西安交通大学IE'ANJIAOTONGUNIYEESITY第三节参量根轨迹
1 第三节 参量根轨迹
西安交通大学EEANJIROTONGENIVEESTY4.3参量根轨迹上一节讨论了开环根轨迹增益K变化时系统的闭环根轨迹。在实际系统设计中，还常常碰到其它参数变化时对闭环特征方程的影响。比如，特殊的开环零、极点，校正环节的参数等。需要绘制除K。以外的其它参数变化时闭环系统特征方程根的轨迹，就是参量根轨迹绘制参量根轨迹的例子：如下图，绘制开环极点-p变化时的参量根轨迹（设K。=4）KgC(s)R(s)解]：闭环传递函数为：s(s+p)Kg4Φ(s):三+ps+Kgs? + ps + 492
2 上一节讨论了开环根轨迹增益 变化时系统的闭环根 轨迹。在实际系统设计中，还常常碰到其它参数变化时对 闭环特征方程的影响。比如，特殊的开环零、极点，校正 环节的参数等。 Kg 需要绘制除Kg以外的其它参数变化时闭环系统特征方 程根的轨迹，就是参量根轨迹。 s(s p) Kg - + R(s) C(s) [解]：闭环传递函数为： 4 4 ( ) 2 2 + + = + + = s ps K s ps K s g g 绘制参量根轨迹的例子：如下图，绘制开环极点-p变化时 的参量根轨迹（设Kg=4）。 4.3 参量根轨迹
西安交通大学EEANJIROTONGENIVEESTY4.3参量根轨迹ss?+ps+4=0=p特征方程为：s? +4II(s + z)i=K.-1此式与前述的根轨迹方程形式完全相同。II(s + p) j=1SP2+4相当于开环传递函数，称为等效开环传递函数。参数p称为等效根轨迹增益。画出p从0→o时的根轨迹如下3
3 特征方程为： 1 4 4 0 2 2 = − + + + = s s s ps p 相当于开环传递函数，称为等效开环传递函数。 参数p称为等效根轨迹增益。画出p从0→∞时的根轨迹如下： 4 2 s + s p 1 ( ) ( ) 1 1 = − + + = = n j j m i i g s p s z 此式与前述的根轨迹方程形式 K 完全相同。 4.3 参量根轨迹
西安交通大学EEANJLAOTONAENIVEESTY4.3参量根轨迹3口根轨迹有两支，起点为土2j，终点2一为0的零点，另一为无穷远零点。10口实轴上根轨迹为负实轴；-1-2-3元元-3-2-101口出射角：θ =元元(j2极点)2元79.=元(-j2极点)24
4 4.3 参量根轨迹 ❑实轴上根轨迹为负实轴； ❑根轨迹有两支，起点为±2j，终点 一为0的零点，另一为无穷远零点。 -3 -2 -1 0 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 ❑出射角： ) ( 2 ) 2 2 ( 1 j 极点 = + − = )] ( 2 ) 2 2 [( 2 = + − − − = − j 极点 （
西安交通大学EEANJIROTONGNIVEESTY4.3参量根轨迹3口分离点和会合点：2根据 N(s)D(s)-N(s)D'(s)=01N(s)= S, N'(s)=l; D(s)= s2 +4, D(s)=2s0:.1x(s2+4)-2s×s=0， 解得： s=2-1对应p=±4，取p=+4，=一2为会合点。-2元-3会合角为:0g2-30-2-11由根轨迹可见在复平面上的根轨迹是半个圆，对应0<p<4。ppC由二阶系统特征方程可见：p=2のn，解得420n即0<p<4时 0<<1，这对应于欠阻尼情况。5
5 N(s) s N (s) 1 D(s) s 4 D (s) 2s 2 = ， = ； = + ， = 1(s + 4) − 2ss = 0，解得：s = 2 2 会合角为： 。 2 d = 对应p=±4，取p=+4，s =－2为会合点。 由根轨迹可见在复平面上的根轨迹是半个圆，对应0<p<4。 由二阶系统特征方程可见： ，解得 即 时 ，这对应于欠阻尼情况。 p = 2n 2 4 p p n = = 0 p 4 0 1 -3 -2 -1 0 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 ❑分离点和会合点： 根据 N(s)D(s) − N(s)D(s) = 0 4.3 参量根轨迹