西安交通大学IE'ANJIAOTONGUNIVEESITY第五节控制系统的根轨迹分析法
1 第五节 控制系统的根轨迹分析法
西安交通大学IE'ANJIAOTONGNIYEESITT4.5控制系统的根轨迹分析法利用根轨迹，可以对闭环系统的性能进行分析和校正由给定参数确定闭环系统的零极点的位置；分析参数变化对系统稳定性的影响；分析系统的瞬态和稳态性能：根据性能要求确定系统的参数；对系统进行校正。2
2 利用根轨迹，可以对闭环系统的性能进行分析和校正 ❖ 由给定参数确定闭环系统的零极点的位置； ❖ 分析参数变化对系统稳定性的影响； ❖ 分析系统的瞬态和稳态性能； ❖ 根据性能要求确定系统的参数； ❖ 对系统进行校正。 4.5 控制系统的根轨迹分析法
西安交通大学EE'ANJIROTONGNIVEESTY4.5控制系统的根轨迹分析法一、条件稳定系统的分析K,(s? +2s+4)[例4-11]：设开环系统传递函数为:G,(s)=s(s + 4)(s +6)(s? +1.4s+1)试绘制根轨迹，并讨论使闭环系统稳定时K。的取值范围。「解根据绘制根轨迹的步骤，可得：开环极点：0,一4,一6,一0.7±j0.714，零点：一1±i1.732渐近线：与实轴的交点：4Z- p, -- z, - 4-6-1.4 +2-3.1332n-m0元(2k +1)X元倾角：=十，元?03-2 ×n-m6-40-2实轴上根轨迹区间：（-o0,-6),[-4,0]- 43
3 一、 条件稳定系统的分析 [例4-11]：设开环系统传递函数为： ( 4)( 6)( 1.4 1) ( 2 4) ( ) 2 2 + + + + + + = s s s s s K s s G s g k 试绘制根轨迹，并讨论使闭环系统稳定时 Kg 的取值范围。 ➢ 开环极点：0,－4,－6,－0.7±j0.714，零点：－1±j1.732 ➢ 实轴上根轨迹区间： (−,−6),[−4,0] ➢ 渐近线：与实轴的交点： 3.13 3 4 6 1.4 2 = − − − − + = − − − − − = n m p z i i , 3 (2 1) = − + = n m k 倾角： [解]根据绘制根轨迹的步骤，可得： 0 −6 − 4 − 2 2 4 − 2 − 4 4.5 控制系统的根轨迹分析法
西安交通大学EEANJLAROTONAENIVEESTY4.5控制系统的根轨迹分析法》分离会合点：N(s)= s2 +2s+4, N'(s)=2s+2D(s)= s5 +11.4s4 +39s3 +43.6s? +24sD'(s)= 5s4 +45.6s3 +117s2 +87.2s +24N'(s)D(s)- N(s)D'(s)= 3s° + 30.8s5 +127.4s + 338.4s3 + 531.2s? +348.8s + 96 = 0用Matlab可算出分离点s=一2.3557；[另一根为一5.1108(略)]。D(s)求实轴分离点的近似值。K.另外可以根据gN(s)求出[-4，01之间的增益如下表所示-30-0.5-1-1.5-2.0-2.5-3.5-4s001.62838.809.3753.9495.9717.457KgdKgd的最大值为9.375，这时s=一2.5，是近似分离点。元分离角：024
4 ➢ 分离会合点： ( ) 2 4 ( ) 2 2 2 N s = s + s + ，N s = s + D(s) s 11.4s 39s 43.6s 24s 5 4 3 2 = + + + + ( ) 5 45.6 117 87.2 24 4 3 2 D s = s + s + s + s + 0 1.628 3 5.971 8.80 9.375 7.457 3.949 0 s 0 -0.5 -1 -1.5 -2.0 -2.5 -3 -3.5 -4 Kgd Kgd的最大值为9.375，这时s=－2.5，是近似分离点。 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 30.8 127.4 338.4 531.2 348.8 96 0 6 5 4 3 2 N s D s − N s D s = s + s + s + s + s + s + = 用Matlab可算出分离点s=－2.3557 ; [另一根为－5.1108(略)]。 另外可以根据 求实轴分离点的近似值。 求出[-4，0]之间的增益如下表所示 ( ) ( ) N s D s Kg = − 分离角： 2 d = 4.5 控制系统的根轨迹分析法
西安交通大学IE'ANJLAOTONAENIVEESTY4.5控制系统的根轨迹分析法出射角：0=±558>入射角：0,=±103°76>与虚轴的交点和5对应的增益值：15.64±1.213168.6367.5kan=71510 =3±2.151gr2=66168.6±3.7551= ±1.21300画出根轨迹如图所示，该图是用K= 15.6-1Matlab工具绘制的。±3.7550-2由图可知：当0<K。<15.6K= 168.6-3和 67.5<K。<168.6时，系统是-4稳定的；-5当K。>168.6和15.6<K。<67.5-6时，系统是不稳定的。-7.这种情况称为条件稳定系统-85-6-5-8-7-4-3-20-1
5 由图可知：当 和 时，系统是 稳定的； 0 Kg 15.6 67.5 Kg 168.6 画出根轨迹如图所示，该图是用 Matlab工具绘制的。 ➢ 出射角： ， ➢入射角： c = 55 = 103 r ➢ 与虚轴的交点和 对应的增益值： = 168.6 67.5 15.6 gp k = 3.755 2.151 1.213 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 当 Kg 168.6和15.6 Kg 67.5 时，系统是不稳定的。 这种情况称为条件稳定系统 15.6 1.213 = = Kg 67.5 2.151 = = Kg 168.6 3.755 = = Kg 15.6 67.5 168.6 4.5 控制系统的根轨迹分析法