西安交通大学IE'ANJLROTONANIYEESTY第四节奈奎斯特稳定判据
1 第四节 奈奎斯特稳定判据
西安交通大学EEANJIROTONAENIVEESTY一、辐角定理K(s+z)(s+z,)...(s+zm)F(s) =对于一个复变函数(s+p)(s+ p2)...(s+ pn)式中-z;(i=1,2,….,m)为F(s)的零点，-p:(j=1,2,….,n)为F(s)的极点。[柯西辐角原理l：S平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线Cs包围S平面上F(s)的Z个零点和P个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲线Cs移动一周时，在F(s)平面上映射的封闭曲线C将以顺时针方向绕原点旋转N圈。N，Z，P的关系为：N-Z一P。s平面F(s)平面示意图C.顺时针C,顺时针2
2 一、辐角定理： 对于一个复变函数 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 n m s p s p s p K s z s z s z F s + + + + + + = 式中-zi (i=1,2,.,m)为F(s)的零点， -pj (j=1,2,.,n)为F(s)的极点。 [柯西辐角原理]：S平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线CS包 围S平面上F(s)的Z个零点和P个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲 线CS移动一周时，在F(s)平面上映射的封闭曲线CF将以顺时针方 向绕原点旋转N圈。N，Z，P的关系为：N=Z－P。 CF顺时针 F(s)平面 示意图 s平面 Cs顺时针
西安交通大学EEANJIROTONGNIVEESTY若N为正，表示CE顺时针运动，包围原点；若N为O，表示CF顺时针运动，不包围原点；若N为负，表示C逆时针运动，包围原点。K(s+z,)(s+z2).(s+zm)F(s)对于一个复变函数(s+ p)(s+ p2)...(s+pn)函数F(s)是复变量s的单值函数，s可以在整个S平面上变化，对于其上的每一点，除有限(n)个极点外，函数F(s)都有唯一的一个值与之对应。[例]设:F(s)平面s平面d,(-1, jl) :S+ 2F(s)s9d,(0,-jl) 3
3 若N为正，表示CF顺时针运动，包围原点； 若N为0，表示CF顺时针运动，不包围原点； 若N为负，表示CF逆时针运动，包围原点。 函数F(s)是复变量s的单值函数，s可以在整个S平面上变化，对 于其上的每一点，除有限(n)个极点外，函数F(s)都有唯一的一个 值与之对应。 对于一个复变函数 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 n m s p s p s p K s z s z s z F s + + + + + + = [例]设： s s F s 2 ( ) + = d ( 1, j1) s − d (0, j1) f − s平面 F(s)平面 −2 −1
西安交通大学EEANRNRRSK(s+z)(s+z,)...(s+zmF(s) =(s+p/)(s+ p2)...(s+ pn)F(s)的值域构成的复平面称为F(s)平面。其中S平面上的全部零点都映射到F(s)平面上的原点；S平面上的极点映射到F(s)平面上时都变成了无限远点。除了S平面上的零、极点之外的普通点，映射到Fs)平面上是除原点之外的有限点。注意，虽然函数F(s)从S平面到F(s)平面的映射是一一对应的，然而逆过程往往并非如此。例如已知KKs(s +1)(s +2)F(s)=F(s)s(s + 1)(s +2)这个函数在有限的S平面上除S-0.一1，一2以外均解析，除此三点外，S平面上的每一个S值在F(s)平面只有一个对应点，但是F(s)平面上的每一个点在S平面上却有三个映射点。最简单的说明方式就是将方程改写成4
4 F(s)的值域构成的复平面称为F(s)平面。其中S平面上的全部 零点都映射到F(s)平面上的原点；S平面上的极点映射到F(s)平面 上时都变成了无限远点。除了S平面上的零、极点之外的普通点， 映射到F(s)平面上是除原点之外的有限点。 注意，虽然函数F(s)从S平面到F(s)平面的映射是一一对应的，然 而逆过程往往并非如此。例如已知 ( 1)( 2) ( ) + + = s s s K F s ( ) ( 1)( 2) F s K s s + s + = 这个函数在有限的S平面上除S=0,－1, － 2以外均解析，除此三 点外，S平面上的每一个S值在F(s)平面只有一个对应点，但是 F(s)平面上的每一个点在S平面上却有三个映射点。最简单的说 明方式就是将方程改写成 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 n m s p s p s p K s z s z s z F s + + + + + + =
西安交通大学EEANJLROTONAENIVEESTY现考虑S平面上一点s映射到F(s)平面上的点F(s)可以用一个向量来表示，即当KII(s, +z,)-F(s)=I(s + p,) j=lAK IIs; + z;lej<(si+=)KIsi +z,2(si+2,)->Z(si+p))ojZF(s)i=l=-F(s)=|F(s)lenjZ(si+p))Is + p,leIs, + pj j=1j=l向量的相角为向量的幅值为k/IIs + z,ZF(s.) =≥ Z(st + z,) - ≥Z(st + p,)-F(s)=i=1j=1s + p,lj=15
5 现考虑S平面上一点s1映射到F(s)平面上的点F(s1 )可以用一个向量 来表示，即当 = + = + + + = = n j j s p j m i j s z i j F s j i s p e K s z e F s F s e 1 ( ) 1 1 ( ) 1 ( ) 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 向量的幅值为 = + − + = = n j j m i F s s zi s p 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) + − + = = + + = = = n j j m i i j s z s p n j j m i i e s p K s z 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 1 1 1 = = + + = n j j m i i s p K s z F s 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) = = + + = n j j m i i s p K s z F s 1 1 1 1 1 ( ) 向量的相角为