西安交通大学IE'ANJIAOTONGUNIYEESITY3.3二阶系统的阶跃响应第三节二阶系统的阶跃响应
1 第三节 二阶系统的阶跃响应 3.3 二阶系统的阶跃响应
西安交通大学EE'ANJLROTONAENIVEESTY3.3二阶系统的阶跃响应一、典型二阶系统的数学模型由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。它在控制工程中的应用极为广泛。许多高阶系统在一定的条件下，也可简化为二阶系统来研究。0?C(s)R(S).s(s+260n)典型结构的二阶系统如图所示20nG(s)=开环传递函数为：? +250nsG(s)0闭环传递函数为：Φ(s1+G(s)s? +250,s+0?Φ(s)称为典型二阶系统的传递函数，称为阻尼系数，のn称为无阻尼振荡频率或自然频率。这两个参数称为二阶系统特征参数。2
2 一、典型二阶系统的数学模型 由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。它在控制工程 中的应用极为广泛。许多高阶系统在一定的条件下，也可简化 为二阶系统来研究。 开环传递函数为: s s G s n n 2 ( ) 2 2 + = 闭环传递函数为: 2 2 2 1 ( ) 2 ( ) ( ) n n n G s s s G s s + + = + = ( 2 ) 2 n n s s + R(s) C(s) - 称为典型二阶系统的传递函数， 称为阻尼系数， 称为 无阻尼振荡频率或自然频率。这两个参数称为二阶系统特征参 数。(s) n 典型结构的二阶系统如图所示。 3.3 二阶系统的阶跃响应
西安交通大学EEANRNRRS3.3二阶系统的阶跃响应s? +250,s+0, =0特征方程为：Si,2 =-Son ±0, Vs2 -1特征根为：注意：当不同时，特征根有不同的形式，系统的阶跃响应形式也不同。它的阶跃响应主要有振荡和非振荡两种情况1．当=0时，特征方程有一对共轭的虚根，称为零(无)阻尼系统，系统的阶跃响应为持续的等幅振荡。2．当0<<1时，特征方程有一对实部为负的共轭复根，称为欠阻尼系统，系统的阶跃响应为衰减的振荡过程3．当=1时，特征方程有一对相等的实根，称为临界阻尼系统，系统的阶跃响应为非振荡过程4．当1时，特征方程有一对不等的实根，称为过阻尼系统，系统的阶跃响应为非振荡过程
3 1 2 特征根为： s1,2 = −n n − 注意：当 不同时，特征根有不同的形式，系统的阶跃响应形式 也不同。它的阶跃响应主要有振荡和非振荡两种情况。 特征方程为： 2 0 2 2 s + n s +n = ⒈ 当 时，特征方程有一对共轭的虚根，称为零(无)阻尼系 统，系统的阶跃响应为持续的等幅振荡。 = 0 ⒉ 当 时，特征方程有一对实部为负的共轭复根，称 为欠阻尼系统，系统的阶跃响应为衰减的振荡过程。 0 1 ⒊ 当 时，特征方程有一对相等的实根，称为临界阻尼系 统，系统的阶跃响应为非振荡过程。 =1 ⒋ 当 时，特征方程有一对不等的实根，称为过阻尼系统， 系统的阶跃响应为非振荡过程。 1 3.3 二阶系统的阶跃响应
西安交通大学EE'ANJIROTONGNIVEESTY3.3二阶系统的阶跃响应二、典型二阶系统的阶跃响应，有：当输入为单位阶跃函数时，R(s)==0?1C(s) =Φ(s)×=Xs? +250,s+0sSo?nc(t) = L-'[Φ(s) ×=] = L-'+20,s+03SS-C(t)1.当=0时，极点为：S=±jの2Vo?1sC(s)2s? +0s(s? +0,)St≥0c(t) = 1 - cosのnt此时输出将以频率のn做等幅振荡Ont0所以,称为无阻尼振荡频率，026841024
4 当输入为单位阶跃函数时， ，有： s R s 1 ( ) = s s s s C s s n n n 1 2 1 ( ) ( ) 2 2 2 + + = = 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) n n n s s s s s C s + = − + = c(t) =1− cosn t t 0 ⒈当 = 0 时，极点为： n s = j 此时输出将以频率 做等幅振荡， 所以, 称为无阻尼振荡频率。 n n 二、典型二阶系统的阶跃响应 ] 1 2 ] [ 1 ( ) [ ( ) 2 2 2 1 1 s s s L s c t L s n n n + + = = − − 0 2 4 6 8 10 12 0 1 2 = nt C(t) 3.3 二阶系统的阶跃响应
西安交通大学EEANJLAOTONAENIVEESTY3.3二阶系统的阶跃响应输入阶跃信号和阶跃响应之间的误差e(t)=r(t)-y(t)=1-y(t)=coso,t, t ≥0StepResponse= 20误差曲线呈现等0.8幅振荡形式。即0.6系统在无阻尼情0.4况下，不能跟踪0.2输入的单位阶跃-0.2信号。-0.4-0.6-0.812340.52.53.5011.54.5Time (sec)5
5 输入阶跃信号和阶跃响应之间的误差 ： e(t) = r(t) − y(t) =1− y(t) = cosn t，t 0 误差曲线呈现等 幅振荡形式。即 系统在无阻尼情 况下，不能跟踪 输入的单位阶跃 信号。 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Step Response Time (sec) Amplitude = 2 n 3.3 二阶系统的阶跃响应