西安交通大学IE'ANJLROTONANIYEESTY第五节系统的稳定性和代数稳定判据
1 第五节 系统的稳定性和代数稳定判据
西安交通大学IE'ANJLAROTONAENIVEESTY稳定的充要条件和属性3.5系统的稳定性和代数稳定判据一、，稳定的基本概念和线性系统稳定的充要条件口稳定的基本概念：设系统处于某一起始的平衡状态。在外作用的影响下，离开了该平衡状态。当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到原来的起始平衡状态，则称这样的系统为稳定的系统。否则为不稳定的系统。2
2 3.5 系统的稳定性和代数稳定判据 一、稳定的基本概念和线性系统稳定的充要条件 稳定的充要条件和属性 ❑ 稳定的基本概念： 设系统处于某一起始的平衡状态。在外作用的影响下，离 开了该平衡状态。当外作用消失后，如果经过足够长的时间它 能回复到原来的起始平衡状态，则称这样的系统为稳定的系统 。 否则为不稳定的系统
西安交通大学IE'ANJLAROTONAENIVEESTY稳定的定义和定理3.5系统的稳定性和代数稳定判据定义1：对于线性定常系统，在任何一组初始条件下，若输入x(t)=0，当t→oo时，系统的输出及其各阶导数为零，即lim y(t) = lim y'(t) = ... = lim y(n-I)(t) = 0则称该系统为渐近稳定的。定义2：对于线性定常系统在零初始条件下，加入一个有界的输入，总引起一个有界的输出，则称该系统为有界输入一一有界输出稳定系统。即当 y(0)=y(O)=..= y(n-I)(O)=0 时,如果 x(t)≤ K,<0 则 [y(t)|≤K,<000≤t<000≤t<03
3 定义1：对于线性定常系统，在任何一组初始条件下，若输入 x(t)=0，当t→∞时，系统的输出及其各阶导数为零，即 则称该系统为渐近稳定的。 lim ( ) lim ( ) . lim ( ) 0 ( 1) = = = = − → → → y t y t y t n t t t 定义2：对于线性定常系统在零初始条件下，加入一个有界的输 入，总引起一个有界的输出，则称该系统为有界输入——有界 输出稳定系统。即当 时， 如果 则 (0) (0) . (0) 0 ( 1) = = = = n− y y y 1 0 x(t) K t 2 0 y(t) K t 3.5 系统的稳定性和代数稳定判据 稳定的定义和定理
西安交通大学EEANJIROTONGNIVEEST稳定的充要条件和属性3.5系统的稳定性和代数稳定判据设系统或元件的微分方程为：J(")(t)+an-1)(n-1)(t)+...+ aoy(t) = bmx(m)(t)+ bm-1x(m-I)(t) +... + b,x(t)式中：x(t)一输入，y(t)一输出 aj,(i=0~n-l);bi,j=0~m)为常系数。将上式求拉氏变化，得(初始值不全为零)(s" +an-sn-I +...+as+ao)Y(s)=(b.s" +bm-ism-I +...+bs+b)X(s)+系数取决于初始条件的多项式b.s" + bm-'"- +.+ bs + bo X(s)+系数取决于初始条件的多项式Y(s) :-s" +an-isn-I +..+ajs+aos" +an-isn-l +... +ajs+aoy(t)= yi(t) + y2(t)上式右边第一项为零状态解，对应与由输入引起的响应过程第二项为零输入解，对应于由初始状态引起的响应过程，4
4 设系统或元件的微分方程为： ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) . ( ) 0 ( 1) 1 ( ) 0 ( 1) 1 ( ) y t a y t a y t b x t b x t b x t m m m m n n n + + + = + + + − − − − 上式右边第一项为零状态解，对应与由输入引起的响应过程。 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 . ( ) . . ( ) s a s a s a X s s a s a s a b s b s b s b Y s n n n n n n m m m m + + + + + + + + + + + + + = − − − − − − 系数取决于初始条件的多项式 ( . ) ( ) ( . ) ( ) 1 0 1 1 0 1 1 1 s a s a s a Y s b s b s b s b X s m m m m n n n + + + + = + + + + − − − − +系数取决于初始条件的多项式 ( ) ( ) ( ) 1 2 y t = y t + y t a ,(i 0 ~ n 1);b , j 0 ~ m) 式中：x(t)—输入，y(t)—输出 i = − j = 为常系数。将上式求拉氏变化，得(初始值不全为零） 第二项为零输入解，对应于由初始状态引起的响应过程。 3.5 系统的稳定性和代数稳定判据 稳定的充要条件和属性
西安交通大学EE'ANJLROTONAENIVEESTY稳定的充要条件和属性3.5系统的稳定性和代数稳定判据前面讨论的当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到原来的起始平衡状态可看作第二项经过足够长的时间变为零。系数取决于初始条件的多项式系数取决于初始条件的多项式Y(s)=ns" +an-isn-l +...+ajs+aoII(s+ p,)II(s? +25,0 +0)j=lk=1b(s+StOr)+COkV1-5?dMVs? +25k0ks+02s+pi1k=1时域表达式为：(t)=Za,e-P* +Zbeol coso, /i-Sit+ZCche-Sto' sin Ok y1-52tk=l口线性定常系统稳定的充要条件：系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具有负实部的共轭复根。或者说，特征方程的根应全部位于s平面的左半开平面
5 ( ) ( 2 ) . ( ) 2 2 1 1 1 0 1 1 2 1 2 k k k n k j n j n n n s p s s a s a s a Y s + + + = + + + + = = = − − 系数取决于初始条件的多项式 系数取决于初始条件的多项式 = = + + + + − + + = 1 2 1 2 2 2 1 2 ( ) 1 n k k k k k k k k k k n j j j s s b s c s p a y t a e b e t c e t k k t n k k k k t n k k n j p t j j k k k k 2 1 2 1 1 2 ( ) cos 1 sin 1 1 2 2 = + − + − − = − = = − ❑ 线性定常系统稳定的充要条件： 系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具 有负实部的共轭复根。或者说，特征方程的根应全部位于s平面 的左半开平面。 时域表达式为： 前面讨论的当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到 原来的起始平衡状态可看作第二项经过足够长的时间变为零。 3.5 系统的稳定性和代数稳定判据 稳定的充要条件和属性