《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第六章 数理统计的基本概念 第一节 基本概念

第六章数理统计的基本念福基本概念抽样分布未知分布的估计

第六章 数理统计的基本概念 一、基本概念 二、抽样分布 三、未知分布的估计

■引言：数理统计学是一门关于数据收集、整理、分析和推断的科学。在概率论中已经知道，由于大量的随机试验中各种结果的出现必然呈现它的规律性，因而从理论上讲只要对随机现象进行足够多次观察，各种结果的规律性一定能清楚地呈现，但是实际上所允许的观察永远是有限的，甚至是少量的。例如：若规定灯泡寿命低于1000小时者为次品，如何确定次品率？由于灯泡寿命试验是破坏性试验不可能把整批灯泡逐一检测，只能抽取一部分灯泡作为样本进行检验，以样本的信息来推断总体的信息，这是数理统计学研究的问题之一。?

2 引言： 数理统计学是一门关于数据收集、整理、分析和 推断的科学。在概率论中已经知道，由于大量的随机 试验中各种结果的出现必然呈现它的规律性，因而从 理论上讲只要对随机现象进行足够多次观察，各种结 果的规律性一定能清楚地呈现，但是实际上所允许的 观察永远是有限的，甚至是少量的。 例如：若规定灯泡寿命低于1000小时者为次品， 如何确定次品率？由于灯泡寿命试验是破坏性试验， 不可能把整批灯泡逐一检测，只能抽取一部分灯泡作 为样本进行检验，以样本的信息来推断总体的信息， 这是数理统计学研究的问题之一

第一节基本概念一、总体、个体与样本总体：研究对象的全体。如一批灯泡。个体：组成总体的每个元素。如某个灯泡。抽样：从总体X中抽取有限个个体对总体进行观察的取值过程。随机样本：随机抽取的n个个体的集合（X，X2，，X），n为样本容量简单随机样本：满足以下两个条件的随机样本（X1X2，X）称为简单随机样本。1.每个X，与X同分布2.X,X2，X是相互独立的随机变量［说明]：后面提到的样本均指简单随机样本，由概率论知，若总体X具有概率密度f（x），则样本（X，X2X）具有联合密度函数：f.(,x2,x)-I1f(x)3=l

3 一、总体、个体与样本 总体：研究对象的全体。如一批灯泡。 个体：组成总体的每个元素。如某个灯泡。 抽样：从总体X中抽取有限个个体对总体进行观察的取值过程。 随机样本：随机抽取的n个个体的集合(X1,X2,.,Xn), n为样本容量 简单随机样本：满足以下两个条件的随机样本(X1,X2,.,Xn)称 为简单随机样本。 1. 每个Xi与X同分布 2. X1,X2,.,Xn是相互独立的随机变量 [说明]：后面提到的样本均指简单随机样本，由概率论知，若总体X 具有概率密度f(x)， 则样本（X1,X2,.,Xn）具有联合密度函数：  1 2    1 , , n n n i i f x x x f x   第一节 基本概念

二、 统计量：统计量：样本的不含任何未知参数的函数常用统计量：设（X，Xz，，X）为取自总体X的样本1. 样本均值 X=1X（二）设X,X,X,是总体X的样本，若2: 样本方差 S°=(X,-X),S为样本标准差E(X)= μ, D(X)=α2,则E(X)=μk阶矩：4=x(k=1,2.…)3.样本矩D(X) =0? /n, E(S2)=α?k阶中心矩: B =↓Z(X,-X)°(k=1,2.)思考题：（一）设在总体N（u）中抽取样本（X,XX）,其中u知，未知指出在 (1) X, +X, +X, (2) X, +2μ (3) max(Xj,X2,X,)(4）X（5）X,-X|中哪些是统计量，哪些不是统计量，为什么4答：只有（4）不是统计量

4 二、统计量 统计量：样本的不含任何未知参数的函数。 常用统计量：设（X1,X2,.,Xn）为取自总体X的样本                 2 2 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 3 2 2 3 1 1 , , , , 1 X 2 X 2 3 max , , 1 4 5 i i N X X X X X X X X X X X             思考题：(一)设在总体 中抽取样本 其中 已知， 未知 指出在 中哪些是统计量，哪些不是统计量， 为什么？ 1 1 1. X n i i X n  样本均值       1 1 1 3. 1,2, 1 ( ) 1,2, n k k i i n k k i i k A X k n k B X X k n          样本矩 阶矩： 阶中心矩： 2 2 1 1 2. ( ) , 1 n i i S X X S n    样本方差   为样本标准差 2 2 2 , ,., ( ) , ( ) ( ) _, ( ) _, ( ) _. X Xn X E X D X E X D X E S        （二）设 1 X 是 总体 的样本，若 ， 则 答：只有(4)不是统计量。  2  n 2 

三、随机变量独立性的两个定理定理6.l：设X,X2，"X,是相互独立的n个随机变量，又设y=g (x,,x),(x,",x)eR",i=1,2,是k个连续函数,且有n+n,+...+nk=n，则k个随机变量：Y, =gi(X,*-, X.),Y, = g2(Xn.+,*., X.),..,Yr = gk(X..+,**, X,是相互独立的。定理6.2:设t个随机变量(Xn,Xm)(Xi,,X,）是相互独立的,又设对每一个i=1,2,,t,n个随机变量X,,,X,是相互独立的，则随机变量Xu,XnlXir",X,是相互独立的。5

5 三、随机变量独立性的两个定理           1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 6. , , , , , , , , , , , 1,2, , , , , , , , 1 , i i i k n n i n n k Y g X X Y g X X n n n k k n n n X X n y g x x x x R i k k n n n g X n k Y X                设X 是相互独立的 个随机变量， 定 又设 是 个连续函数， 且有 则 个随机变量： 是相互 理 ： 独立的。     1 1 11 1 1 11 1 1 1 , , , , 1,2, , , , , , , , 6 , 2 , . t i t n t n t n n t i n i t i t X X X X i t n X X X X  设 个随机变量 是相互独立的， 又设对每一个 个随机变量X 是相互独立的， 定理 ： 则随机变量X 是相互独立的