西安交通大学IE'ANJLROTONANIYEESTY第见章根轨迹法
1 第四章 根轨迹法
西安交通大学IE'ANJLROTONANIYEESTY第一节根轨迹的基本概念2
2 第一节 根轨迹的基本概念
西安交通大学E'ANJIROTONGENIVEESTY4.1根轨迹的基本概念根轨迹定义1.根轨迹定义开环系统传递函数的某一个参数变化时，闭环系统特征方程的根在复平面上变化的轨迹例：如图所示二阶系统KR(s)C(s)s(0.5s +1)系统开环传递函数为：KG(s) =s(0.5s + 1)2KΦ(s)=闭环传递函数：$?+2s+2Ks?+2s+2K=0特征方程为：特征根为：S.2=-1±V1-2K3
3 开环系统传递函数的某一个参数变化时，闭环系统特征方 程的根在复平面上变化的轨迹。 例：如图所示二阶系统， s(0.5s +1) R(s) K C(s) - 特征方程为： 2 2 0 2 s + s + K = 闭环传递函数： s s K K s 2 2 2 ( ) 2 + + = 系统开环传递函数为： (0.5 1) ( ) + = s s K G s k 特征根为： s1,2 = −1 1− 2K 4.1 根轨迹的基本概念 根轨迹定义 ⒈ 根轨迹定义
西安交通大学EEAN根轨迹定义IAOTONGUNIVEESTY4.1根轨迹的基本概念[讨论]：由 Si,2 =-1±/1-2K①当K-0时，Si=0,S2=-2K=52是开环传递函数的极点当K=0.32时，S,=0.4，S2=—1.62当K-0.5时，S,=-1，S=-1K=11当K=1时，Si=-1+j，S2=1-jK=0K=0当K=5时，S;=—1+3j，S2=1—3j0-2当K=o时，Si=—1+o0j，S2=—1一0j?K =0.5-1K =1画出K从0一→8时所有的闭环极点连成的光滑曲线就是该系统的根轨迹。根轨迹-2上的箭头表示随着K值的增加，根轨迹-3K=5的变化趋势，而标注的数值则代表与闭环极点位置相应的参数K的数值。4
4 4.1 根轨迹的基本概念 [讨论]：由 s1,2 = −1 1− 2K 根轨迹定义 ① 当K=0时，s1=0,s2 =-2, 是开环传递函数的极点 ② 当K=0.32时，s1 =－0.4，s2 =－1.6 ③ 当K=0.5时，s1 =－1，s2 =－1 ④ 当K=1时，s1 =－1+j，s2 =－1－j ⑤ 当K=5时，s1 =－1+3j，s2 =－1－3j ⑥ 当K=∞时，s1 =－1+∞j，s2 =－1－∞j K = 5 K = 5 K = 1 K = 1 画出K从0→∞时所有的闭环极点连成的 光滑曲线就是该系统的根轨迹。根轨迹 上的箭头表示随着K 值的增加，根轨迹 的变化趋势，而标注的数值则代表与闭 环极点位置相应的参数K 的数值。 K = 0.5 − 2 0 j 1 2 −1 3 − 2 − 3 −1 K = 0 K = 0
西安交通大学EE'ANJIROTONGNIVEESTY根轨迹定义4.1根轨迹的基本概念根轨迹图直观全面地描述了参数K对闭环特征根分布的影响。可据此分析系统性能。K=53稳定性：当K从0→00时根轨迹不会越过虚轴进入右半s平面，因此该系统当K>O都是稳定的。2稳态性能：开环系统在原点有一个极点，所以系统属于I型系统，根轨迹上的K值就是以该点为闭环K=11极点时系统的速度误差系数。K=0K=0动态性能：当0<K<0.5时闭环极点位于实轴上，系统为过阻尼系统，单位阶跃响应为非0-2 K=0.5周期过程；-1K=1当K=0.5时闭环两个实极点重合，系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应为非周期过程；但响应速度较过阻-2尼情况为快；-3当K>0.5时闭环极点为共轭复极点，系统为欠阻尼系K=5统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程，且超调量将随K值的增大而增大，但调节时间的变化不会显著。5
5 4.1 根轨迹的基本概念 根轨迹定义 根轨迹图直观全面地描述了参数K 对闭环特征根分布 的影响。可据此分析系统性能。 稳定性：当K从0→∞时根轨迹不会越过虚轴进入右 半s平面，因此该系统当K>0都是稳定的。 稳态性能：开环系统在原点有一个极点，所以系统 属于Ⅰ型系统，根轨迹上的K 值就是以该点为闭环 极点时系统的速度误差系数。 动态性能：当0<K<0.5时闭环极点位于实轴 上，系统为过阻尼系统，单位阶跃响应为非 周期过程； 当K=0.5时闭环两个实极点重合，系统为临界阻尼系 统，单位阶跃响应为非周期过程；但响应速度较过阻 尼情况为快； 当K>0.5时闭环极点为共轭复极点，系统为欠阻尼系 统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程，且超调量将随K 值的增大而增大，但调节时间的变化不会显著。 − 2 0 j 1 2 −1 3 − 2 − 3 −1 K = 0 K = 0 K = 5 K = 5 K = 1 K = 1 K = 0.5