第二节中心极限定理中心极限定理揭示了正态分布的普遍性。定理1（林德伯格-列维中心极限定理）设X...,X,,...独立同分布,且 E(X,)= μ,D(X)=2则对于任意的实数x，有EX, -nlimP2dt=(x)≤xn→cVno由该定理,当n很大时,就可以认为,X，近似服从正态分布N(nμ,no）
定理2(棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理)设nA是n重伯努利试验中事件A出现的次数，又A在每次试验中出现的概率为p(0< p<1),则对于任意的实数x.有n-nplimP≤ x=Φ()nLVnp(1 -p)[1,第次试验中 A出现证明令 x,=i= 1,2,..0,第i次试验中A没出现1由于E(X,)= p,D(X,)= p(1- p), i = 1,2,...并且nA = Z X i=l故由定理1，得证
根据该定理，若X ~ B(n,p),则当n很大时，有X -npPI≤x) ~Φ(x)/np(1- p)
例1将一枚硬币连续的抛掷1000次分别计算出现正面的次数大于530.550的概率解 设X为出现正面的次数,则有X ～B(1000 ,0.5)由棣莫弗-拉普拉斯定理，有PIX >530 1 = 1 - P[X ≤530 IX - 1000 × 0.5530-1000x0.5=1-PV1000 × 0.5 × 0.5V1000 ×0.5×0.530~1-Φ1-Φ(1.8974）=1-0.9706=0.0294V250同理50P[X > 550 } ~ 1 -@=1-Φ(3.1623)~0V250
例2某车间有同型号的机床200部.每部机器开动的概率为0.7.假定各机床开关是相互独立的.开动时每部机器要耗电能15个单位，问电厂最少要供应该车间多少单位电能.才能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产？解设X表示某一时刻机器开动的台数，则X ~ B(200 ,0.7)设电厂至少要供应x个单位的电能.则由题意.有xP/X≤≥0.9515由棣莫弗-拉普拉斯定理，有