西安交通大学EEANJIROTONGNIVEESTY3.围线Cs只包围极点不包围零点这种情况如图所示，如果围线Cs包围一个极点，则当变点s沿C。顺时针绕行一周时，因子(s+0)-"的辐角-β将变化360°。映射到F(S)平面上，围线CE应逆时针包围原点一次。2L1.5s平面1BCA-0.5HDP0Oβ-0.5-1EFGAC,顺时针-1.5B-2-1 -0.500.5A1.522.53同理，当围线C的内域只包含P个极点时，CE应逆时针包围原点13P次，或者说，CF顺时针包围原点一P次
13 ⒊ 围线CS只包围极点不包围零点 这种情况如图所示，如果围线CS包围一个极点 ，则当变点s沿CS 顺时针绕行一周时，因子(s+0)-1的辐角-b将变化360°。映射到 F(S)平面上，围线CF应逆时针包围原点一次。 同理，当围线CS的内域只包含P个极点时， CF应逆时针包围原点 P次，或者说， CF顺时针包围原点－P次。 A B C D G F E H − 2 −1 s平面 CS顺时针 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 A B C D E F G H b
西安交通大学IE'ANJIROTONGNIVEESTY4.围线Cs包围Z个零点和P个极点由上述讨论显然可知，当变点s沿Cs顺时针绕行一周时，CE应顺时针包围原点Z一P次。亦即C.顺时针包围原点次数N=Z一P。这就是所谓辐角原理21.5s平面1EBAc0.5GDH0DHAO-0.5-1-1EGF-1.5C,顺时针B-2-1 -0.500.511.522.5314
14 ⒋ 围线CS包围Z个零点和P个极点 由上述讨论显然可知，当变点s沿CS顺时针绕行一周时，CF应顺 时针包围原点Z－P次。亦即CF顺时针包围原点次数N=Z－P。 这就是所谓辐角原理。 A B C D E G F H − 2 −1 s平面CS顺时针 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 A B C D E F H G
西安交通大学EEANIIAOTONGUNIYEESITY「柯西辐角原理l：S平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线Cs包围S平面上F(s)的Z个零点和P个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲线Cs移动一周时，在F(s)平面上映射的封闭曲线CE将以顺时针方向绕原点旋转N圈。N，Z，P的关系为：N=Z一P。若N为正，表示CF顺时针运动，包围原点；若N为0，表示C顺时针运动，不包围原点：若N为负，表示C逆时针运动，包围原点。15
15 [柯西辐角原理]：S平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线CS包 围S平面上F(s)的Z个零点和P个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲 线CS移动一周时，在F(s)平面上映射的封闭曲线CF将以顺时针方 向绕原点旋转N圈。N，Z，P的关系为：N=Z－P。 若N为正，表示CF顺时针运动，包围原点； 若N为0，表示CF顺时针运动，不包围原点； 若N为负，表示CF逆时针运动，包围原点
西安交通大学E'ANRNRRS二、奈奎斯特稳定判据：奈奎斯特当年就是巧妙地应用了辐角原理得到了奈奎斯特稳定判据。设系统结构图如图所示G(s)=G(s)H(s)R(s)C(s)G(s)G(s)Φ(s) =1 +G(s)H(s)H(s)M,(s)M,(s)G(s)H(s)N,(s)N,(s)M,(s)M,(s)则开环传递函数为：G(s)(a)N,(s)N,(s)M,N2(b)闭环传递函数为：Φ(s)=M,M, +N,N216
16 二、奈奎斯特稳定判据： 奈奎斯特当年就是巧妙地应用了辐角原理得到了奈奎斯特 稳定判据。设系统结构图如图所示 G (s) G(s)H(s) k = 1 ( ) ( ) ( ) ( ) G s H s G s s + = R(s) C(s) G(s) H(s) − 令： ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 N s M s H s N s M s G s = = 则开环传递函数为： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 N s N s M s M s G s k = . (a) 闭环传递函数为： 1 2 1 2 1 2 ( ) M M N N M N s + = . (b)
西安交通大学E'ANJIROTONGENIVEESTY将闭环特征式与开环特征式之比构成一个复变函数，得：M, M2M,M, +N,N2=1+GH=1+Gk....cF(s)=14N,N2N,N2显然，令复变函数等于零即是闭环特征方程。复变函数的阶数为n阶，且分子分母同阶。则复变函数可写成以下形式：II(s+z)F(s)= _i=l。式中，一zi,-p,为F(s)的零、极点。I(s+ p,)j=1由上页(a)、(b)及(c)式可以看出：F(s)的极点为开环传递函数的极点;F(s)的零点为1闭环传递函数的极点：17
17 显然，令复变函数等于零即是闭环特征方程。复变函数的 阶数为n阶，且分子分母同阶。则复变函数可写成以下形式： = = + + = n j j n i i s p s z F s 1 1 ( ) ( ) ( ) 。式中，− zi ,− pj 为F(s)的零、极点。 由上页(a)、(b)及(c)式可以看出： F(s)的极点为 F(s)的零点为 将闭环特征式与开环特征式之比构成一个复变函数，得： G H Gk N M N M N N M M N N F s = + = + = + + ( ) = 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 .(c) 开环传递函数的极点； 闭环传递函数的极点；