《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第三章 多维随机变量及其分布 第五节 两个随机变量函数的分布

概率论与教理统计第五节两个随机变量函数的分布主要内容：1.Z+Y的分布；2.Z=X/Y的分布、Z=XY分布;3. M=max {X,Y)及N=min[{X,Y) 的分布

第五节 两个随机变量函数的分布 主要内容： 1.Z+Y的分布； 2.Z=X/Y的分布、Z=XY分布； 3.M=max{X,Y}及N=min{X,Y}的分布

概率论与教理统针引言在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论：当随机变量X，Y的联合分布已知时，如何求出它们的函数Z= g (X, Y)的分布?

在第二章中，我们讨论了一维随机变量 函数的分布，现在我们进一步讨论: 当随机变量 X, Y 的联合分布已知时，如何 求出它们的函数 Z = g ( X, Y ) 的分布? 引言

一、Z=X+Y的分布概率论与教理统计离散型情形例1 若X、Y独立，P(X=k)=ak,k=0 ,1,2,...P(Y=k)=bk, k=0,1,2,.…. ,求 Z=X+Y 的概率函数解P(Z =r)= P(X+Y=r)-P(X=i,Y=r-i)i=0ZP(X=i)P(Y=r-i)i=0r=0,1,2, ..由独立性=aob,+a,br-1+...+a,bo

例1 若 X、Y 独立，P(X=k)=ak , k=0 , 1 , 2 ,., P(Y=k)=bk , k=0,1,2,. ,求 Z=X+Y 的概率函数. 解 P(Z  r)  P(X Y  r)      r i P X i P Y r i 0 ( ) ( ) =a0br +a1br-1+.+arb0      r i P X i Y r i 0 ( , ) 由独立性 r=0,1,2, . 一、 Z X Y   的分布 离散型情形

概率论与数理统计例2 若 X和 Y相互独立,它们分别服从参数为α,α,的泊松分布,证明Z=X+Y服从参数为2, + 2,的泊松分布解?依题意-M2i=0,1,2,..P(X =i)i!m2P(Y = i)j=0,1,2,..?j!于是P(Z=r)=P(X=i,Y=r-i)i=-0

解 依题意       r i P Z r P X i Y r i 0 ( ) ( , ) 例2 若 X 和 Y 相互独立,它们分别服从参数为 的泊松分布, 证明Z=X+Y服从参数为 于是 i = 0 , 1 , 2 , . j = 0 , 1 , 2 , . ! ( ) i e P X i i 1 1     ! ( ) j e P Y j j 2 2     1 2 λ , λ 1 2 λ  λ 的泊松分布

概率论与数理统计ZP(X=i,Y=r-i)P(Z =r) = i=02-1-元e?1(r -i)!i=0(2+2r!Wi2125i! (r -i)!+(2+2),r=0,1,.r!即Z服从参数为,＋2的泊松分布

      r i P Z r P X i Y r i 0 ( ) ( , )    r i 0 r-i - 2 i - 1 (r -i)! e i! e 1 2         r r i e 0 r-i 2 i 1 ( ) i!(r -i)! r! ! 1 2     ( ) , ! 1 2 ( ) 1 2 r r e         r = 0 , 1 , . 即Z服从参数为 的泊松分布. 1 2 λ  λ