西安交通大学IE'ANJLROTONANIYEESTYIm S平面F(s)平面Imp(s)F(sReRe6
6 Re Im Re S平面 Im F(s)平面 (s) F(s) • •
西安交通大学EEANILAOTONGENIVEEST当S平面上动点s从s经过某曲线C到达S2，映射到F(s)平面上也将是一段曲线CE，该曲线完全由F(s)表达式和s平面上的曲线C决定。若只考虑动点s从s到达S相角的变化量，则有△ZF(s)= ZF(s,)-ZF(s)[(s +2)-含(s +P)]-[<(s$ +2)-含($+P,)=i=11=[(s +2)-芸<($+2)]-[(s,+P)-(8 +P,)i=1i=lj=lA(s+2)-A(s+p,)i=1j=lS+2例F(s)= s△F(s) = ZF(s,)-ZF(s)=[Z(s2 +2) - Z(s2 + 0)]-[Z(s, +2) - Z(si +0)]=[Z(s2 +2) - Z(s +2)]-[Z(s2 +0)- Z(s, +0)]7
7 当S平面上动点s从s1经过某曲线CS到达s2，映射到F(s)平面上也 将是一段曲线CF ，该曲线完全由F(s)表达式和s平面上的曲线CS 决定。若只考虑动点s从s1到达s2相角的变化量，则有 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m n m n i j i j i j i j m m n n i i j j i i j j m n i j i j F s F s F s s z s p s z s p s z s z s p s p s z s p = = = = = = = = = = = − = + − + − + − + = + − + − + − + = + − + s s F s 2 ( ) + 例 = 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( 2) ( 0) ( 2) ( 0) ( 2) ( 2) ( 0) ( 0) F s F s F s s s s s s s s s = − = + − + − + − + = + − + − + − +
西安交通大学EEANJIROTONGENIVEESTYS+2当s平面上的动点沿平行于虚轴的直线，从[例]设：F(s)(-1，jl)到(-1，jO)，映射到F(s)平面上的点将沿某曲线从(O，-jl)到(-1，-jO），相角的变化为：s平面F(s)平面d, (0,-jl)△F(s)= ZF(s2)-ZF(s)=0°-180°-(45°-135°)= -9008
8 [例]设： ，当s平面上的动点沿平行于虚轴的直线，从 (-1，j1)到(-1，j0) ，映射到F(s)平面上的点将沿某曲线从(0，-j1) 到(-1，-j0) ，相角的变化为： s s F s 2 ( ) + = s平面 F(s)平面 − 2 −1 d ( 1, j1) s − d (0, j1) f − 2 1 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 180 (45 135 ) 90 = − F s F s F s = − − − = −
西安交通大学EEANIAOTONGUNIVEESTY1.围线Cs既不包围零点也不包围极点s平面BCA如图所示，在S平面上当变点s沿围线HDCs按顺时针方向运动一周时，我们C32α11来考察F(S)中各因子项的辐角的变化β规律。GFE现以图中未被包围的零点-2为例。当C,顺时针变点s沿Cs绕行一周后，因子(s+2)的μ辐角α的变化为0°。2同理，对未被包围的极点也是一样，F(s)平面1.51因子项(s+O)的辐角β在变点s沿Cs绕0.5行一周后的变化也等于0°H0于是，映射到F(S)平面上，当变点-0.5F(s)沿Cr绕行一周后的辐角变化也应-1A-1.5等于0°。这表明，围线Cr此时不包-211围原点。-1 -0.500.51.51253
11 - 1 - 0 . 5 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 - 2 - 1 . 5 - 1 - 0 . 50 0 . 51 1 . 52 F(s)平面A B CDE F G H 1. 围线 CS既不包围零点也不包围极点 如图所示，在 S平面上当变点 s沿围线 CS按顺时针方向运动一周时，我们 来考察 F( S)中各因子项的辐角的变化 规律。 A B C D G F E H −2 −1 s平面 CS顺时针 1 2 3 现以图中未被包围的零点 - 2为例。当 变点 s 沿 CS绕行一周后，因子 ( s+2) 的 辐角 a的变化为 0 ° 。 同理，对未被包围的极点也是一样， 因子项 ( s+0) 的辐角 b在变点 s 沿 CS 绕 行一周后的变化也等于 0 ° 。 于是，映射到 F( S)平面上，当变点 F( s ) 沿 CF绕行一周后的辐角变化也应 等于 0 °。这表明，围线 CF此时不包 围原点。 a b ◎
西安交通大学EEANJLROTONAENIVEESTY2.围线Cs只包围零点不包围极点如图所示围线Cs包围一个零点z=-2，先考察因子(s+2)辐角α，当变点s沿Cs顺时针绕行一周时，α的变化为-360°。映射到F(S)平面上对应变点F(S)沿C绕行一周后的辐角变化也应等于-360°21.5s平面CAB170.5DH0α-0.5-1GFE福C,顺时针-1.5-22-1.5-1-0.500.51.512同理，当围线Cs的内域包含Z个零点时(但不包含极点)，C应顺时针包围原点乙次12
12 2. 围线CS只包围零点不包围极点 如图所示围线CS包围一个零点z=-2，先考察因子(s+2)辐角a，当 变点s沿CS顺时针绕行一周时，a的变化为-360°。映射到F(S)平 面上对应变点F(S)沿CF绕行一周后的辐角变化也应等于-360° 。 同理，当围线CS的内域包含Z个零点时(但不包含极点)， CF应顺 时针包围原点Z次。 A B C D G F E H − 2 −1 s平面 CS顺时针 -2 -1.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 A C D E G a