方差第二节设有一批灯泡寿命为：一半约950小时，另一半约1050小时→平均寿命为1000小时：另一批灯泡寿命为一半约1300小时，另一半约700小时→平均寿命为1000小时；问题：哪批灯泡的质量更好？（质量更稳定）单从平均寿命这一指标无法判断，进一步考察灯泡寿命X与均值1000小时的偏离程度
第二节 方差 设有一批灯泡寿命为：一半约950小时，另一半约 1050小时→平均寿命为1000小时；另一批灯泡寿命为： 一半约1300小时，另一半约700小时→平均寿命为1000 小时； 问题：哪批灯泡的质量更好？(质量更稳定) 单从平均寿命这一指标无法判断，进一步考察灯泡寿命 X与均值1000小时的偏离程度
我们需要引进一个量来描述r.v.X的取值分散程度，即X的取值与E(X)的偏离程度偏离的度量：X- E(X)平均偏离：E(X-E(X))绝对值（不好研究）
我们需要引进一个量来描述r.v.X的取值分散程 度，即X的取值与E(X)的偏离程度 偏离的度量： X E(X) 平均偏离： E X E(X) 绝对值（不好研究）
一、方差的概念(大)平方 (大)但是，绝对值所以我们研究方差E(X - E(X))定义1设X是一随机变量，若E(X-E(X))存在，则称之为X的方差。记为D(X)或Var(X):即D(X)= E(X - E(X)称α(X)=/D(X)为标准差或均方差。方差实际上是一个特殊的函数g(X) =(X-E(X))2 的期望
但是，绝对值（大 ） 平方（大) 所以我们研究 2 E X E X ( ( )) 方差 定义1 设X是一随机变量， 2 D X E X E X ( ) ( ( )) 称(X) D(X) 为标准差或均方差。 2 若 E X E X ( ( )) 存在，则称之为X的方差。记为D(X)或Var(X)， 即 方差实际上是一个特殊的函数 g(X) =(X-E(X))2 的期望 一、方差的概念
对于离散型随机变量X，其分布律为：P(X=xk)=Pkk=1,2,D(X) =Z[x- E(X)}° pk对于连续型随机变量X，其概率密度为f(x)D(X)= ([x-E(X)}’ f(x)dx此外，利用数学期望的性质，可得方差得计算公式（常用）：D(X)= E(X2)-[E(X))事实上, D(X)= E[X -E(X)P} =E(X? -2XE(X)+[E(X)}P)= E(X)-2E(X)E(X)+[E(X)} = E(X2)-[E(X)]
对于离散型随机变量X， ( ) 1,2, 其分布律为：P X x p k k k 2 1 ( ) [ ( )] k k k D X x E X p 其概率密度为f x( ), 2 事实上， ( ) [ ( )] D X E X E X 2 D X x E X f x dx ( ) [ ( )] ( ) 2 2 D X E X E X ( ) ( ) [ ( )] 2 2 E X XE X E X 2 ( ) [ ( )] 2 2 E X E X E X E X ( ) 2 ( ) ( ) [ ( )] 2 2 E X E X ( ) [ ( )] 对于连续型随机变量X， 此外，利用数学期望的性质，可得方差得计算公式(常用)：
例1：设随机变量X具有数学期望E(X)=μ方差D(X)=α2 0, 记x"_X-μa证明：E(X*)=0，D(X*)=1，称X*为X的标准化变量证: E(X*)=1 E(X-μ)=[E(X)-μ]=0D(X*)= E(X*)-[E(X")]X-")] = E[(X -μ)]= E[(-PO
例1：设随机变量X具有数学期望 E X( ) * * * 证明： ， ，称 为 的标准化变量 E X D X X X ( ) 0 ( ) 1 * 1 E X E X ( ) ( ) 证： 2 * ( ) 0 X D X X 方差 ，记 1 [ ( ) ] 0 E X 2 * * * 2 ( ) ( ) [ ( )] D X E X E X 2 2 1 E X[( ) ] 2 [( ) ] X E 2 2 1