线性代数教案第1章行列式由33=9个数组成的3行3列的3阶行列式，则按下列形式定义为一个数aa2a3a212223=2233+22331+3232D, =a31a32a3322—23322233一般2阶，3阶行列式的计算可按对角线法则得到。30111-510的值。23=0的根。例1（1）计算(2) 求X12-1x2491300= 221 -5解(1)1-121 1123(2)x= (x- 2)(x- 3) = 049x?三阶行列式定义的特征：(1)共有3！=6项相加，其结果是一个数；(2)每项有3个数相乘：aip2p,p，而每个数取自不同行不同列，即行标固定为123，列标则是1，2，3的某个排列PiP2P3；每项的符号由列标排列P-PzP,的奇偶性决定，即符号是（-1)(ppap)。(3)故三阶行列式可写成a1a2a13(-1)r(PiP2P3D, =二a2a22a23a2p.a3p3a31a3233注意对角线法则仅适用于2阶和3阶的行列式，下面我们介绍n阶行列式的定义及其计算方法.（二）n阶行列式定义2由n2个数排成n行n列，写成计算机与数学基础教学部罗敏娜2
线性代数教案 第 1 章 行列式 计算机与数学基础教学部 罗敏娜 - 2 - 由 3 9 3 个数组成的 3 行 3 列的 3 阶行列式，则按下列形式定义为一个数 D3 = 1 3 2 2 3 1 1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 一般 2 阶, 3 阶行列式的计算可按对角线法则得到。 例 1 （1）计算 1 2 1 1 5 0 3 0 1 的值。 （2）求 0 4 9 2 3 1 1 1 2 x x 的根。 解 （1） 22 1 2 1 1 5 0 3 0 1 （2） ( 2)( 3) 0 4 9 2 3 1 1 1 2 x x x x 三阶行列式定义的特征： （1） 共有 3！=6 项相加，其结果是一个数； （2） 每项有 3 个数相乘： 1p1 2 p2 3 p3 a a a ，而每个数取自不同行不同列，即行 标固定为 123，列标则是 1，2，3 的某个排列 p1 p2 p3 ； （3） 每项的符号由列标排列 p1 p2 p3 的奇偶性决定，即符号是 ( ) 1 2 3 ( 1) p p p 。 故三阶行列式可写成 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3! ( ) 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 3 ( 1) p p p p p p a a a a a a a a a a a a D 注意 对角线法则仅适用于 2 阶和 3 阶的行列式,下面我们介绍 n 阶行列式 的定义及其计算方法. （二） n 阶行列式 定义 2 由 2 n 个数排成 n 行 n 列，写成
线性代数教案第1章行列式ana2..ana2a22.. a2nD=(1)[anan2am称为n阶行列式，其中α为第i行，第j列的元素：其值为n!项，每一项取自不同行不同列的n个元素的连乘积，即a,a2im.的代数和.其中jj.j构成一个n级排列.若用D表示行列式，则D=Z（-1)hax2am(2)iia-J.2（-1)ha,2a%.表示当行标为标准排列时，对列标的每一种排列jiv2--J.所确定的项求和。（2）是（1）的展开式，从上面的分析及定义，可得到n阶行列式的另一种定义形式：定义3D=(-1)(-)a1ar2-agnii2-l.即把列标写成标准排列i2i，为行标的一个n阶排列.由此，得到行列式更一般的定义形式定义4 D=Z(-1)(b-(-)au%u.,其中i..i,为行标的一个n阶排列，jiJ.J,为列标的一个n阶排列强调：（1）n阶行列式的定义具有类似的三项特征，（2）位置与位置上的元素区别。若行标不按照自特别，定义一阶行列式（即n=1）为：[a/ = a o然顺序排列，如何确定符号？a421a22a23a24例 2四阶行列式D=共有多少项？乘积s12aa4ara4243a4i22432是D中的项吗？解共有4!=24项.乘积α2α24α32α4,不是D中的一项，因为其中有两个元素ai2，agz均取自第2列计算机与数学基础教学部罗敏娜-3
线性代数教案 第 1 章 行列式 计算机与数学基础教学部 罗敏娜 - 3 - 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a a a a D （1） 称为 n 阶行列式,其中 ij a 为第 i 行,第 j 列的元素；其值为 n! 项,每一项取自不同 行不同列的 n 个元素的连乘积,即 1 2 1 2 . n j j nj a a a 的代数和.其中 1 2. n j j j 构成一个 n 级排列. 若用 D 表示行列式，则 1 2 1 2 1 2 ( . ) 1 2 . ( 1) . n n n j j j j j nj j j j a a a D （2） 1 2 1 2 1 2 ( . ) 1 2 . ( 1) . n n n j j j j j nj j j j a a a 表示当行标为标准排列时，对列标的每一种排列 所确定的项求和.（2）是（1）的展开式，从上面的分析及定义，可得到 n 阶行 列式的另一种定义形式： 定义 3 1 2 1 2 1 2 ( . ) 1 2 . ( 1) . n n n i i i i i i n i i i a a a D ， 即把列标写成标准排列 1 2. n i i i 为行标的一个 n 阶排列.由此，得到行列式更一般 的定义形式. 定义 4 1 2 1 2 1 1 2 2 ( . ) ( . ) ( 1) . n n n n i i i j j j i j i j i j a a a D ， 其中 1 2. n i i i 为行标的一个 n 阶排列， 1 2. n j j j 为列标的一个 n 阶排列. 强调： （1） n 阶行列式的定义具有类似的三项特征， （2）位置与位置上的元素区别。 特别，定义一阶行列式（即 n 1 ）为： a11 a11 。 例 2 四阶行列式 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 a a a a a a a a a a a a a a a a D 共有多少项？乘积 12 24 32 41 a a a a 是 D 中的项吗？ 解 共有 4! 24 项. 乘积 12 24 32 41 a a a a 不是 D 中的一项，因为其中有两个元 素 12 a ， 32 a 均取自第 2 列. 若行标不按照自 然顺序排列，如何 确定符号？
线性代数教案第1章行列式x1121x1-1例3已知D=，求x的系数.132x[1 1 2xX1解由行列式的定义，展开式的一般项为(-1)(axa2,s,a4,要出现x的项，则α需三项取到x.显然行列式中含x的项仅有两项，它们是：即xx.x-1=x及(-1)r(1234)aa2243a44 及 (-1)(1243)aia2234a43(-1)-x-x-1.2x = -2x3故x的系数为1+(-2)=-1.（三）特殊行列式下面利用行列式的定义来计算几种特殊的n阶行列式1.对角行列式Ja090...00..00a22称D=为对角行列式：1：lo0..amm根据行列式的定义得[a100..0000anD==aua22am..:+000..am2.上三角形行列式aa2..ain0a22.a2n为上三角形行列式称D=...:00.am根据行列式的定义得aai2：ain0a22..a2nD==aa22**.am....oo..am3.下三角形行列式计算机与数学基础教学部罗敏娜- 4 -
线性代数教案 第 1 章 行列式 计算机与数学基础教学部 罗敏娜 - 4 - 例 3 已知 1 1 2 1 1 1 3 2 1 1 1 2 1 x x x x D ，求 3 x 的系数. 解 由行列式的定义，展开式的一般项为 1 2 3 4 1 2 3 4 ( ) 1 2 3 4 ( 1) j j j j j j j j a a a a 要出现 3 x 的项，则 i ij a 需三项取到 x .显然行列式中含 3 x 的项仅有两项，它们是： (1234) 11 22 33 44 ( 1) a a a a 及 (1243) 11 22 34 43 ( 1) a a a a 即 3 x x x x 1 及 3 ( 1) 1 2 2 x x x x 故 3 x 的系数为 1 ( 2) 1 . （三）特殊行列式 下面利用行列式的定义来计算几种特殊的 n 阶行列式. 1．对角行列式 称 11 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 nn a a a D 为对角行列式. 根据行列式的定义得 11 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 nn a a a D 11 22 nn a a a 2. 上三角形行列式 称 11 12 1 22 2 0 0 0 n n nn a a a a a a D 为上三角形行列式. 根据行列式的定义得 11 12 1 22 2 0 0 0 n n nn a a a a a a D 11 22 nn a a a 3. 下三角形行列式
线性代数教案第1章行列式Jai0000.a21a220称D=下三角形行列式.:::...an3am[anian2同理可得Ja000·00a2ia22D==aa22"*.am.......::an3.amanan24.副对角行列式00an00..a2,n--称D=为副对角行列式.....:a..o根据行列式的定义得00αm00·n(n-1)a2,n-1D==(-1)2aina2,n-1*..an-1,2anl::..00an三、巩固练习J00040431.计算行列式4324321[k342.k=?时,-1 k0=0.0l0k1四、小结1.行列式的定义；2.四种特殊行列式。五、布置作业1.学习通1.2视频2.学习通1.2课后练习题；3.学习通1.2作业教学反思：1.利用n阶行列式的定义求出行列式的项的正负号，这是学习的重点。2.对于上（下）三角形行列式的形式及值一定要熟悉。计算机与数学基础教学部罗敏娜- 5-
线性代数教案 第 1 章 行列式 计算机与数学基础教学部 罗敏娜 - 5 - 称 11 21 22 1 2 3 0 0 0 0 0 n n n nn a a a a a a a D 下三角形行列式. 同理可得 11 21 22 1 2 3 0 0 0 0 0 n n n nn a a a a a a a D 11 22 nn a a a 4. 副对角行列式 称 1 2, 1 1 0 0 0 0 0 0 n n n a a a D 为副对角行列式. 根据行列式的定义得 1 2, 1 1 0 0 0 0 0 0 n n n a a a D ( 1) 2 1 2, 1 1,2 1 1 n n n n n n a a a a 三、巩固练习 1.计算行列式 0 0 0 4 0 0 4 3 0 4 3 2 4 3 2 1 ； 2. 3 4 ? , 1 0 0 0 1 k k k k 时 ． 四、小结 1.行列式的定义； 2.四种特殊行列式。 五、布置作业 1.学习通 1.2 视频 2.学习通 1.2 课后练习题；3.学习通 1.2 作业 教学反思： 1.利用n阶行列式的定义求出行列式的项的正负号，这是学习的重点。 2.对于上（下）三角形行列式的形式及值一定要熟悉
线性代数教案第1章行列式授课题目81.3行列式的性质课次：21.掌握行列式的性质教学目的2.会用行列式的性质计算行列式教学重点行列式的性质教学难点用性质计算行列式教学手段板书与多媒体结合教学时数2课时教学过程备注一、复习引入ai2.anoa22..a2nD=等于主对角线上元素的乘积。:oo..am二、讲授新课（一）行列式的性质aa2.ainaa21..an举小例子说明各个性质a2a22..a2ma12a22...an2DT =D=从例子出发引出..性质[alan2amm[aina2n.ann转置行列式行列式D的行与列对应互换得到的新行列式，记作DT，若记D中(i,j)位置上的元素为b,，即成立b,=aj。D=DT。性质1性质1表明，对行成立的行列式性质，对列也同时成立。性质2任意对换行列式的两行（或两列）元素，其值变号。推论1两行（或两列）元素对应相同的行列式，其值为零。anauai2..auna12ain...................（给出具体三阶性质3NaNas2Nasn=astas2...asn.............-.-an2...amanannanan2行列式解释）推论2若行列式中某行（或等列）的元素全为零，则行列式的值为零。计算机与数学基础教学部罗敏娜- 6
线性代数教案 第 1 章 行列式 计算机与数学基础教学部 罗敏娜 - 6 - 授课题目 §1.3 行列式的性质 课次：2 教学目的 1.掌握行列式的性质 2.会用行列式的性质计算行列式 教学重点 行列式的性质 教学难点 用性质计算行列式 教学手段 板书与多媒体结合 教学时数 2 课时 教 学 过 程 备注 一、复习引入 11 12 1 22 2 0 0 0 n n nn a a a a a a D 等于主对角线上元素的乘积。 二、讲授新课 （一）行列式的性质 n n n n n n a a a a a a a a a D 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 n n n n n n T a a a a a a a a a D 1 2 12 22 2 11 21 1 转置行列式 行列式 D 的行与列对应互换得到的新行列式，记作 T D ， 若记 T D 中 (i, j) 位置上的元素为 bij ，即成立 bij = aji 。 性质 1 T D D 。 性质 1 表明，对行成立的行列式性质，对列也同时成立。 性质 2 任意对换行列式的两行（或两列）元素，其值变号。 推论 1 两行（或两列）元素对应相同的行列式，其值为零。 性质 3 n n n n s s s n n n n n n s s s n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 。 （给出具体三阶 行列式解释） 推论 2 若行列式中某行（或等列）的元素全为零，则行列式的值为零。 举小例子说明各 个性质 从例子出发引出 性质