不变，如 22 1 2 1 1 5 0 3 0 1 ，第二行的元素加上第三行元素的两倍（强 调，第三行元素本身并不改变值），则有 3 0 6 ( 1) 0 ( 12) 22 1 2 1 3 1 2 3 0 1 。 （二）行列式的计算 例 1 计算行列式 1 2 1 2 1 2 a b b b c c D . 解 1 2 1 2 1 2 a b b b c c D 3 1 c c 1 2 1 2 1 2 a b c 0. 例 2 计算行列式 3 1 1 1 1 3 1 1 = 1 1 3 1 1 1 1 3 D . 解 3 1 1 1 1 3 1 1 = 1 1 3 1 1 1 1 3 D 4 3 2 1 c c c c 3 1 1 6 1 3 1 6 1 1 3 6 1 1 1 6 3 1 1 1 1 3 1 1 =6 1 1 3 1 1 1 1 1 1 4 2 4 3 4 r r r r r r 2 0 0 0 0 2 0 0 6 0 0 2 0 1 1 1 1 3 6 2 48 . n n n n t s t s tn s n s s s n n r r n n n n t t tn s s s n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a t s 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1
线性代数教案第1章行列式[13-2-13021D-例3计算行列式27-5-2[-1 1 21[13 -2[13-2-12-1r-2r02132130解D-27 -5-10-201r+r-1 1 2040O1[1-1-23C2C4031200-11ooo=-[1×3x(-1)×4]=12,14322x+464例4解方程=0.3-2x1[-325 -143213214r2-2r264000x+4x-4解由于-2003x01x+5r+r-35[-325-12-1-58132C -3c00x-40=5(x-4)(x+5)C2 +2c400x+50C, +5c,000-1于是原方程为5(x-4)(×+5)=0，解得x=4,=-5.Jabbbbb..bbba：例5计算n阶行列式D.=.bbb..abbbb..bba解把行列式的所有列乘1都加到第1列上得计算机与数学基础教学部罗敏娜- 9 -
线性代数教案 第 1 章 行列式 计算机与数学基础教学部 罗敏娜 - 9 - 例 3 计算行列式 1 3 -2 -1 0 2 1 3 = 2 7 -5 -2 -1 1 2 1 D . 解 1 3 -2 -1 0 2 1 3 = 2 7 -5 -2 -1 1 2 1 D 3 1 4 1 r r 2 r r 1 3 -2 -1 0 2 1 3 0 1 -1 0 0 4 0 0 2 4 c c 1 -1 -2 3 0 3 1 2 0 0 -1 1 0 0 0 4 1 3 ( 1) 4 12 . 例 4 解方程 1 4 3 2 2 4 6 4 0 3 2 1 3 2 5 1 x x . 解 由于 1 4 3 2 2 4 6 4 3 2 1 3 2 5 1 x x 2 1 3 4 r r 2 r r 1 4 3 2 0 4 0 0 0 0 5 0 3 2 5 1 x x 1 4 2 4 3 4 3 2 5 c c c c c c 5 8 13 2 0 4 0 0 5 4 5 0 0 5 0 0 0 0 1 x x x x 于是原方程为 5 4 5 0 x x ,解得 1 2 x x 4, 5 . 例 5 计算 n 阶行列式 a b b b b b a b b b b b b a b b b b b a Dn . 解 把行列式的所有列乘 1 都加到第 1 列上得
线性代数教案第1章行列式a+(n-1)bbbbbbb...bba+(n-1)ba:D. =bbaba+(n-1)bbba+(n-1)bba..1 bbb blb...bbQ=[α +(n - 1)b].....:lbb...abibb...ba[1 bb..bb2-ro α-b000r-r:[a + (n-1)b]::::*+*00000.α-br,-rJo000a-b=[a+(n-1)6](α-b)-.例6计算(n+1)阶行列式11..1αo..oioa..oDn+I =(a, +0,i=0,1, n) ：：：:10o..a解这是个“爪型”行列式，为了将其变成上三角形行列式，通常可以11 1一)，·第(n+1)列x(--一)，第3列×(--)都加到第1把行列式的第2列x(-aa2an列得-1111.1a台α.000n1a,Da+1I ==aa,..a,(00oa.a：：0oooa.l计算机与数学基础教学部罗敏娜- 10
线性代数教案 第 1 章 行列式 计算机与数学基础教学部 罗敏娜 - 10 - ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) a n b b b b b a n b a b b b a n b b b a b a n b b b b a Dn 1 1 ( 1) 1 1 b b b b a b b b a n b b b a b b b b a 2 1 3 1 n 1 r r r r r r 1 0 0 0 0 ( 1) 0 0 0 0 0 0 0 0 b b b b a b a n b a b a b 1 ( 1) ( )n a n b a b . 例 6 计算 ( 1) n 阶行列式 0 1 2 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0, 0,1, 1 0 0 i n a a a a i n a Dn+1 . 解 这是个“爪型”行列式，为了将其变成上三角形行列式，通常可以 把行列式的第 2 列 1 1 ( ) a ，第 3 列 2 1 ( ) a ，„第 ( 1) n 列 1 ( ) n a 都加到第 1 列得 0 1 1 2 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n i i n a a a a a Dn+1 1 2 0 1 1 ( ) n n i i a a a a a
线性代数教案第1章行列式三、巩固练习123456￥78的值。1.计算行列式D=（特征：行之间有公差）9101112131415161234[12345674444解=0。(r2 +(-1)r; r4 +(-1)rg)91011129101112444413141516la,a, +b,bicb, +cc, +a2.证明D=az+bzb,+C2=2×a2bC2C2 +a2a,+b3b, +c3ayb,CC3+as证明第一列元素分别加上第二、第三列元素，再提取第一列的公因子2a,+b,+cb,+cc, +a,D =2×(c, +(-1)c);C, +(-1)c)az +b, +C2b, +c2C, +aag+b,+cb,+cC+asa+b+c -a -bc-a-b2×c2-a,-b,az+b,+c-az-b(c +c;G +c)2×C-a-b[a+b,+c, -a,-babc=2xabc0a,b,C3四、小结1.行列式的五个性质，四个推论；2.计算行列式的方法（1）化为上三角形行列式：（2）计算不同类型的行列式。五、布置作业1.学习通1.3视频2.学习通1.3课后练习题3.学习通1.3作业教学反思：计算机与数学基础教学部罗敏娜- 11 -
线性代数教案 第 1 章 行列式 计算机与数学基础教学部 罗敏娜 - 11 - 三、巩固练习 1.计算行列式 13 14 15 16 9 10 11 12 5 6 7 8 1 2 3 4 D 的值。 （特征：行之间有公差） 解 0 4 4 4 4 9 10 11 12 4 4 4 4 1 2 3 4 ( ( 1) ; ( 1) ) 13 14 15 16 9 10 11 12 5 6 7 8 1 2 3 4 r2 r1 r4 r3 。 2.证明 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 a b b c c a a b b c c a a b b c c a D 3 3 3 2 2 2 1 1 1 2 a b c a b c a b c 证明 第一列元素分别加上第二、第三列元素，再提取第一列的公因子 2 2 ( ( 1) ; ( 1) ) 2 1 3 1 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 c c c c a b c b c c a a b c b c c a a b c b c c a D 3 3 3 2 2 2 1 1 1 1 2 1 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 ( ; ) 2 c a b c a b c a b c c c c a b c a b a b c a b a b c a b 3 3 3 2 2 2 1 1 1 2 a b c a b c a b c 。 四、小结 1.行列式的五个性质，四个推论； 2.计算行列式的方法： （1）化为上三角形行列式； （2）计算不同类型的行列式。 五、布置作业 1.学习通 1.3 视频 2.学习通 1.3 课后练习题 3.学习通 1.3 作业 教学反思：