《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第三章 多维随机变量及其分布 第二节 边缘（边际）分布

分布边缘第二节（边际）一、边际分布函数二、离散型随机变量的边际分布列三、连续型随机变量的边际分布密度函数四、n为随机变量的边际分布

第二节 边缘（边际）分布 一、边际分布函数 二、离散型随机变量的边际分布列 三、连续型随机变量的边际分布密度函数 四、n为随机变量的边际分布

二维联合分布全面地反映了二维随机变量（X,Y）的取值及其概率规律.而单个随机变量X,Y也具有自已的概率分布.那么要问：二者之间有什么关系呢？这一节里，我们就来探讨这个问题

二维联合分布全面地反映了二维随机变量 （X,Y）的取值及其概率规律.而单个随机变量 X,Y也具有自己的概率分布.那么要问：二者之 间有什么关系呢？ 这一节里，我们就来探讨这个问题

一、边际分布函数二维随机变量(X,Y)作为整体，有分布函数文 F(x,y)其中X和Y都是随机变量，也各有自已的分布函数，分布记为：F(x)，F(y)，依次称为二维随机变量(X,Y)关于x和Y边际分布函数，Fx(x) = F(x, +o0)F(y) = F(+o0, y)事实上，Fx(x)= P(X ≤x) = P(X ≤x, Y <+o0)= F(x, +o0)即在分布函数F(x,y)中令y→+80，就能得到F(x)同理得: Fy(y)= P(Y≤y)= F(+0,y)

一、边际分布函数 二维随机变量(X,Y)作为整体，有分布函数 其中X和Y都是随机变量，也各有自己的分布函数，分布记 为： 依次称为二维随机变量(X,Y)关于X和Y边 际分布函数. F x y ( , ), ( ) ( ) F x F y X Y ， ， ( ) ( , ) ( ) ( , ) X Y F x F x F y F y     ( ) ( ) ( , ) 同理得：F y P Y y F y Y     ( ) ( ) ( , ) ( , ) F x P X x P X x Y F x X         ( , ) ( ) 即在分布函数 中令 ，就能得到 F x y y F x   X 事实上

二、离散型随机变量的边际分布列设二维离散型随机变量(X,Y)的分布列为：P(X = x, Y= y,)= Py, i, j =1,2,..则X，Y的边缘分布律为：记为P(X =x,)= P(X = x, Y= y,)=Zp, == p.. i= 1,2,..1=记为P(Y=y,)= P(X = x, Y=y,)-Zp, == p., j =1,2,...i=1P(X=x,)Vy1y2yXX..X.....Pi.P11P12记号p.中.表示p.是由p关于P2.P21P2°j求和后得到的；同样p.是由RP:P,关于求和后得到的；P(Y=y))P.P

设二维离散型随机变量(X,Y)的分布列为： 则X,Y的边缘分布律为： ( ) , 1,2, P X x Y y p i j i j ij     ， ， 1 ( ) ( ) 1,2, i i j ij i j P X x P X x Y y p p i          记为 ， == 1 ( ) ( ) 1,2, j i j ij j i P Y y P X x Y y p p j          记为 ， == i i ij j ij p p p j p p i 记号 中 表示 是由 关于  求和后得到的；同样 是由 关于 求和后得到的； . . . . . . . . . . p 11 p 12 . p 1j . p1· 1 x p 21 p 22 . p 2j . p2· 2 x p i1 p i2 . p ij . pi · i x X Y y1 y2 . yj .P X x   i p ·1 p·2 p  j . .j . 1 P Y y  二、离散型随机变量的边际分布列

我们常在表格上直接求边缘分布律XYY1J2V3Pi80Pt1P42P13ZA=PujPiX1j=18P2P23P21P22Zp2jX2三j=1Cp.jPiP2P.31188ZpilZpi3i-1i-1

我们常在表格上直接求边缘分布律       2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 p p p p p p j p X Y y1 y2 y3  p1 p2 p3   1 x1 x2  1 p p2 pi     1 1 j j p     1 2 j p j     1 1 i i p     1 3 i i p