第三节 协方差及相关系数1、、协方差和相关系数的概念二、协方差的性质三、相关系数的性质正相关(2)(1)(3)(4)L
第三节 协方差及相关系数 一、协方差和相关系数的概念 二、协方差的性质 三、相关系数的性质
前面我们介绍了随机变量的数学期望与方差。对于二维随机变量(X,Y)，除了讨论X与Y的数学期望和方差外，还需讨论描述X与Y之间相互关系的数字特征。这就是本节的内容协方差和相关系数
前面我们介绍了随机变量的数学期望与方 差。对于二维随机变量(X,Y)，除了讨论X与Y 的数学期望和方差外，还需讨论描述X与Y之间 相互关系的数字特征。这就是本节的内容
一、协方差和相关系数的概念1.问题的提出若随机变量X和Y相互独立那么D(X +Y)= D(X) +D(Y)若随机变量X和Y不相互独立D(X+Y)=E(X+Y)-[E(X+Y))=D(X)+D(Y)+2EI[X-E(X)I[Y-E(Y))协方差
一、协方差和相关系数的概念
2. 定义量E([X-E(X)I[Y-E(Y)}称为随机变量X与Y的协方差记为：Cov(X,Y)，即Cov(X,Y) = E([X - E(X)I[Y - E(Y)])又若D(X)0，D(Y)±0，则称Cov(X,Y)PxYJD(X)D(Y)为随机变量X与Y的相关系数px是一个无量纲的量
2. 定义 [ ( )][ ( )] ( , ) ( , ) [ ( )][ ( )] . ( ) 0 ( ) 0 ( , ) ( ) ( ) XY XY E X E X Y E Y X Y Cov X Y Cov X Y E X E X Y E Y D X D Y Cov X Y D X D Y X Y 量 称为随机变量 与 的协方差， 记为： ，即 又若 ， ，则称 为随机变量 与 的相关系数. 是一个无量纲的量
3.协方差的计算(1)定义法: COV(X,Y)= E{[X-E(X)I[Y-E(Y)I)ZE[x; - E(X)ly, - E(Y)]p(x,y,)ij+8[x -E(X)I[y - E(Y)lf(x, y)dxdy(2)公式法: COV(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y)证（2)：COV(X,Y) = E[X - E(X)I[Y - E(Y)])= EIXY - XE(Y)-YE(X)+ E(X)E(Y))=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)注：X,Y相互独立 =>cov(X,Y)=O
x E X y E Y f x y dxdy x E X y E Y p x y i j i j i j [ ( )][ ( )] ( , ) [ ( )][ ( )] ( , ) 3.协方差的计算 (1)定义法：COV(X,Y) E{[X E(X)][Y E(Y)]} 证(2): (2)公式法：COV(X,Y) E(XY) E(X)E(Y) COV(X,Y) E{[X E(X)][Y E(Y)]} E[XY XE(Y)YE(X) E(X)E(Y)] E(XY) E(X)E(Y) E(Y)E(X) E(X)E(Y) E(XY) E(X)E(Y) 注: X,Y相互独立 cov( X,Y) 0